Fisica 1 - Fluidodinamica

Principio di Archimede

Fpeso per il momento) e la forza di pressione . So che essendo in quieteP−→ −→F + F = 0.devo avere Siccome considero solo in direzione verticale, conV P −F −mg −ρgVF = = =l’asse z verso il basso, ho che .P V 0VSostituisco ora a un altro fluido (o solido) con stesso volume, stessa forma00 0 0 06m = ρ V F = F F = Fe massa pari a . So che ma : deve agire una0 P PP V−→→− −→ 0F F = F + Fforza pari a e in moduloP V 0 0−mg −ρVF = + m g = g + ρ V g. (2.2)0 0Questo è il cosiddetto principio di Archimede, cioè un corpo immerso in unliquido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del volume di6liquido spostato.La formulazione della forza di Archimede è quindi0 −F = (ρ ρ)V g. (2.3)0A 0F < 0 < ρ),Con l’asse z orientato verso il basso, se il corpo galleggia (ρ seA0F > 0 > ρ).invece sprofonda (ρ In poche parole,

se il fluido/solido è più denso del fluido in cui è immerso allora sprofonda, se invece è meno denso risale (la densità di cui si parla è ovviamente la densità media del corpo). I discorsi appena fatti per i liquidi valgono ovviamente anche per i gas.

Parte II

Fluidodinamica

Introduzione alla fluidodinamica Un fluido non in quiete è soggetto ad un attrito viscoso (idealmente simile all'attrito dinamico). Si verifica sperimentalmente che la forza di attrito viscoso in un fluido vale F = ηS (2.4)dH/η dv con coefficiente di viscosità, differenza di velocità fra i tubi di flusso ed H. Ovviamente se η è molto alta il fluido scorre molto poco e, al crescere di F, cresce anche η. Per il terzo principio della dinamica sappiamo che se il tubo di flusso 2 esercita una forza sul tubo di flusso 2, quest'ultimo esercita una forza sul tubo di flusso 1. Se allora si ha che F12 = -F21, v1 < v2.

kgF < 0 F > 0. ηe Il coefficiente di viscosità nel S.I. ha unità di misura1,2 2,1 mskg−1= 10ma è spesso usato il poise (1poise ). Per una trattazione inizialems = 0)più semplice verranno considerati fluidi con viscosità nulla (η dettifluidi ideali che rendono più facile lo studio poiché permettono di considerareρ.costante la densità Spesso si considerano fluidi ideali anche fluidi conviscosità molto prossima allo zero. 9Capitolo 3Dinamica dei fluidi ideali3.1 Fluidi in un condottoFluido in quiete Se il fluido è in quiete allora la densità in un punto Aρ = (x, y, z) p = p(A).vale e la pressione nello steso punto èA AFluido in moto Per studiare il fluido in moto moto utilizzeremo l’approc-cio euleriano che consiste nel mettersi in un punto A del condotto misurare lavelocità in quel punto. La velocità è quindi studiata in funzione della posizio-v = (x,

y, z, t).ne e del tempo, cioè Per semplificare ulteriormente lo studio supponiamo che il moto sia stazionario, cioè che la velocità in un punto non vari nel tempo ma sia solo funzione della posizione (v Conoscendo la velocità di ogni punto posso tracciare le linee di corrente in maniera che siano sempre tangenti alla velocità e osservo che queste non possono mai intersecarsi. Considero adesso una piccola sezione e studio le linee di corrente che la attraversano e descrivono un tubo di flusso. Quel è il volume che attraversa la sezione in un tempo dt? s = v dt, attraversa la sezione in un tempo dt. Posto il volume che scorre dV = dS v dt. Posso quindi introdurre una nuova grandezza dV = dS v = dq, dq/dt dove è dividendo per a destra e a sinistra, ottenendo dt chiamata portata. Nel caso la sezione del condotto fosse finita posso integrare sulla sezione S l’espressione precedente per ottenere la formula

generale dellaportata Z Zq = dq = vdS. (3.1)S Sv dSNel caso particolare in cui sia costante sulla superficie allora possoq = vS Ssvolgere l'integrale e ottenere con l'intera superficie del condotto.'q v S vPosso anche utilizzare l'espressione dove è la velocità media delm mfluido nel condotto. 10v = costStudio del caso Suppongo che il moto sia stazionario e ricavoq = costfacilmente che per l'intero tubo. Considerando allora un tubo diS Ssezione con una strozzatura di sezione : ciascuna sezione avrà una certa1 2-q q 2, q = qportata, rispettivamente e ma deve essere verificato che per1 1 2q v S = v Sla costanza di per ciò segue che . Scopro quindi che1 1 2 2Sv 21 = . (3.2)v S2 13.2 Legge di conservazione dell'energia e teore-ma di BernoulliConsiderando un liquido che scorre in un condotto con parti a sezioni dif-S Sferenti e poste ad altezze diverse, lo studio fra due superfici e , poste1 2z zrispettivamente alle

