Finanza aziendale

Domande di teoria finanza aziendale

Principio della massimizzazione dell'utilità attesa

È universale, anche se critica di Allais (paradosso di Allais) per la presenza di individui irrazionali sul mercato; risposta di Von Neumann: irrazionali perdono e escono dal mercato. Per Von Neumann gli individui hanno la possibilità di misurare l'utilità degli investimenti: così possono scegliere in condizioni di incertezza. La decisione di scommettere dipende dalla forma della funzione di utilità di ogni investitore (convessa, concava o lineare su un piano che correla la ricchezza W e l'utilità della ricchezza U(W)). Ogni scommessa è valutata sulla base della ricchezza attesa (media ponderata di Wi) e dell'utilità attesa dalla scommessa; la decisione finale è supportata dal confronto tra le varianze delle scommesse.

Principio di media e varianza

A parità di valore attuariale, ossia di valore atteso, tra più investimenti, ogni investitore avverso al rischio seleziona quello con minore varianza. Se consideriamo una distribuzione dei rendimenti normale la media è zero e gli scostamenti dalla media rappresentano la variabilità dei rendimenti, e quindi sono una misura del rischio dell'investimento. Con la media e la varianza ogni investitore razionale può instaurare confronti tra investimenti e scegliere infine quello che massimizza la sua utilità (rapporto al rischio). Per i casi di non netta dominanza tra investimenti diviene fondamentale guardare la funzione di utilità dell'individuo.

Il principio di media-varianza vale certamente solo se la distribuzione è normale e quindi la scommessa è simmetrica nella sua variabilità. Nella funzione di utilità si introducono il coefficiente di asimmetria o di curtosi, nel momento in cui la distribuzione non è simmetrica. Una distribuzione simmetrica ha curtosi pari a 1 e asimmetria pari a 0.

Nella realtà, è possibile considerare la distribuzione dei rendimenti normale: esiste una funzione lognormale asimmetrica, che è data dal prodotto del rendimenti istantanei di un certo titolo in un certo intervallo di tempo; infatti, per la capitalizzazione composta il rendimento di un periodo T è dato dal prodotto dei rendimenti di ogni t (infraperiodo). Il logaritmo del rendimento maggiore è pari alla sommatoria dei logaritmi dei rendimenti istantanei, per la proprietà dei logaritmi (logaritmo del prodotto = somma logaritmi dei fattori singoli): perciò, posso assumere che il logaritmo del rendimento maggiore, rappresentato da una distribuzione normale, approssima verosimilmente la distribuzione del rendimento al naturale (che aveva distribuzione lognormale, asimmetrica). Senza ricorrere alla lognormale non possiamo essere certi che valga sempre il principio di media-varianza, essendoci probabilmente indici di asimmetria e curtosi nella reale distribuzione dei rendimenti.

A questo proposito vale il teorema del limite centrale: una variabile casuale, che è la somma di n variabili casuali, ciascuna delle quali ha la stessa distribuzione di probabilità, tende alla normale quando n tende a infinito; per avere la stessa distribuzione di probabilità i rendimenti devono presentare la stessa media e la stessa varianza.

Assunzioni del CAPM

• Assenza dei costi di transazione: se investo in fondi di investimento o in portafogli ben diversificati sono trascurabili
• Perfetta divisibilità degli investimenti
• Assenza di vincoli alla vendita allo scoperto
• Possibilità di dare e di prendere a prestito illimitatamente al tasso risk-free
• Investitori price taker: gli ordini degli investitori non spostano i prezzi dei titoli

Queste cinque sono ammissibili per aggiustamenti del mercato.

• Non vi sono imposte sui redditi da capitale: esistono e incidono sulle decisioni di investimento
• Omogeneità di aspettative da parte di tutti gli investitori: solo parzialmente vera se considero le grandi banche che hanno le migliori informazioni e le elaborano con modelli simili (ma l'omogeneità non è assoluta)
• Tutti gli investimenti sono negoziabili sul mercato: il capitale umano è un esempio di investimento non negoziabile

Queste ipotesi rendono il CAPM un modello troppo semplice per valere a descrivere la realtà.

Assunzione fondamentale del CAPM

Gli investitori si comportano secondo il principio di media-varianza, quindi il rendimento atteso e la varianza di rendimento della loro ricchezza sono i soli parametri rilevanti per massimizzare la propria utilità.

