Che materia stai cercando?

Fisica 1 - Fluidodinamica

Appunti di Fisica generale 1 per l'esame del professor Turolla. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: proprietà generali, proprietà dei fluidi in generale: gas e liquidi, proprietà di un fluido in quiete, pressione, lavoro della pressione.

Esame di Fisica generale 1 docente Prof. R. Turolla

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

1.3 Pressione F S

Si può calcolare la pressione esercitata da una forza su una superficie

con la formula F ⊥

p = (1.2)

S

F S.

dove è la componente della forza perpendicolare alla superficie Su un

⊥ p dF = pdS.

elemento infinitesimo in cui è misurata la pressione agirà la forza

Si dimostra con un semplice calcolo algebrico che la pressione è isotropa, cioè è

uguale in ogni direzione la si consideri. AGGIUNGERE DIMOSTRAZIONE

1.4 Lavoro della pressione

D’ora in poi ci occuperemo quasi sempre di gas per il loro evidente vantaggio:

V

la facilità di compressione. Consideriamo quindi un volume di gas in un

dh:

contenitore dotato di pistone mobile. Spostiamo adesso il pistone di

quanto vale il lavoro? Dalla definizione di lavoro infinitesimo sappiamo che

dW = F dh; sostituendo alla forza l’espressione con la pressione si ottiene

dW = pSdh = pdV V V

quindi . Se considero la variazione di volume da a

1 2

allora integro la precedente espressione come

V

Z 2

W = pdV (1.3)

V 1

p = cost

mentre nel caso in cui allora posso svolgere facilmente l’integrale

W = p∆V

ottenendo . 4

Capitolo 2

Liquidi

2.1 Forze di volume nei liquidi e legge di Ste-

vino

Oltre alla pressione agiscono tutta una serie di forze, le cosiddette forze di

volume, che operano appunto sull’intero volume del fluido. Ne è un esempio

la forza peso. Consideriamo quindi un fluido in quiete, su cui agisce la forza

peso. Siccome è in quiete si dovrà verificare l’equilibrio fra le forze di pressione

→ −

F + F = 0. x

(F ) e quelle di volume (F ), cioè Siccome lungo gli assi

P V V P

y

e non agisce la forza peso e la risultante delle forze di pressione è sempre

z F = dm g

nulla, studio l’equazione lungo l’asse verticale. Posto che e

V

−F

F = (z + dz) + F (z) ...

P P P

...

FINIRE DIMOSTRAZIONE

Si conclude quindi che ∗ ∗

p(h) = p + ρ g h (2.1)

0

legge di Stevino.

formula nota come la Da questa legge essenziale si ricava

l’esistenza di superfici equipotenziali dette superfici isobariche e si deduce che

queste sono orizzontali se il liquido è sottoposto solamente alla forza peso ed

è in quiete.

2.2 Principio dei vasi comunicanti

Discende direttamente dalla Legge di Stevino che se consideriamo un liquido

p(h) =

versato in un sistema di vasi comunicanti bisogna avere in ogni tubo

∗ ∗

p + ρ g h. Quindi, a prescindere dalla forma del tubo o dalla sua sezione,

0 5

h

l’altezza che il liquido raggiunge deve essere la stessa. Questo è anche noto

come il paradosso della fluidodinamica.

2.3 Misurare la pressione

Manometro

Uno strumento semplice da costruire e da utilizzare per misurare la pressione

è il manometro, un tubo ad U riempito di liquido alle cui estremità sono

−p

p p p =

applicate due pressioni e . Dalla teoria so che all’equilibrio avrò

1 2 2 1

ρg∆h. ∆h

Tramite la misura della differenza di altezze fra le due superfici

del liquido, nota una delle due pressioni agenti, posso ricavare la seconda.

p p = p + ρg∆h.

Ad esempio, nota posso ricavare l’altra come Da notare

1 2 1

−p

p 1

2 1 ∆h

∆h = per cui si vede subito che . Più è denso il liquido più

che ρg ρ

piccola è la variazione di altezza e meno sensibile è lo strumento; al contrario,

una densità bassa permette di registrare variazioni di temperatura minori e

permette di avere uno strumento molto preciso.