altezze e sezioni attraverso le quali il liquido passa con ₁2 0→v v dt S S velocità e . Dopo un tempo le sezioni si sono spostate: ₁2 1 10→S S . Il fluido è ideale per cui non è avvenuta alcuna dissipazione di ₂2 η = 0). energia (la forza di attrito viscoso è nulla siccome Si noti che le ₀0S S S S uniche variazioni di energia sono avvenute fra e e fra e . Calcolo ₁2 1 2 le energie potenziali nei tre tratti: ₀S ,S1E = m gz = ρV gz ; ₁1 1 1 1 1P ₀S ,S 2E = cost; ₁P0S ,S2E = m gz = ρV gz . ₂2 2 2 2 2P V = V = V Sappiamo però che, essendo il moto stazionario, si hanno e ₁2m = m = m. Calcoliamo adesso la variazione di energia potenziale del ₁2 0 0S ,S S ,S2 1−∆E = E E2 1fluido: secondo e svolgendo i calcoli si ottiene _PP P −∆E = gV ρ(z z ). (3.3) _P2 1−∆EW = Nota la relazione , ricavo facilmente il lavoro delle forze di volume _Psfruttando la precedente e ottenendo −gV −W = ρ(z z ). (3.4) _V2 1Vado adesso alla

Ricerca di un'espressione matematica del lavoro delle forze:
WW = Wdi pressione. Sapendo che e conoscendo l'espressione generica P₁² = F s, s S) per il lavoro (W) con lo spostamento della relativa superficie posso scrivere:
11-F -p -pW = F s s = p S s S s = p V V.
Per l'uguaglianza dei volumi (vedi sopra) concludo che -W = V (p p ). (3.5) P₁².
Per ultima trovo la variazione di energia cinetica del fluido (sfruttando le stesse caratteristiche usate nel calcolo del lavoro):
1 1 1 0 0 S ,S S ,S 2 2 2 2 2 2 2 1 - - - mv mv = m(v v ) = ρV (v v ). ∆E = E E = 2 1 k 2 1 2 1 2 1 k k 2 2 2 2.
È facile adesso scrivere la conservazione dell'energia ricordando che W = ∆E = W + WT OT k P V per cui, sostituendo ed eguagliando i due termini si ottiene:
1 1 2 2 ρV v + ρgz + p = ρV v + ρgz + p (3.6) 1 1 2 2 formula nota anche come teorema di Bernoulli se scritta nella forma:
1 2 ρV v

+ ρgz + p = cost. (3.7)

2Casi particolari:

= cost) E = Tubo orizzontale (z

Siccome l’altezza è sempre uguale, Pcost e si verifica 1 2ρv + p = cost. (3.8)

= cost) Fluido in quiete (v

L’energia cinetica è ovviamente nulla e il teorema di Bernoulli si riconduce alla legge di Stevinop + ρgz = cost (3.9)

definendo l’esistenza delle già note superfici equipotenziali.

Applicazioni del teorema di Bernoulli:

Fisica del volo:

Consideriamo un aereo in volo orizzontale: le sue ali indt dx.

Le ali hanno però un profilo particolare (lineare sotto, curvilineo sopra) e l’aria deve percorrere due spazi diversi nello stesso tempo: avremo quindi che la velocità dell’aria sopra l’ala (v ) deve essere maggiore della velocità dell’aria sotto l’ala (v). Questa differenza di velocità provoca una differenza di pressioni, e questa differenza è ciò che permette

All'aereo di volare.

Tubo a sezione costante

Prendiamo un tubo a sezione costante ove si trova, in successione, una prima parte in discesa (da un'altezza fino a z = 0), una seconda in piano sul suolo (z = 0) e un'ultima in salita (da z = 0 a h). In funzione dell'altezza (h) si ha: nella prima parte, p = p + ρgh; nella parte centrale, p = p; nell'ultima parte, p = p + ρgh. È ovvio vedere che l'espressione maggiore è al suolo e si deve avere p = p + ρgh.

Pozzo

Il problema di un pozzo è pompare l'acqua da una profondità h fino al suolo. Con Stevino è facile stimare la differenza di pressione fra il suolo e il fondo del pozzo, che vale ∆p = ρgh, e la forza necessaria per portare l'acqua fino alla superficie è quindi F = S∆p. Ci poniamo adesso un problema: che potenza deve avere una pompa se voglio che l'acqua arrivi in superficie con una certa velocità v? P = Fv.

velocità: L'espressione per la potenza è P = S∆pv = ρghv. Con le espressioni precedenti ricavo Tubo orizzontale con strozzatura. Ricordando che l'energia potenziale 1212 2 2ρv = p + ρvp + . Per la conservazione si conserva, possiamo scrivere 21 1 2q = q S v = S v della portata vale che cioè da cui esplicitiamo la prima 1 2 1 1 2 2 velocità ottenendo una utile formula S v2 2v = . (3.10)1 S1 Sostituendo l'espressione della velocità nell'uguaglianza precedente si vede che l'unica variabile incognita è , per cui la si esplicita, ottenendo 2s 2− S2(p p )2 1 1 v = (3.11)2 2 2−ρ (S S )