Fisica 1 - Fluidodinamica

Appunti del corso di fisica: fluidodinamica

Alessandro Mazzi

12 luglio 2013

Indice

I Fluidostatica 2

1 Proprietà generali 3

1.1 Proprietà dei fluidi in generale: gas e liquidi . . . . . . . . . . 3

1.2 Proprietà di un fluido in quiete . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Lavoro della pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Liquidi 5

2.1 Forze di volume nei liquidi e legge di Stevino . . . . . . . . . . 5

2.2 Principio dei vasi comunicanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Misurare la pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Forza di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II Fluidodinamica 8

3 Dinamica dei fluidi ideali 10

3.1 Fluidi in un condotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Legge di conservazione dell’energia e teorema di Bernoulli . . . 11

3.3 Teorema di Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Dinamica dei fluidi reali 15

4.1 Fluidi reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Velocità del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Portata e resistenza del condotto . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4 La formula del profilo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.5 Da regime laminare a regime vorticoso . . . . . . . . . . . . . 17

5 Curiosità 18

5.1 Fluidi non newtoniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

Parte I

Fluidostatica

2

Capitolo 1

Proprietà generali

1.1 Proprietà dei fluidi in generale: gas e liqui-

di

I gas sono facilmente comprimibili e hanno bassa densità a temperatura am-

biente; I liquidi al contrario sono praticamente incomprimibili ed a tempera-

tura ambiente hanno densità molto più alta rispetto ai gas. Entrambi non

hanno una forma definita. dV dm.

I fluidi sono sistemi continui composti da parti di volume e massa

Si può definire la densità infinitesima come:

dm

ρ = (1.1)

dV

m

ρ =

che si riduce a se il corpo è omogeneo. Posso quindi definire per ogni

V

ρ(x, y, z)

punto la funzione in funzione della posizione.

Un fluido reale oppone una certa resistenza allo scorrimento (sforzo di

taglio) ed è definito viscoso. Per dare un indice della viscosità di un fluido si

usa il coefficiente di viscosità (η).

1.2 Proprietà di un fluido in quiete

In un fluido in quiete si ha che accelerazione e velocità sono pari a zero, cioè

→

− →

−

a =0 v = 0,

e poiché la risultante delle forze è nulla.

3

1.3 Pressione F S

Si può calcolare la pressione esercitata da una forza su una superficie

con la formula F ⊥

p = (1.2)

S

F S.

dove è la componente della forza perpendicolare alla superficie Su un

⊥ p dF = pdS.

elemento infinitesimo in cui è misurata la pressione agirà la forza

Si dimostra con un semplice calcolo algebrico che la pressione è isotropa, cioè è

uguale in ogni direzione la si consideri. AGGIUNGERE DIMOSTRAZIONE

1.4 Lavoro della pressione

D’ora in poi ci occuperemo quasi sempre di gas per il loro evidente vantaggio:

V

la facilità di compressione. Consideriamo quindi un volume di gas in un

dh:

contenitore dotato di pistone mobile. Spostiamo adesso il pistone di

quanto vale il lavoro? Dalla definizione di lavoro infinitesimo sappiamo che

dW = F dh; sostituendo alla forza l’espressione con la pressione si ottiene

dW = pSdh = pdV V V

quindi . Se considero la variazione di volume da a

1 2

allora integro la precedente espressione come

V

Z 2

W = pdV (1.3)

V 1

p = cost

mentre nel caso in cui allora posso svolgere facilmente l’integrale

W = p∆V

ottenendo . 4

Capitolo 2

Liquidi

2.1 Forze di volume nei liquidi e legge di Ste-

vino

Oltre alla pressione agiscono tutta una serie di forze, le cosiddette forze di

volume, che operano appunto sull’intero volume del fluido. Ne è un esempio

la forza peso. Consideriamo quindi un fluido in quiete, su cui agisce la forza

peso. Siccome è in quiete si dovrà verificare l’equilibrio fra le forze di pressione

−

→ −

→

F + F = 0. x

(F ) e quelle di volume (F ), cioè Siccome lungo gli assi

P V V P

y

e non agisce la forza peso e la risultante delle forze di pressione è sempre

∗

z F = dm g

nulla, studio l’equazione lungo l’asse verticale. Posto che e

V

−F

F = (z + dz) + F (z) ...

P P P

...

FINIRE DIMOSTRAZIONE

Si conclude quindi che ∗ ∗

p(h) = p + ρ g h (2.1)

0

legge di Stevino.

formula nota come la Da questa legge essenziale si ricava

l’esistenza di superfici equipotenziali dette superfici isobariche e si deduce che

queste sono orizzontali se il liquido è sottoposto solamente alla forza peso ed

è in quiete.

2.2 Principio dei vasi comunicanti

Discende direttamente dalla Legge di Stevino che se consideriamo un liquido

p(h) =

versato in un sistema di vasi comunicanti bisogna avere in ogni tubo

∗ ∗

p + ρ g h. Quindi, a prescindere dalla forma del tubo o dalla sua sezione,

0 5

h

l’altezza che il liquido raggiunge deve essere la stessa. Questo è anche noto

come il paradosso della fluidodinamica.

2.3 Misurare la pressione

Manometro

Uno strumento semplice da costruire e da utilizzare per misurare la pressione

è il manometro, un tubo ad U riempito di liquido alle cui estremità sono

−p

p p p =

applicate due pressioni e . Dalla teoria so che all’equilibrio avrò

1 2 2 1

ρg∆h. ∆h

Tramite la misura della differenza di altezze fra le due superfici

del liquido, nota una delle due pressioni agenti, posso ricavare la seconda.

p p = p + ρg∆h.

Ad esempio, nota posso ricavare l’altra come Da notare

1 2 1

−p

p 1

∼

2 1 ∆h

∆h = per cui si vede subito che . Più è denso il liquido più

che ρg ρ

piccola è la variazione di altezza e meno sensibile è lo strumento; al contrario,

una densità bassa permette di registrare variazioni di temperatura minori e

permette di avere uno strumento molto preciso.

Barometro di Torricelli

Per misurare la pressione atmosferica Torricelli usò il famoso esperimento del-

la colonnina di mercurio, in cui