Barometro di Torricelli

Per misurare la pressione atmosferica Torricelli usò il famoso esperimento del-

la colonnina di mercurio, in cui eguaglia la pressione della colonnina stessa

= ρgh)

(p alla pressione atmosferica (p ). Egli ricavò quindi che la pressio-

atm

ne di una colonnina di mercurio alta 760mm eguaglia la pressione atmosferica.

p = ρgh = 760mmHg = 1atm = 101325P a.

Espressa anche in altri modi: atm

2.4 Forza di Archimede

V

Consideriamo adesso un volume di liquido di forma arbitraria e massa

0

m = ρV F

. Su di essa agiscono la forza di volume (considero solo la forza

0 V

F

peso per il momento) e la forza di pressione . So che essendo in quiete

P

→ −

F + F = 0.

devo avere Siccome considero solo in direzione verticale, con

V P −F −mg −ρgV

F = = =

l’asse z verso il basso, ho che .

P V 0

V

Sostituisco ora a un altro fluido (o solido) con stesso volume, stessa forma

0

0 0 0 0

6

m = ρ V F = F F = F

e massa pari a . So che ma : deve agire una

0 P P

P V

− −

→ 0

F F = F + F

forza pari a e in modulo

P V 0 0

−mg −ρV

F = + m g = g + ρ V g. (2.2)

0 0

Questo è il cosiddetto principio di Archimede, cioè un corpo immerso in un

liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del volume di

6

liquido spostato.

La formulazione della forza di Archimede è quindi

0 −

F = (ρ ρ)V g. (2.3)

0

A 0

F < 0 < ρ),

Con l’asse z orientato verso il basso, se il corpo galleggia (ρ se

A

0

F > 0 > ρ).

invece sprofonda (ρ In poche parole, se il fluido/solido è più

A

denso del fluido in cui è immerso allora sprofonda, se invece è meno denso

risale (la densità di cui si parla è ovviamente la densità media del corpo). I

discorsi appena fatti per i liquidi valgono ovviamente anche per i gas.

7

Parte II

Fluidodinamica

8

Introduzione alla fluidodinamica Un fluido non in quiete è soggetto

ad un attrito viscoso (idealmente simile all’attrito dinamico). Si verifica

sperimentalmente che la forza di attrito viscoso in un fluido vale

dv

F = ηS (2.4)

dH

η dv

con coefficiente di viscosità, differenza di velocità fra i tubi di flusso e

dH η

??. Ovviamente se è molto alta il fluido scorre molto poco e, al crescere

dv F

di cresce anche . Per il terzo principio della dinamica sappiamo che se

F

il tubo di flusso 2 esercita una forza sul tubo di flusso 2, quest’ultimo

1,2

−F

F = v < v

esercita una forza sul tubo di flusso 1. Se allora si ha che

2,1 1,2 1 2 kg

F < 0 F > 0. η

e Il coefficiente di viscosità nel S.I. ha unità di misura

1,2 2,1 ms

kg

−1

= 10

ma è spesso usato il poise (1poise ). Per una trattazione iniziale

ms = 0)

più semplice verranno considerati fluidi con viscosità nulla (η detti

fluidi ideali che rendono più facile lo studio poiché permettono di considerare

ρ.

costante la densità Spesso si considerano fluidi ideali anche fluidi con

viscosità molto prossima allo zero. 9

Capitolo 3

Dinamica dei fluidi ideali

3.1 Fluidi in un condotto

Fluido in quiete Se il fluido è in quiete allora la densità in un punto A

ρ = (x, y, z) p = p(A).

vale e la pressione nello steso punto è

A A

Fluido in moto Per studiare il fluido in moto moto utilizzeremo l’approc-

cio euleriano che consiste nel mettersi in un punto A del condotto misurare la

velocità in quel punto. La velocità è quindi studiata in funzione della posizio-

v = (x, y, z, t).

ne e del tempo, cioè Per semplificare ulteriormente lo studio

supponiamo che il moto sia stazionario, cioè che la velocità in un punto non

= (x, y, z)).