• Devono ragionare secondo il principio dell'utilità attesa ed essere avversi al rischio;
• Le distribuzioni di probabilità dei rendimenti sono ben rappresentabili come distribuzioni normali
• E quindi valga il principio di media-varianza.

Se distribuzioni non sono normali, non vale in ogni caso il principio di media-varianza e gli investitori potrebbero scegliere investimenti inefficienti dal punto di vista di tale principio; occorre che si prendano in considerazione anche parametri come asimmetria e curtosi per decidere in modo da massimizzare la utilità attesa. La razionalità non è standardizzabile e può variare il suo risultato.

Se è data la validità del principio di massimizzazione utilità, non necessariamente vale il CAPM: deve esserci anche distribuzione simmetrica dei rendimenti. Se poi la maggioranza degli investitori rispetta e non rispetta il principio di massimizzazione dell'utilità attesa non è certo valido il CAPM, ma può valere l'APT, perché questo modello non chiede che TUTTI gli investitori siano razionali per l'assenza di arbitraggi privi di rischio.

Opzioni

Le opzioni sono un tipo di strumenti derivati, il cui valore dipende dal valore di attività sottostanti.

Call e put

Call sono opzioni che danno il diritto di acquistare una certa attività entro (americana) o a (europea) una certa data futura, ad un certo prezzo (prezzo di esercizio).

Put sono opzioni che danno di vendere una certa attività entro o a una certa data futura, ad un certo prezzo (prezzo di esercizio).

Pricing dell'opzione

Le variabili incidenti sul valore delle opzioni sono 6:

• S = valore corrente dell’azione
• K = striking price
• T = tempo a scadenza (effetto positivo, ma attenzione al VA di K)
• Sigma = volatilità (effetto positivo: down side risk protetto)
• I = tasso di interesse (effetto combinato con T: rafforza positivo per call; effetto in due direzioni per la put)
• Dividendi in contante (riducono S)

Modelli di asset pricing

Ci dicono quale dovrebbe essere il prezzo delle attività finanziarie; ne esistono due famiglie: i modelli della famiglia del CAPM si basano su ipotesi stringenti sulle preferenze (funzioni di utilità e principio dell’utilità attesa) e quindi sui comportamenti (razionalità) degli individui che operano nel mercato finanziario; l’APT e i modelli di determinazione del prezzo dei derivati, invece, si basano sull’ipotesi di assenza di possibilità di arbitraggi privi di rischio (principio di "no arbitrage"). La definizione di arbitraggio privo di rischio è un’operazione di investimento che permette di prendere posizione senza sborsare capitale iniziale (in genere perché acquisto l’attività finanziaria sottovalutata finanziandomi con la vendita allo scoperto di un’altra attività sopravvalutata) con la certezza di ottenere un guadagno alla chiusura dell’operazione = guadagnare con certezza qualcosa senza investire nulla. È l’attività di investimento più profittevole che esista e ha un tasso di interesse infinito. Si potrebbe presentare ogni volta che sul mercato sia violata la legge del prezzo singolo (ovvero due beni identici devono sempre avere lo stesso prezzo). La divergenza però sparirebbe in un istante grazie alla massa di ordini inversi di acquisti e di vendita dei due beni, che indurrebbero ad un istantaneo ritorno ad una situazione di equilibrio, in cui i due beni hanno prezzo identico. Per questo vale l’assunzione che nella realtà dei mercati finanziari non esistono possibilità di arbitraggi privi di rischio. La differenza fondamentale tra le due famiglie di modelli di pricing sta qui: l’ipotesi di assenza di arbitraggio privi di rischio è valida anche se solo ALCUNI individui continuano a effettuare operazioni di arbitraggio fino a che i prezzi non si riallineino. I modelli come il CAPM, invece, presentano la fragilità di effettuare previsioni sul comportamento razionale di TUTTI gli investitori.

