Riassunto esame Filosofia del Linguaggio, prof. Santambrogio, libro consigliato Logica, Achille, Rohatyn Dennis

3.4 SEMANTICA DEGLI OPERATORI LOGICI

È necessario dare una formulazione più rigorosa dei cinque operatori logici. Lo faremo precisando in che

modo ciascun operatore contribuisce alla verità o alla falsità degli enunciati in cui compare. La verità o la

falsità di un’asserzione è anche chiamata valore di verità. Possiamo quindi dire che la semantica di un

operatore logico è fissata da una regola che permette di determinare con precisione il valore di verità di

qualsiasi asserzione. Assumeremo due principi molto generali:

-Principio di bivalenza: ogni asserzione è o vera o falsa

-Principio di non contraddizione: nessuna asserzione è sia vera sia falsa

Alcuni filosofi hanno avanzato l’ipotesi per cui certi tipi di asserzioni possono avere altri valori di verità

rispetto al vero e al falso, oppure essere del tutto privi di un valore di verità violando i principi di bivalenza.

La regola semantica per la negazione è semplice: la negazione di ф è vera se ф è falsa ed è falsa se ф è vera.

Possiamo sintetizzare cosi la tabella:

ф ~ф

V F

F V

TAVOLA DI VERITA’-NEGAZIONE

18 Una tabella di questo tipo si chiama tavola di verità. Rispetto a ‘ф’ sono elencate due possibilità: o ф è vera,

o ф è falsa. La prima riga rappresenta la situazione in cui ф è vera. La seconda rappresenta le situazioni in

cui ф è falsa.

La tavola di verità della congiunzione è altrettanto semplice. Una congiunzione è vera se entrambi i

congiunti sono veri altrimenti è falsa. Dunque la tavola è:

ф ψ Ф&ψ

V V V

V F F

F V F

F F F

TAVOLA DI VERITA’-CONGIUNZIONE

Dal momento che la congiunzione si applica a due asserzioni, in questo caso vi sono 4 tipi di situazioni

possibili da considerare

Per quanto riguarda ‘v’ la sua tavola di verità riflette l’idea per cui una disgiunzione è vera se almeno uno

dei suoi disgiunti è vero, altrimenti è falsa.

Ф ψ Ф v ψ

V V V

V F V

F V V

F F F

TAVOLA DI VERITA’-DISGIUNZIONE

Esempio: ‘giovedì o venerdì pioverà’, quindi non si esclude la possibilità che piova entrambi i giorni quindi è

giusto formalizzare in questo modo ‘G v V’. Per contro se un poliziotto dice: ‘O paga la multa o va in

prigione’ intende probabilmente escludere che pagando la multa si possa comunque finire in prigione.

Di tutti gli operatori logici ‘’ è quello che presenta maggiori peculiarità di significato rispetto

all’espressione italiana corrispondente, cioè il condizionale ‘se…allora’. Di solito si ritiene che in italiano e

nelle altre lingue ci siano diversi tipi di condizionali. Il condizionale espresso dal nostro simbolo è un

condizionale materiale e corrisponde all’idea per cui l’antecedente esprime una condizione sufficiente, ma

non sempre necessaria,per la verità del conseguente. Più precisamente asserendo un condizionale



materiale ‘ф ψ’ si intende semplicemente escludere la possibilità che ‘ф’ sia vera mentre ‘ψ’è falsa.

19 

Ф ψ Ф ψ

V V V

V F F

F V V

F F V

TAVOLA DI VERITA’-CONDIZIONALE

Consideriamo l’enunciato: ‘se sei morto allora sei vivo’, risulta vero se la persona a cui si riferisce è il lettore

di questo libro e ‘se…allora’ è letto come condizionale materiale. Infatti poiché il lettore è vivo

l’antecedente è falso ed il conseguente è falso, il che rende l’intero condizionale vero.

Per quanto infine riguarda il bi condizionale abbiamo visto che un’asserzione della forma ‘ф ↔ ψ’ significa

 

la stessa cosa della congiunzione ‘(ф ψ)’ & (ψ ф)’. Ne segue che le condizioni di verità di ‘ф ↔ ψ’

 

possono essere precisate sulla base delle condizioni di verità dei due condizionali ‘(ф ψ)’ e ‘(ψ ф)’:

quando entrambi i condizionali sono veri entrambi i bicondizionale corrisponde alla loro congiunzione

altrimenti il bicondizionale è falso.

Ф ψ Ф ↔ ψ

V V V

V F F

F V F

F F V

TAVOLA DI VERITA’- BICONDIZIONALE

Ogni asserzione della forma Ф ↔ ψ può essere espressa nei termini connettivi ‘&’ e ‘’.

La cosa importante è che i nostri cinque operatori, malgrado non siano tutti ugualmente necessari,

forniscano collettivamente un apparato sufficiente a quel fine.

3.5 TAVOLE DI VERITA’ PER FORMULE

Più volte si è fatto riferimento alla condizioni di verità di formule complesse contenenti più di un operatore

logico. Guarda testo.

20 5. LA LOGICA DELLE ASSERZIONI CATEGORICHE

5.1 Asserzioni categoriche

Adesso daremo uni sguardo preliminare alla parte che riguarda le relazioni logiche generate espressioni

come ‘ogni’, ‘nessuno’ e ‘qualche’. Per esempio l’argomentazione seguente è deduttivamente valida, ma

ciò non può essere verificato tramite la sola logica proposizionale.