vari nel tempo ma sia solo funzione della posizione (v Conoscen-

do la velocità di ogni punto posso tracciare le linee di corrente in maniera

che siano sempre tangenti alla velocità e osservo che queste non possono mai

ds

intersecarsi. Considero adesso una piccola sezione e studio le linee di cor-

rente che la attraversano e descrivono un tubo di flusso. Quel è il volume che

ds dt? s = v dt,

attraversa la sezione in un tempo Posto il volume che scorre

dV = dS v dt.

si esprime come Posso quindi introdurre una nuova grandezza

dV = dS v = dq, dq

dt dove è

dividendo per a destra e a sinistra, ottenendo dt

chiamata portata. Nel caso la sezione del condotto fosse finita posso integrare

sulla sezione S l’espressione precedente per ottenere la formula generale della

portata Z Z

q = dq = vdS. (3.1)

S S

v dS

Nel caso particolare in cui sia costante sulla superficie allora posso

q = vS S

svolgere l’integrale e ottenere con l’intera superficie del condotto.

'

q v S v

Posso anche utilizzare l’espressione dove è la velocità media del

m m

fluido nel condotto. 10

v = cost

Studio del caso Suppongo che il moto sia stazionario e ricavo

q = cost

facilmente che per l’intero tubo. Considerando allora un tubo di

S S

sezione con una strozzatura di sezione : ciascuna sezione avrà una certa

1 2

q q 2, q = q

portata, rispettivamente e ma deve essere verificato che per

1 1 2

q v S = v S

la costanza di per ciò segue che . Scopro quindi che

1 1 2 2

S

v 2

1 = . (3.2)

v S

2 1

3.2 Legge di conservazione dell’energia e teore-

ma di Bernoulli

Considerando un liquido che scorre in un condotto con parti a sezioni dif-

S S

ferenti e poste ad altezze diverse, lo studio fra due superfici e , poste

1 2

z z

rispettivamente alle altezze e e attraverso le quali il liquido passa con

1 2 0

v v dt S S

velocità e . Dopo un tempo le sezioni si sono spostate:

1 2 1 1

0

S S . Il fluido è ideale per cui non è avvenuta alcuna dissipazione di

2 2 η = 0).

energia (la forza di attrito viscoso è nulla siccome Si noti che le

0 0

S S S S

uniche variazioni di energia sono avvenute fra e e fra e . Calcolo

1 2

1 2

le energie potenziali nei tre tratti:

0

S ,S

1

E = m gz = ρV gz ;

1 1 1 1 1

P 0

S ,S 2

E = cost;

1

P

0

S ,S

2

E = m gz = ρV gz .

2 2 2 2 2

P V = V = V

Sappiamo però che, essendo il moto stazionario, si hanno e

1 2

m = m = m. Calcoliamo adesso la variazione di energia potenziale del

1 2 0 0

S ,S S ,S

2 1

∆E = E E

2 1

fluido: secondo e svolgendo i calcoli si ottiene

P P P −

∆E = gV ρ(z z ). (3.3)

P 2 1

−∆E

W =

Nota la relazione , ricavo facilmente il lavoro delle forze di volume

P

sfruttando la precedente e ottenendo

−gV −

W = ρ(z z ). (3.4)

V 2 1

Vado adesso alla ricerca di un’espressione matematica del lavoro delle forze

−W

W = W

di pressione. Sapendo che e conoscendo l’espressione generica

P 1 2

= F s, s S)

per il lavoro (W con lo spostamento della relativa superficie posso

11

−F −p −p

W = F s s = p S s S s = p V V

scrivere . Per l’uguaglianza

P 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

dei volumi (vedi sopra) concludo che −

W = V (p p ). (3.5)

P 1 2

Per ultima trovo la variazione di energia cinetica del fluido (sfruttando le

stesse caratteristiche usate nel calcolo del lavoro)

1 1 1

1

0 0

S ,S S ,S 2 2 2 2 2 2

2 1 − − −

− mv mv = m(v v ) = ρV (v v ).

