Finanza aziendale 2, esame completo, prof. Signori

Finanza aziendale - Asset pricing

Parte 1: Finanza aziendale

In questo corso faremo asset pricing, ossia andremo a studiare i principali modelli di pricing, cioè modelli che si pongono l’obiettivo di determinare il prezzo di uno strumento finanziario una volta che conosciamo le sue caratteristiche principali. Nella parte finale del corso faremo “finanziamento delle imprese”, ossia i problemi che le imprese vanno ad affrontare quando devono raccogliere capitale.

Sezione 1.1: Modelli rischio-rendimento e analisi media-varianza

In questa prima parte determineremo quindi il prezzo di uno strumento finanziario. Uno strumento finanziario è un contratto, può essere relativamente semplice, come un’obbligazione in cui abbiamo noti a priori i flussi di cassa che riceverete. Per esempio, quando acquistiamo un BTP o una qualsiasi obbligazione corporate o governativa, sappiamo già da contratto qual è il rendimento che riceveremo da questa obbligazione perché stiamo prestando dei soldi a chi ha emesso l’obbligazione e questo emittente ci remunera con un tasso di interesse e con la restituzione del capitale a scadenza.

Quindi, per un’obbligazione è tutto noto a priori: sappiamo quando ci danno gli interessi, quando vengono staccate le cedole e quando il capitale sarà rimborsato. In questo corso vedremo azioni e opzioni in cui il livello di incertezza è più elevato, perché sappiamo che le azioni non ci garantiscono un rendimento noto a priori. Le azioni sono strumenti di raccolta di capitale di rischio, quindi possiamo incorrere anche in una perdita del nostro investimento.

Gli strumenti derivati, a maggior ragione, essendo collegati al valore di un altro strumento finanziario, chiamato sottostante, richiedono modelli di asset pricing più complessi perché hanno un pay-off molto incerto e non lineare. Quando io devo acquistare un titolo finanziario, sto entrando in un contratto e fare asset pricing significa dare un valore a questo contratto.

Nel caso delle obbligazioni è relativamente semplice perché il valore di uno strumento finanziario lo possiamo calcolare andando a scontare quelli che sono i flussi di cassa che questo strumento genererà per noi. Fare asset pricing significa andare a identificare i flussi di cassa che questo contratto genererà e che io riuscirò ad incassare. Se sarò così bravo ad individuare questi flussi, allora calcolo il loro valore attuale ad oggi e ottengo il valore di questo contratto.

Esempio: ZCB, ho tutte le informazioni per calcolare il valore del contratto. Per un’azione e per un’opzione è più complicato definire quali e in che istante di tempo verranno prodotti questi flussi di cassa. Quindi come problemi abbiamo tre problemi:

• Individuazione dei flussi di cassa dei cosiddetti pay-off di uno strumento finanziario.
• Quando abbiamo individuato i flussi di cassa e dobbiamo calcolare il valore attuale, quali altre informazioni ci servono per calcolare il valore attuale di uno o più flussi di cassa? Dobbiamo attualizzare i flussi di cassa, ma il problema è come si calcola il valore attuale? Il tasso di sconto che utilizziamo per attualizzare.
• Il tempo, ossia l’istante di tempo in cui il flusso di cassa si manifesterà.

Gli studiosi di asset pricing hanno dovuto affrontare questi problemi. Per quanto riguarda il tempo, è chiaramente una dimensione problematica, soprattutto per gli strumenti che non hanno una scadenza, esempio per le azioni. Ma il vero problema sta nel quantificare r, ossia il tasso di sconto, perché r che cosa cattura?

Teniamo presente che più è alto il tasso di sconto, minore è il valore attuale di quel contratto perché r sta a denominatore. Il tasso di sconto è un parametro che quantifica la rischiosità associata a quel flusso di cassa. Quanto è probabile che io incassi quel flusso di cassa? Se è molto probabile allora uso un tasso di sconto basso, se è poco probabile allora userò un tasso di sconto alto.

Il problema sta qui, ossia bisogna capire quanto uno strumento finanziario è esposto a rischio perché il rischio è una variabile fondamentale nella determinazione del valore oggi di quel contratto, del prezzo di quello strumento finanziario.

