Finanza aziendale

MODELLO BLACK AND SCHOLES/BINOMIALE

La formula binomiale (modello Cox-Ross-Rubenstein) e il modello Black and Scholes

sono utilizzati per calcolare il valore di una opzione call, che è pari a quello di un

portafoglio, detto “portafoglio equivalente” (hedging portfolio), composto dalla azione

sottostante e dal titolo privo di rischio. Se ciò è vero, non vi sono possibilità di

arbitraggio privo di rischio.

Il periodo di vita della opzione è scomposto in n sottoperiodi, in ciascuno dei quali il

rendimento dell’azione sottostante varia. La prima differenza tra i due modelli sta

proprio nella diversa scomposizione del periodo: il modello binomiale lo scompone in n

periodi, in cui il prezzo può variare (aumentare o diminuire) della stessa entità: perciò,

il prezzo del sottostante si muove a scatti in intervalli discreti, ossia di lunghezza

prefissata. La formula B&S, invece, implica un movimento continuo del prezzo, ovvero

una variazione istante per istante. Questa differenza ne comporta una seconda: nel

modello binomiale si usa la capitalizzazione composta annua, mentre nella formula

B&S la capitalizzazione continua. Dunque, nel primo caso otteniamo una distribuzione

dei rendimenti binomiale, nel secondo una distribuzione lognormale. Tuttavia, è

dimostrabile che la distribuzione binomiale, per n periodi che tendono ad un numero

infinito, converge alla lognormale. Infatti, i risultati, al crescere di n periodi, sono

approssimativamente uguali, indipendentemente dalla formula utilizzata; ciò è

giustificato dalla validità del teorema del limite continuo.

Vi sono casi in cui la formula B&S non è utilizzabile, perché richiede la stima della

volatilità del rendimento del sottostante, non sempre agevole, e perché non è

applicabile per calcolare il valore di opzioni americane. Dati sqm, r annuo e n

sottoperiodi di t, si possono stimare gli elementi necessari all’applicazione della

formula binomiale: u, d, r binomiale. Questi elementi dipendono dalla scomposizione di

t in n sottoperiodi; in particolare, il tasso r continua a riferirsi all’intero periodo t, ma

non al sottoperiodo singolo, poiché viene a dipendere dal numero di sottoperiodi;

occorre trasformarlo in modo che, se n cambia, il tasso di lungo periodo non si

modifichi.

Il modello binomiale, in altri termini, include la distribuzione lognormale come caso

limite, in quanto ammette il trading continuo dei prezzi azionari; pertanto, le due

formule dovrebbero coincidere: così, possiamo utilizzare la binomiale nei casi in cui

non si può applicare la B&S, sicuri di ottenere una buona approssimazione dei risultati.

La struttura delle formule è simile: è la differenza tra S e K, attualizzato al tasso risk

free, ponderata per le rispettive probabilità di successo; carattere distintivo della B&S

è la presenza della volatilità dei rendimenti del sottostante, mentre nella binomiale ci

si riferisce ad a, quale numero minimo di successi ovvero casi in cui la call spira in-the-

money. Vale poi il parallelismo con il portafoglio equivalente: infatti, la probabilità di S

è pari alla percentuale di titolo necessaria nel portafoglio equivalente e la probabilità

di K è pari alla probabilità che la call spiri esercitata.

Se l’azione sottostante paga dividendi, si utilizza il valore dell’azione al netto del

valore attuale dei dividendi attesi. Per le opzioni americane si utilizzano formule

pseudo-B&S e alberi binomiali molto più complessi di quelli qui analizzati.

DELTA E OMEGA DI UNA CALL

Dal momento che i modelli di “asset pricing” sono pensati per valutare tutte le attività

finanziarie, dovrebbero valere a calcolare il valore delle opzioni. Delta rappresenta in

neutral hedge ratio),

generale il rapporto di copertura dei derivati ( in termini assoluti:

nella formula binomiale indica la porzione di sottostante che deve essere presente nel

portafoglio equivalente, nella formula B&S coincide con N(x), elemento di probabilità

compreso tra 0 e 1, riferito al valore del sottostante S.

Ceteris paribus, Delta rappresenta la derivata parziale del prezzo della call rispetto al

prezzo dell’azione, ossia la variazione del prezzo della call al variare del prezzo

dell’azione in termini assoluti.

Dal Delta ricaviamo il valore di Omega, ossia l’elasticità del prezzo della call al prezzo

dell’azione: se si vuole la variazione del prezzo della call in termini percentuali, occorre

dividere numeratore e denominatore, rispettivamente, per C e per S, ossia i prezzi

delle attività finanziarie in questione. Omega risulta prodotto di Delta per il rapporto

S/C e permette di passare dai valori della azione a quelli della call: rendimento,

volatilità e beta. È sempre maggiore di 1, perché il termini relativi la variazione del

prezzo dell’azione è sempre minore di quella dell’opzione.

Si dimostra così che il rendimento atteso e il rischio delle opzioni sono legate al rischio

e al rendimento atteso dell’azione sottostante. Attenzione: teorie come il CAPM

tentano di spiegare la relazione tra i tassi di rendimento su tutte le attività e implicano

una particolare relazione tra il prezzo delle azioni e delle opzioni; tuttavia, non è vero il

contrario, cioè la validità del modello di option pricing non implica la validità del CAPM.