∆E = E E =

2 1

k 2 1 2 1 2 1

k k 2 2 2 2

E’ facile adesso scrivere la conservazione dell’energia ricordando che

W = ∆E = W + W

T OT k P V

per cui, sostituendo ed eguagliando i due termini si ottiene

1 1

2 2

ρV v + ρgz + p = ρV v + ρgz + p (3.6)

1 1 2 2

1 2

2 2

formula nota anche come teorema di Bernoulli se scritta nella forma

1 2

ρV v + ρgz + p = cost. (3.7)

2

Casi particolari = cost) E =

Tubo orizzontale (z Siccome l’altezza è sempre uguale, P

cost e si verifica 1 2

ρv + p = cost. (3.8)

2

= cost)

Fluido in quiete (v L’energia cinetica è ovviamente nulla e il

teorema di Bernoulli si riconduce alla legge di Stevino

p + ρgz = cost (3.9)

definendo l’esistenza delle già note superfici equipotenziali.

Applicazioni del teorema di Bernoulli

Fisica del volo Consideriamo un aereo in volo orizzontale: le sue ali in

dt dx.

un tempo si spostano di una lunghezza Le ali hanno però un profilo

particolare (lineare sotto, curvilineo sopra) e l’aria deve percorrere due spazi

diversi nello stesso tempo: avremo quindi che la velocità dell’aria sopra l’ala

(v ) deve essere maggiore della velocità dell’aria sotto l’ala (v). Questa dif-

1

ferenza di velocità provoca una differenza di pressioni, e questa differenza è

ciò che permette all’aereo di volare. 12

Tubo a sezione costante Prendiamo un tubo a sezione costante ove si

z

abbia, in successione, una prima parte in discesa (da un’altezza fino a

1

z = 0), = 0) z = 0

una seconda in piano sul suolo (z e un’ultima in salita (da

z p = p + ρgh

a ). In funzione dell’altezza (h) si ha: nella prima parte ,

2 1 1

p = p + ρgh p = p

nell’ultima ; nella parte centrale . E’ ovvio vedere che la

2 2 0

p + ρgz = p = p + ρgz

pressione maggiore è al suolo e si deve avere .

1 1 0 2 2

Pozzo Il problema di un pozzo è pompare l’acqua da una profondità h fino

al suolo. Con Stevino è facile stimare la differenza di pressione fra il suolo e il

∆p = ρgh,

fondo del pozzo, che vale e la forza necessaria per portare l’acqua

F = S∆p.

fino alla superficie è quindi Ci poniamo adesso un problema: che

potenza deve avere una pompa se voglio che l’acqua arrivi in superficie con

v? P = F v

una certa velocità L’espressione per la potenza è e sostituendo

P = S∆pv = ρghv.

con le espressioni precedenti ricavo

Tubo orizzontale con strozzatura Ricordando che l’energia potenziale

12

12 2 2

ρv = p + ρv

p + . Per la conservazione

si conserva, possiamo scrivere 2

1 1 2

q = q S v = S v

della portata vale che cioè da cui esplicitiamo la prima

1 2 1 1 2 2

velocità ottenendo una utile formula S v

2 2

v = . (3.10)

1 S

1

Sostituendo l’espressione della velocità nell’uguaglianza precedente si vede

v

che l’unica variabile incognita è , per cui la si esplicita, ottenendo

2

s 2

− S

2(p p )

2 1 1

v = (3.11)

2 2 2

ρ (S S )

2 1

Tubo di Pitot Consideriamo un condotto in cui venga messo un ostacolo

sferico: le linee di flusso si curveranno per passare attorno all’oggetto e, dopo

P

un certo spazio, torneranno al regime iniziale. Nel punto , posto dove le

linee di flusso sono esattamente perpendicolari all’oggetto, la velocità del

fluido è nulla e per calcolare la velocità del fluido in un altro punto possiamo

12 2

p = p + ρv

usare Bernoulli (ricordando che il tubo è orizzontale): dove

0 2 2

p P

è la pressione nel punto . Esplicitando la velocità si ottiene

0 s −

2(p p )

2 0

v = (3.12)

2 ρ

13


PAGINE

24

PESO

295.48 KB

AUTORE

Thalos12

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in astronomia
SSD:
Università: Padova - Unipd
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Thalos12 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica generale 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Padova - Unipd o del prof Turolla Roberto.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Fisica generale 1

Fisica 1 - Formule idrostatica e idrodinamica
Appunto
Fisica 1 - Appunti
Appunto
Fisica 1 - Appunti
Appunto