Noi vedremo due modelli di asset pricing per quanto riguarda i titoli azionari che sono il CAPM e i modelli fattoriali. Hanno lo stesso obiettivo, cioè sono due modelli di asset pricing con oggetto titoli azionari, ma sono due approcci molto diversi tra di loro.

CAPM e modelli fattoriali

Il CAPM è uno di quei modelli che ha alla base tante assunzioni e molto forti. Si pone l’obiettivo di determinare il valore di un titolo azionario e lo fa in modo rigoroso, ma il prezzo da pagare è che le assunzioni che permettono al modello di funzionare sono tante e tali per cui quando si fa un confronto con quello che accade nella realtà, ci accorgiamo che molte di queste assunzioni non sono rispettate.

Le assunzioni sono tante, per esempio il CAPM assume che tutti gli investitori si comportino in un certo modo, ossia scelgano un investimento secondo un determinato criterio che vedremo tra poco. Se anche uno solo degli investitori devia da questo criterio, allora il CAPM non vale. Questa è una delle assunzioni, ce ne sono tante, ma in generale l’impostazione del CAPM è porre condizioni molto forti sul comportamento degli investitori, sul comportamento dei prezzi azionari, ecc. Ammesso che siano soddisfatte queste condizioni, il CAPM è in grado di dirci quale dovrebbe essere il rendimento e quindi il prezzo di un titolo, una volta quantificata l’esposizione al rischio.

APT o modello fattoriale (arbitrage pricing theory) non ha assunzioni o meglio ne ha una sola che è l’assenza di opportunità di arbitraggio. La possibilità di arbitraggio è la possibilità di ottenere un profitto certo e privo di rischio.

Arbitraggio = profitto certo e privo di rischio.

Le opportunità di arbitraggio sorgono quando c’è un disequilibrio tra i prezzi di uno o più strumenti finanziari. Per esempio, ipotizziamo che un’impresa quotata ha le proprie azioni quotate su più mercati (es. Microsoft le cui azioni si possono comprare tramite borsa italiana e borsa di NY). Ipotizziamo che per una qualche inefficienza/frizione presente nel mercato, il prezzo di un’azione Microsoft su Milano è diverso da quello su NY. C’è uno squilibrio di prezzo dovuto a una qualche frizione del mercato ed esiste l’opportunità di arbitraggio che consiste nel fatto che possiamo acquistare l’azione Microsoft nel mercato in cui il prezzo è più basso e rivenderla immediatamente nel mercato in cui il prezzo è più alto, permettendoci di fare un’azione di compra-vendita istantanea senza sostenere rischio e ottenere il differenziale di prezzo.

I modelli di tipo fattoriale hanno l’assunzione che non ci siano opportunità di arbitraggio. Eppure, esistono gli arbitraggisti, cioè c’è gente che di professione con costruzioni di posizioni molto sofisticate cerca di individuare inefficienze nei prezzi di mercato per sfruttare queste situazioni e trarne profitto. Quindi l’esistenza di queste persone fa intendere che esista l’opportunità di arbitraggio e quindi l’assunzione di questi modelli non è sempre soddisfatta. Tuttavia, questi modelli sono largamente accettati e utilizzati nonostante si poggino sull’assunzione di assenza di arbitraggio che non è sempre vera.

Perché è ragionevole pensare che nei mercati finanziari non ci siano opportunità di arbitraggio? Non è che non esistono le opportunità di arbitraggio in senso stretto, ma qualora sorgano queste opportunità di arbitraggio, ipotizziamo che ci accorgiamo che costa di più su Milano e meno su NY, allora iniziamo a comprare su NY e rivendere su Milano per fare questo profitto di arbitraggio. Ma così come lo stiamo facendo noi, lo fanno anche altri quindi la domanda di titoli su NY aumenta e l’offerta di titoli a Milano aumenta perché tutti vogliono comprare da NY e vendere a Milano. Per la legge dell’offerta e della domanda, quando un bene è soggetto a eccesso di domanda il suo prezzo aumenta, quando è soggetto a un eccesso di offerta il suo prezzo diminuisce e quindi succede che i prezzi si allineano e lo fanno in modo tanto più rapido quanto più operatori stanno facendo questa operazione.

Quindi ha senso avere il non arbitraggio come assunzione in un modello di asset pricing perché se anche si presentasse questa opportunità, è ragionevole pensare che sia temporanea perché l’operato degli arbitraggisti comporta un riallineamento molto rapido dei prezzi.