Qualche mammifero è un carnivoro.

Ogni carnivoro è predatore

(quindi) qualche mammifero è predatore

Dal punto di vista della logica proposizionale tutte le tre le strutture mancano di struttura. Se dunque

proviamo a formalizzare l’argomentazione della logica proposizionale:

P

Q

(quindi) R

Ma questa forma è chiaramente invalida perché basta interpretare la lettera P e Q con enunciati vari e la

lettera R con un enunciato falso per ottenere un controesempio falso. Occorre dunque rappresentare

meglio la struttura delle asserzioni che la compongono e più precisamente, la loro struttura interna. È

evidente in fatti che il nesso logico tra le premesse e la conclusione dipende dal fatto che tali asserzioni

hanno elementi in comune, fatto che possiamo esplicitare rappresentando la forma dell’argomentazione

come segue:

Qualche M è C

Qualche C è P

(quindi) M è P

Qui le lettere M, C, e P non simboleggiano enunciati ma termini di classe, cioè espressioni che denotano

classi o insiemi di oggetti. Il termine mammifero denota la classe di tutti gli ani m ali mammiferi, e il

termine carnivoro la classe di tutti i carnivori. E sono proprio le relazioni tra le premesse che determinano la

validità dell’argomentazione. Infatti sostituendo le lettere M,C e P con dei termini di classe differenti , per

esempio il termine medico, dentista e architetto , si ottiene un’argomentazione che presenta le stesse

caratteristiche di validità deduttiva dell’argomentazione da cui siamo partiti:

Qualche medico è dentista

Qualche dentista è architetto

(quindi) quanche medico è architetto

Naturalmente non è detto che operando la sostituzione si ottenga un’argomentazione fondata. Ciò che è

rilevante è che non si può immaginare alcuna situazione in cui le premesse siano vere e la conclusione

falsa.

Espressioni nominali come ‘cosa blu’, ‘compagno di scuola’ o ‘brutto rospo con gli occhi da cimice’ sono a

loro volta termini di classe. Anche gli aggettivi e le espressioni aggettivali possono funzionare come

termini. Gli aggettivi ‘vecchio’, ‘circolare’ e ‘divertente’, per esempio, denotano rispettivamente gli insiemi

di tutte le cose vecchie, divertenti e circolari. Anche i verbi e le espressioni verbali possono essere intesi

21 come termini di classe: ‘si muove’,‘ama Marco’ denotano gli insiemi delle cose che si muovono, tutte le

cose che amano Marco. Un termine di classe espresso da un’espressione aggettivale o verbale può

generalmente essere convertito in forma canonica aggiungendo la parola ‘cosa’. Per esempio ‘ricoperto di

marmellata’ diventa ‘cosa ricoperta di marmellata’, ‘ama Marco’ diventa ‘cosa che ama Marco’.

‘Ogni’ e ‘qualche’ si chiamano quantificatori. I quantificatori sono operatori logici, ma invece di indicare

relazioni tra enunciati esprimono relazioni tra gli insiemi designati da termini di classe. Un ‘asserzione della

forma ‘Ogni A è B’ per esempio afferma che l’insieme A è incluso nell’insieme B, ossia che tutti i membri di

A sono anche membri di B. ‘Qualche A è B’ significa che l’insieme A Ih più di un elemento in comune con

l’insieme B; in logica sia ammette invece il caso limite in cui A e B condividono un unico elemento. Inoltre

di solito dicendo ‘Qualche A è B’ si presuppone che non tutti i membri di A siano membri di B , mentre in

logica si ammette il caso limite in cui l’insieme A è interamente incluso in B.

Si noti che in italiano i quantificatori ‘ogni’ e ‘qualche’ si possono esprimere in molti modi diversi. Per

esempio tutti gli enunciati seguenti non so che variazioni grammaticali di un’asserzione della forma ‘Ogni

A è B’: Ogni partecipante è un possibile vincitore

Ciascun partecipante è un possibile vincitore

Qualunque partecipante può vincere

Tutti i partecipanti possono vincere

Analogamente , tutti gli enunciati che seguono non sono che modi diversi di esprimere un’asserzione della

forma ‘Qualche A è B’ nel senso precisato:

Qualche attore fa anche il cantante

C’è almeno un attore che fa il cantante

Esistono attori che cantano

Alcuni attori cantano

In certi casi lo ste4so costrutto grammaticale può essere usato in italiano per esprimere entrambi i

quantificatori. Per esempio:

Un pentagono ha più di quattro lati

‘Un’ ha chiaramente il significato di ‘ogni’; si sta dicendo che la classe dei pentagoni è inclusa in quella dei

poligoni che hanno più di quattro lati. Per esempio:

Un mio collega ha più di quattro lati

Pur avendo la stessa forma grammaticale afferma che la classe dei mie colleghi ha un membro in comune

con quella delle persone che possiedono più di quattro automobili; in questo caso ‘un’ esprime quindi il

quantificatore ‘qualche’.

L’unica altra espressione che compare nelle asserzioni e argomentazioni considerate sin’ora , una volta

convertite in forma schematica è ‘è’. Questa parola è denominata copula perché accoppia o unisce due

termini