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MODELLI BASATI SU DATI CONTABILI: Z- SCORE DI ALTMAN

Altman ha sviluppato questo modello negli anni 70. Si basa su un'analisi discriminante lineare. Ipotizza una relazione lineare fra alcune variabili esplicative indipendenti e una dipendente rappresentata da una variabile binaria. La binaria può avere valore 1 o 0 a seconda che il debitore sia insolvente o solvente (1 se va in default, 0 se il debitore è sempre solvibile). Sulla base di un campione in un determinato intervallo temporale di cui abbiamo una serie di informazioni, questo modello ci porta ad identificare poi dei coefficienti fissi (stabili nel tempo).

Ogni volta che arriva un nuovo debitore che ha le caratteristiche per poter sfruttare questo tipo di approccio, quindi è un debitore che ha delle analogie con il campione di debitori su cui viene costruito questo modello, dati i coefficienti fissi dobbiamo sostituire la X1, X2, X3, X4, X5 del singolo debitore. A questo punto si troverà un valore.

varianza all'interno di ciascun gruppo. Ovviamente, questi modelli potrebbero diventare anche molto sofisticati se rinveniamo una serie di dati il più possibile oggettivi. Nel modello di scoring, per esempio, potremmo arricchire l'analisi statica (posizione competitiva, indici economico-finanziari e settore di appartenenza) attraverso lo studio del comportamento del debitore - le banche, ad es., possono sfruttare i loro database interni in cui possono rilevare il comportamento di pagamento del debitore, oppure possono utilizzare i dati della centrale dei rischi per andare a vedere come nel tempo si è comportato il debitore con riferimento al sistema bancario. Si potrebbe tener conto di dati più qualitativi, ma tanto più sporchiamo il modello con dati di interpretazione soggettiva, tanto più il modello ha dei limiti. Inoltre, tanto più il modello di scoring si complica, diventando complesso, tanto più la validazione di questi

MODELLI DI SCORING

I modelli di scoring implicano che siano selezionate delle variabili rilevanti che sono accettate se:

• Statisticamente significative
• Economicamente fondate (segno atteso)
• Connessione fra variabili input e output è funzione del modello

Questi modelli hanno tanti limiti:

• Devono avere molte manutenzioni
• Non tengono conto del possibile recupero del credito

Tipicamente, quando si utilizzano i modelli di scoring, si identificano tanti possibili valori delladipendente, tranne nel caso dei modelli probit che assumono una relazione probabilistica, dove ilvalore di Z è compreso tra 0 e 1. In tutti gli altri casi, cioè nello Z-score di Altman, nell’analisidiscriminante o nei modelli logistici, la dipendente può avere un valore ben superiore a 1. Ecco cheallora si identificano tante classi di possibili valori della dipendente, e all’interno di ciascuna classe,si può

andare a vedere la frequenza di insolvenza. Una volta che ho una classe, possono andare a vedere all'interno di quella classe che ha, per esempio, un valore di Z pari a 2,95, compreso tra 2,90 e 3,10, quante sono le insolvenze all'interno di quella classe di score; ecco che quella frequenza è la mia approssimazione della probabilità di insolvenza e mi sta dicendo che nella classe tra 2,90 e 3,10 il 5% delle imprese in media diventa insolvente.

I modelli di scoring sono dei modelli utili per classificare i debitori, per stimare l'insolvenza dei medesimi, ma hanno limiti.

I modelli di scoring espongono a errori di primo e di secondo tipo:

1. Errori di primo tipo: classificare fra le imprese sane imprese che diventeranno insolventi. Comporta costi elevati per il creditore per la possibile perdita del capitale e degli interessi.
2. Errori di secondo tipo: classificare fra le imprese insolventi, le imprese che invece risulteranno sane. La perdita è legata.

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dati di input necessari sono:

• Struttura a termine dei tassi zero-coupon risk-free
• Struttura a termine dei tassi di rendimento zero-coupon dei bond rischiosi (con diverso rating)
• Tassi di recupero attesi in caso di insolvenza dei bond rischiosi

Ho bisogno di avere curve di rendimenti per diverse categorie di rating dei debitori e di altre informazioni sul tasso di recupero atteso (messo a disposizione dalle agenzie di rating).

Le banche di investimento e provider esterni calcolano delle curve dei rendimenti, cioè delle strutture a termine dei tassi per diverse categorie di rating. Se ho a disposizione le strutture a termine, quindi i tassi di rendimento richiesti dal mercato per debitori rischiosi e non rischiosi, la differenza tra questi tassi di rendimento non è altro che lo spread.

Immaginiamo che questa sia la curva dei rendimenti dove sull'asse delle x c'è il tempo T e sull'asse delle y c'è il rendimento R. Il tasso rendimento richiesto

data scadenza o investire in una scadenza inferiore e reinvestire per un periodo per un tasso che è un tasso F. Questo tasso F incorpora le aspettative; se le aspettative sono per un aumento dei tassi uniperiodali, la curva si alza. Se le aspettative degli investitori sono per una riduzione dei tassi, la curva si abbassa.

Se si cerca F, se si ha una curva dei rendimenti di titoli rischiosi, posso calcolarmi tutti i tassi forward, perché ho il tasso ad un anno due anni ecc. lo stesso posso fare per i titoli con riferimento a quelli emittenti che sono considerati privi di rischio (per es AAA), una volta calcolati i tassi forward, posso calcolare la PD, cioè dire lo spread che io osservo tra i tassi forward tra i titoli rischiosi e non rischiosi, da che cosa dipende, che tipo di PD implica e ci si dovrà muovere in un contesto di indifferenza.

DETERMINAZIONE DELLA PD ATTRAVERSO I CREDIT SPREADS

• Determinazione dei tassi forward per titoli privi di rischio

STIMA DELLA PD

Se vogliamo determinare la PD a partire da dati di mercato, abbiamo il problema di avere a disposizione delle curve dei rendimenti, che dovrebbero essere delle curve dei rendimenti riferite a titoli zero coupon, ma nella realtà non tutti i titoli sono 0 coupon per questo ci sono grossi problemi nel trasformare i titoli da non 0 coupon a 0 coupon.

Calcolati i tassi forward posso procedere con il calcolo della PD.

In condizione di neutralità al rischio, cioè in questo caso osservo il tasso di rendimento offerto dall'obbligazione ad una certa scadenza dell'emittente non rischioso.

(1+i) = (1+r) (1-PD) + (1+r)∗ ∗RR∗PD

i = tasso di interesse privo di rischio

r = tasso di interesse del bond rischioso

RR = tasso di recupero in caso di insolvenza

1+i è il montante che si ottiene a scadenza dopo n anni e ovviamente

Questo tasso i lo otterrò sicuramente perché è un emittente non rischioso, quindi la sua probabilità di default è pari a 0.

Se si moltiplicasse 1+1 x 1-PD dove 1-PD è la probabilità di essere pagato, se PD è 0, la probabilità di essere pagato è 1 quindi si può scrivere 1+i.

1+i deve essere uguale, in condizioni di neutralità al rischio, a i+r in cui r è il tasso di rendimento del debitore rischioso, in cui 1+ r non lo otterrò con una probabilità di essere pagato pari a 1 ma lo otterrò con la probabilità di essere pagato pari a 1-PD.

Quindi se PD fosse 3%, 1-PD sarebbe 0.97 che vuol dire che ho il 97% di probabilità di ricevere 1+r mentre ho un 3% di essere insolvente o di perdere tutto, anche se nella realtà non è detto che io lo perda tutto, ma normalmente recupero una parte.

Quindi se il tasso di recupero è 0 questa equazione si risolve con: (1+i0