Utilità attesa della ricchezza e attitudine degli investitori verso il rischio

Concetto di utilità: indice di gradimento personale, ogni individuo ha la sua funzione di utilità che permette di mettere a confronto scelte che altrimenti non potremmo comparare. Numero che esprime il beneficio che noi traiamo. L’utilità della ricchezza U(W) permette di attribuire una e una sola misura di utilità a ciascun livello di ricchezza.

Applicheremo il concetto di utilità alla ricchezza ossia alle somme di denaro, quindi quanto beneficio mi dà possedere questo livello di ricchezza U(W). Introduciamo il concetto di utilità perché questa è una delle assunzioni del CAPM.

Iniziamo a vedere cosa significa, assunzioni:

• Il comportamento degli individui è dettato dall’obiettivo di massimizzare l’utilità derivante dalla loro ricchezza.
• Una volta che sono in grado di calcolare l’utilità, è chiaro che se ho davanti a me delle scelte, io preferisco l’alternativa che massimizza la mia utilità, essendo un punteggio che esprime il beneficio che traggo da un determinato scenario, se ho più scenari la mia preferenza va per lo scenario che massimizza la mia utilità.

Assunzione di non-sazietà: utilità marginale è sempre positiva. Una caratteristica della funzione di utilità è che cresce sempre al crescere della ricchezza, essere più ricco mi permette di conseguire un livello di utilità maggiore. In matematica si dice che la derivata prima è positiva.

Scelte in condizioni di incertezza: L’utilità attesa

Il problema è quando io non conosco con certezza quale sarà la mia ricchezza nel futuro, ma cosa posso fare? Posso identificare i possibili scenari e assegnarli la probabilità di verificarsi. Guardando al futuro, io sto agendo in condizioni di incertezza perché ho davanti a me una pluralità di alternative, ciascuna delle quali ha una probabilità più o meno alta o più o meno bassa. Posso capire qual è l’utilità in ciascuno degli scenari perché so determinare il livello di utilità del singolo scenario, ma non dipende da me, sono degli scenari con delle probabilità di accadimento. Cosa posso fare? Posso calcolare allora una media dell’utilità (EV) che prende il nome di utilità attesa che è la media delle utilità associate ai diversi scenari. Quando troviamo la parola attesa dobbiamo ricordarci che è la media.

La ricchezza attesa è la media delle ricchezze E(W): se ho tre scenari prendo le tre ricchezze e le moltiplico per le probabilità di accadimento dei tre scenari e ne faccio la sommatoria. L’utilità attesa delle ricchezze E[U(W)] è la media delle utilità quindi il valore atteso dell’utilità che quella ricchezza mi dà. L’individuo quando agisce in condizioni di incertezza massimizza l’utilità attesa, non la ricchezza attesa.

Esempio: ricchezza attesa

Esempio utilità attesa:

Per calcolare E[U(W)] dobbiamo conoscere la funzione di utilità del soggetto. Ipotizziamo essere U(W)=. In termini di ricchezza attesa: Delta > Gamma. In termini di utilità attesa: Gamma > Delta. Ho indicazioni discordanti pur trattandosi degli stessi investimenti e questo accade per la forma particolare della funzione di utilità.

Mettiamo sull’asse delle ascisse w, la ricchezza, e sull’asse delle ordinate U(w) e disegniamo la funzione di utilità, in questo caso U(W)=. Vediamo che è strettamente crescente (U’) quindi ogni € aggiunto incrementa il mio livello di utilità, quindi soddisfa l’assioma di non-sazietà. Inoltre è concava, ossia la curvatura della funzione è tale per cui se io passo da 0 a 1 ho un incremento di utilità di circa 3 unità, se ho una ricchezza di partenza di 8 e aggiungo ancora 1€, la curva se passa da 8 a 9 è molto meno ripida quindi l’incremento di utilità è più piccolo rispetto all’incremento di utilità nel passaggio da 0 a 1. Questo vuol dire che gli incrementi di utilità al crescere della ricchezza sono decrescenti (U’’).