Vendita allo scoperto (short sale)

Meccanismo per cui si può vendere un titolo che non si possiede, prendendolo in prestito da un altro operatore di mercato, che ne è il proprietario, per un certo periodo; al termine del periodo il titolo deve essere restituito, quindi chi lo ha preso in prestito deve ricomprarlo per restituirlo all’effettivo proprietario. È utilizzato per fini speculativi e nelle operazioni di arbitraggio; nella trattazione dei modelli di pricing è rilevante per gli effetti nella formazione di portafogli, in economie fattoriali con esposizione al rischio di uno o più fattori (variabili casuali). Ai fini dei modelli si ipotizza che le posizioni “corte” siano possibili senza limiti di quantità e di costi. Attenzione: sul titolo preso a prestito, chi ha preso a prestito deve pagare al proprietario gli interessi o i dividendi per l’ammontare intero del frutto.

Rapporto book to market

È definito come il rapporto tra il valore contabile del patrimonio netto della società, cui è riferito il titolo azionario, e la capitalizzazione di borsa della società (in inglese market capitalization). Il numeratore è il valore del patrimonio netto rintracciabile nello stato patrimoniale di più recente pubblicazione della società, mentre il denominatore è per definizione dato dal prodotto del numero di azioni circolanti sul mercato e il più recente prezzo dell’azione rilevato in borsa. Interpretazione: se il rapporto è elevato (maggiore di 1) significa che il mercato valuta il patrimonio della società meno di quanto compare a bilancio, perché le prospettive di redditività futura e il tasso di crescita atteso sono bassi; se è minore di 1, invece, significa che il mercato reputa la società redditizia per gli azionisti e capace di crescere. In effetti, il patrimonio netto riflette l’investimento al netto dei debiti sostenuto nel tempo dagli azionisti, e valutato al costo storico dei fattori produttivi acquisiti. Il rapporto BTM è dunque indicatore di quanto il mercato ritiene l’impresa capace di produrre flussi di cassa futuri da distribuire agli azionisti in remunerazione del loro investimento iniziale.

Se il mercato è efficiente e i prezzi delle azioni sono correttamente stimati, il rapporto BTM ci può indicare se nel mercato azionario il titolo sia sopravvalutato (BTM contenuto) oppure sottovalutato (BTM elevato). È però da notare che il rendimento atteso del titolo, stimabile con i modelli del CAPM e dell’APT, non deve necessariamente essere correlato a questo rapporto, in quanto il rendimento di un titolo è solo correlato alla sensibilità del titolo ai rischi (beta) non già alla redditività attesa o alla dimensione dell’impresa; questo ci dice che non vi è piena compatibilità con il modello di Fama e French, che infatti teorizzano impliciti fattori size dietro i fattori e BTM per spiegare l’anomala correlazione tra BTM e rendimento del titolo azionario.

Utilizzo APT: variabili macroeconomiche

• Variazione tasso mensile di crescita del PIL
• Variazione premio al rischio di insolvenza = spread tra YTR di bond AAA e YTR di bond BAA con pari scadenza: YTR è dato dalla differenza delle cedole e dalla differenza tra i valori oggi e a scadenza; quando lo spread è basso indica ottimismo sul mercato, mentre se è alto indica maggiore avversione al rischio (per cui il premio desiderato per investire nel treasury è maggiore)
• Variazione del premio per la scadenza = spread tra rendimento titoli di Stato a lunga e a breve scadenza: se la differenza è bassa, la curva di relazione tra tempo e YTM è piatta o addirittura decrescente; se la differenza è alta, invece, significa che il rendimento del titolo a lunga scadenza è onerato di maggior premio al rischio e la curva è più ripida; incide sul prezzo dei titoli perché se il tasso di sconto è più alto il valore dell’impresa scende e così il prezzo dell’azione correlata.
• Variazione inattesa del tasso di inflazione nel periodo
• Variazione tra periodi dell’inflazione attesa (basata sull’andamento dei prezzi del petrolio); insieme con il punto 4) incide sulla capacità delle imprese di produrre reddito e dunque sui prezzi dei titoli azionari.