In effetti, per calcolare il valore della call non abbiamo bisogno di sapere se l’azione è

prezzata correttamente.

OPZIONI REALI

Nell’attività di capital budgeting si utilizzano diverse tecniche valutative:

tradizionalmente si usa il VAN (Valore Attuale Netto), simile al modello valutativo del

prezzo delle azioni; infatti, si basa sull’attualizzazione dei flussi di cassa attesi

dall’investimento nello scenario di gestione più probabile. È la tecnica più diffusa nelle

realtà aziendali, benché si presti poco alla flessibilità dei progetti, molti dei quali non

sono definiti in tutte le loro caratteristiche e possibili sviluppi al momento

dell’investimento iniziale (scala di realizzazione, prolungamento, interruzione …). Per

considerare queste variabili si utilizza, in alternativa al VAN, la tecnica delle opzioni

reali: essa permette di considerare la volatilità dei flussi di cassa attesi, e dunque il

valore (o valori) che il progetto può assumere dopo il momento dell’investimento

iniziale. Lo sqm del progetto si stima con riferimento ai flussi attesi di vari scenari

futuri, ad investimenti simili o al settore di attività.

Opzione di abbandono: per alcuni progetti esiste l’opportunità di differire la

realizzazione ad un tempo futuro; nella scelta di differimento e nella definizione del

tempo di ritardo occorre considerare la presenza di garanzie e la loro natura; si può

disporre di una protezione legale (brevetto) o di fatto (posizione di mercato), che

garantisce la convenienza della realizzazione del progetto anche ad un momento

futuro. Si tratta di un’opzione call, il cui valore è stimato considerando i flussi di cassa

persi al pari di dividendi corrisposti durante gli anni di differimento: il valore a t nel

futuro deve essere confrontato con il VAN del progetto oggi. L’opzione di abbandono

aumenta il proprio valore, maggiore è la volatilità del progetto. Addirittura se la

volatilità è molto elevata può convenire differire un progetto a VAN positivo, in quanto

il valore dell’opzione di abbandono sarà più elevata in futuro.

Opzione di abbandono: vige la possibilità di cedere a terzi il progetto in un momento

futuro, in cui il valore di realizzazione del progetto sia minore del costo

dell’investimento. Si tratta di un opzione put, il cui valore è aggiunto al VAN del

progetto oggi.

Opzione di espansione/crescita: l’investimento iniziale è prodromo ad investimenti

successivi nella stessa direzione, i quali dipendono tuttavia dal valore della

realizzazione del primo investimento (catena di fast food in un nuovo mercato-Paese).

Si tratta di un’opzione call sugli investimenti successivi, il cui valore si aggiunge al VAN

del progetto oggi. Dunque, l’impresa potrebbe decidere di intraprendere un progetto a

VAN negativo con la prospettiva di elevati valori attuali positivi sui progetti successivi.

Il valore della call di espansione ha un valore maggiore, maggiore è la volatilità del

settore; in particolare, esistono call di questo tipo nel settore ricerca e sviluppo.

RAPPORTO CREDITORI E AZIONISTI IN TERMINI DI OPZIONI

Il modello si fonda sulla previsione di flussi di cassa in quattro scenari con uguale

probabilità, in cui si potrebbe trovare una società temporanea al momento della

liquidazione: ottimo, buono, mediocre, disastroso. Il valore dell’attivo in ciascun

scenario è il valore del sottostante su cui è costruita l’opzione.

Oggi la società emette un debito sotto forma di obbligazioni con un valore nominale,

che rappresenta lo “striking price” dell’opzione. I soggetti coinvolti sono gli azionisti e i

creditori della società. Se l’attivo è maggiore del valore del debito a scadenza sono

soddisfatte entrambe le categorie, altrimenti gli unici a ricevere pagamento sono i

creditori, anche se in modo parziale.

In termini di opzione CALL, oggi gli azionisti richiedono il finanziamento ai creditori e

cedono loro in garanzia il valore dell’impresa (attivo = S); gli obbligazionisti accettano

di finanziarli per il valore attuale del valore del debito a scadenza e iscrivono sull’attivo

in garanzia una opzione call, che vendono agli azionisti. A scadenza si possono avere

due casi: l’attivo vale di più del debito (valore nominale = K) e gli azionisti esercitano

la call; allora, i creditori consegnano l’attivo agli azionisti al valore che ha assunto a

scadenza, ricevendo il valore del debito a scadenza. Agli azionisti resta S-K come gain.

Se l’attivo, però, vale meno del debito a scadenza, gli azionisti non esercitano la call e

i creditori restano con l’attivo a soddisfacimento del loro credito verso la società, che

così fallisce perché i soci non concederanno l’aumento di capitale, né possono

ottenere in linea teorica rifinanziamento da altri creditori. Si utilizza il modello di

“option pricing” per valutare la opzione iscritta sull’attivo dell’impresa al momento del

finanziamento: se il debito fosse privo di rischio, non esisterebbe alcuna opzione. La

sua presenza è giustificata dal rischio di fallimento, misurato dalla volatilità dell’attivo

di impresa.

In termini di opzione PUT, gli azionisti