Forme funzionali crescenti e con derivata seconda negativa sono proprie degli individui avversi al rischio. Tornando al nostro esempio:

Gamma Delta Ricchezza attesa E(W) 1270 < 1275 Utilità attesa della ricchezza E[U(W) 35.62 > 35.59 Dal punto di vista della ricchezza attesa abbiamo che Gamma < Delta, poi abbiamo calcolato l’utilità attesa della ricchezza e abbiamo visto che Gamma > Delta.

Calcolo dell’utilità della ricchezza attesa

Ora calcoliamo l’utilità della ricchezza attesa:

Utilità della ricchezza attesa U[E(W)]: è l’utilità che io avrei se anziché partecipare all’investimento, ossia anziché espormi ai tre scenari di incertezza, io ricevessi in contanti un ammontare che è esattamente uguale alla ricchezza attesa dell’investimento. La ricchezza attesa è un qualcosa che non esiste, se io partecipo all’investimento non avrò mai 1270 o 1275 perché questo è quello che io mediamente avrò, ma finirò sempre in uno dei 3 scenari. Invece qui l’utilità della ricchezza attesa è che utilità conseguiresti se, anziché partecipare a, io ti do 1270€ in contanti. Non partecipo all’investimento ma ricevo una somma di denaro che è uguale alla ricchezza attesa dell’investimento.

Il calcolo è: Questa è l’utilità che io otterrei se mi venisse consegnata una somma di denaro certa pari alla ricchezza attesa dell’investimento, questo si chiama equivalente certo (CE). Partecipi a un investimento che in media ti dà 1270 o preferisci ricevere 1270 cash subito? Possiamo rispondere a questa domanda guardando l’utilità del partecipare che è l’utilità attesa della ricchezza e l’utilità di ricevere la somma di denaro pari alla ricchezza attesa senza partecipare e Gamma Delta Utilità attesa della ricchezza E[U(W) 35.62 > 35.59 Utilità della ricchezza attesa U[E(W)] 35.64 < 35.71 Questo individuo preferirà sempre ricevere l’equivalente certo piuttosto che partecipare a una lotteria, quindi piuttosto che esporsi all’incertezza perché questa soluzione gli dà un’utilità maggiore. Individui che preferiscono ricevere l’equivalente certo anziché partecipare all’investimento e esporsi all’incertezza sono chiamati individui avversi al rischio: sono individui la cui funzione di utilità fa in modo che l’utilità della ricchezza attesa sia sempre maggiore dell’utilità attesa della ricchezza.

Utilità attesa della ricchezza e utilità della ricchezza attesa

Rappresentiamo sul grafico le grandezze di cui abbiamo parlato fino ad ora. Abbiamo la ricchezza sull’asse orizzontale indicata con W e la funzione di utilità, che ci permette di capire qual è l’utilità associata a ogni livello di ricchezza, che è rappresentata sull’asse verticale U(W) in nero, e vediamo che è sempre crescente, ma è concava quindi la curva tende ad appiattirsi all’aumentare del livello di ricchezza. Utilità marginale decrescente, derivata seconda negativa avversione al rischio.

Immaginiamo una lotteria in cui ci sono due scenari: in quello peggiore ottengo, in quello migliore ottengo, e immaginiamo che gli scenari siano equiprobabili. Nello scenario peggiore finisco con e nello scenario migliore, di vincita, finisco con. L’utilità del conseguire e è il corrispondente sull’asse verticale U() e U() che leggo con la proiezione di W sulla funzione di utilità.

Per prima cosa posso calcolare la ricchezza attesa, cioè la media delle due ricchezze nei due scenari, infatti E(W) sta a metà dei due scenari. A questo punto nel grafico abbiamo due punti: uno giallo e uno rosso. L’utilità della ricchezza attesa U[E(W)], è un’utilità che calcoliamo allo stesso modo con cui calcoliamo l’utilità delle ricchezze dei due scenari perché è l’utilità che io conseguo se mi viene consegnato cash, un ammontare di denaro, pari alla ricchezza attesa.

Esempio: se questa lotteria ha due scenari 100 e 200 e anziché partecipare, io posso incassare subito 150 senza partecipare, la mia utilità sarà la proiezione di questa ricchezza W sulla funzione di utilità, ossia il punto rosso che leggo sull’asse verticale. L’utilità attesa della ricchezza E[U(W)], è mediamente l’utilità che io mi aspetto dal partecipare a questa lotteria ed è il punto giallo che si trova sulla corda che unisce le utilità associate allo scenario A e B. Quindi...