Ipotesi APT

• I rendimenti dei titoli sono esprimibili con un modello fattoriale tanto buono da ridurre il rischio legato ai termini di errore a livello idiosincratico (covarianze tra termini di errori nulle → la varianza dei termini di errore dipende solo dalla varianza dei termini di errore dei singoli titoli);
• Non vi siano limiti alla diversificazione cosicché si possano inserire infiniti titoli nel portafoglio (al tendere del numero di titoli all’infinito 1/N, il peso di ogni varianza del termine di errore singolo, tende a zero, quindi si annulla anche il primo termine della varianza del termine di errore del portafoglio σ² termine errore = 0 e relazione perfettamente lineare tra il rendimento del singolo titolo e i fattori)
• Non ci sono possibilità di arbitraggio privo di rischio: perché sia vero i titoli con beta uguale devono avere lo stesso rendimento; se così non fosse, comunque, in pochi secondi la situazione ritornerebbe in equilibrio grazie all’intervento di pochi arbitrageurs attenti e capaci.

Considero a questo punto un portafoglio con tre zeri: zero investimento iniziale (con la vendita allo scoperto e il “tappo” del titoli privo di rischio); zero beta rispetto al fattore (elimino l’esposizione al rischio del fattore); zero termine di rischio idiosincratico (diversificazione); devo verificare che questo portafoglio abbia anche rendimento atteso pari a zero. Significa che non esistono possibili arbitraggi privi di rischio.

La formulazione generale dell’APT si riduce alla validità per ogni singolo titolo e ogni portafoglio della relazione tra il rendimento atteso e il premio al rischio LAMBDA (uguale per tutti i titoli! Si distingue solo per fattori).

Modello di Fama e French

L’APT in generale si può applicare calcolando LAMBDA e BETA: LAMBDA è stimato a partire dalla stima dei rendimenti medi passati per ogni fattore i-esimo (in un portafoglio con beta i-esimo = 1 e beta rispetto agli altri fattori = 0); BETA del singolo titolo è stimato come nel caso del CAPM tramite la regressione del MARKET MODEL, ossia regredendo i rendimenti osservati in un periodo sui rendimenti di un portafoglio con beta = 1 rispetto al fattore i-esimo e beta = 0 per gli altri fattori del modello. Fama e French si inseriscono nel dibattito sulla validità del CAPM: propongono un modello compatibile con l’APT, ma che parte da studi sul CAPM: in altri studi rispetto al CAPM si notano delle anomalie nella regressione dei rendimenti di un titolo; infatti, vi sono scostamenti dalla SML considerando, al posto del rendimento atteso sul mercato, il rapporto P/E e il dividend yield. Gli scostamenti sono riconducibili ovviamente alla presenza dei termini di errore nel modello fattoriale, ma Fama e French affermano che questi si ripongono più chiaramente considerando la dimensione dell’impresa e il rapporto BTM. Significa che la covarianza tra i termini di errore rispetto al MM di due titoli sembra legata alla loro size: due titoli emessi da società con la stessa dimensione tendono ad avere maggiore covarianza rispetto ad una coppia di titoli emessi da società di dimensione diversa. Lo stesso vale per il rapporto BTM: titoli con il medesimo valore covariano di più che titoli con valori BTM diversi.

Per i loro studi sul rendimento atteso utilizzano dati storici: notano che nel lungo periodo il rendimento storico medio tende ad essere inversamente correlato alla dimensione della società (azioni di imprese piccole hanno rendimento maggiore a parità di beta) e positivamente correlato al rapporto BTM (azioni di società con rapporto BTM elevato sembrano aver rendimento medio maggiore a parità di beta). Da ciò intuiscono che dimensione e BTM siano indicatori della sottoposizione dell’andamento dei titoli a due diversi fattori economici non conosciuti, distinti dall’andamento del portafoglio di mercato! Per verifica costruiscono sui dati storici la serie dei rendimenti di due portafogli, con investimento iniziale pari a zero e ben diversificati: SMB (small minus big) con beta (size) = 1 e beta rispetto al rapporto BTM e al portafoglio di mercato = 0; HML (high minus low) con beta (BTM) =1 e beta rispetto al fattore size e al portafoglio di mercato = 0. Ogni portafoglio è stato diviso in 10 gruppi da 100 titoli, per un totale di 1000 titoli; massimizzano la differenza di dimensione / rapporto BTM tra i gruppi di titoli, sempre mantenendo per ognuno stesso beta rispetto al mercato e al fattore non considerato (BTM /size). Ogni inizio anno investono comprando le azioni del decimo gruppo (massima size e BTM) e vendendo quelle del primo decile (minimo fattore), garantendo investimento pari a zero e beta rispetto ai fattori esogeni nullo.