Filosofia del linguaggio - introduzione alla logica simbolica e allo studio delle argomentazioni

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NOTA 1 - La disgiunzione esclusiva ( ) è un caso particolare di disgiunzione tipicamente associato alle espressioni “o

… o” (scritta per esteso) o “oppure”. Indica che due asserzioni possono essere una vera e una falsa, ma non

condividere lo stesso valore di verità (entrambe vere o entrambe false).

NOTA 2 - Le tavole di verità degli operatori logici consentono di costruire tabelle analoghe per qualunque formula

logica. Naturalmente, ciascuna tabella avrà un numero di righe pari a 2 elevato al numero delle asserzioni che in essa

compaiono.

Tautologia - Formula logica vera in qualunque situazione possibile, caratterizzata da una tavola di verità che

all’operatore principale associa sempre il valore V (es. ). Esprime una necessità logica.

Contraddizione - Formula logica falsa in qualunque situazione possibile, caratterizzata da una tavola di verità che

all’operatore principale associa sempre il valore F (es. ). Esprime un’impossibilità logica.

Contingenza - Formula logica vera in alcune situazioni e falsa in altre.

NOTA - Le formule che siano a volte vere e a volte false non corrispondono sempre a contingenze autentiche. Per il

significato specifico delle asserzioni (comunque non rappresentato dalla logica proposizionale), possono risultare, in

realtà, necessità o impossibilità logiche (es. “Jim è scapolo e sposato”).

In ultima analisi, la logica proposizionale consente di tracciare una tavola di verità per qualsiasi forma argomentativa, quindi di

determinare se si tratta di una forma valida o invalida. ( )

Sillogismo disgiuntivo

O P o Q. O oggi è lunedì, o oggi è martedì.

ARGOMENTATIVE Non si dà il caso che P. Oggi non è lunedì.

Q. Oggi è martedì. ( )

Modus ponens (o modo assertivo)

Se P, allora Q. Se hai dei buoni voti, allora puoi vincere una borsa di studio.

P. Hai dei buoni voti.

Q. Puoi vincere una borsa di studio.

( )

Modus tollens (o modo negativo)

FORME Se P, allora Q. Se la legge di Murphy è valida, allora tutto può andare storto.

Non si dà il caso che Q. Non è vero che tutto può andare storto.

ALCUNE Non si dà il caso che P. La legge di Murphy non è valida.

( )

Affermazione del conseguente

Se P allora Q. Se stai facendo i salti di gioia, allora sei vivo.

Q Stai facendo i salti di gioia.

P. Sei vivo.

NOTA 1 - Le rispettive tavole di verità dimostrano che il sillogismo disgiuntivo, il modus ponens e il modus tollens

sono forme argomentative valide, mentre l’affermazione del conseguente non lo è.

NOTA 2 - Le forme argomentative invalide possono pur sempre produrre argomentazioni valide. 4

4 Logica delle asserzioni categoriche

Esistono argomentazioni valide che la logica proposizionale non può analizzare, poiché non comprendono gli operatori logici

tradizionali. Tali argomentazioni sono valide in virtù delle relazioni interne alle singole asserzioni componenti, nelle quali

ricorrono espressioni comuni (es. “Qualche mammifero è carnivoro. Ogni carnivoro è predatore. Qualche mammifero è

predatore.”).

Termini di classe - Espressioni linguistiche più o meno complesse (tipicamente nominali o aggettivali), denotano una

categoria o un insieme di elementi.

Quantificatori - Particolari operatori logici, esprimono le relazioni che intercorrono tra gli insiemi di elementi

designati dai termini di classe (es. “ogni”, “tutti”, “qualche”, etc.).

NOTA - I quantificatori non hanno nulla a che vedere con gli operatori della logica tradizionale, cioè non sono

operatori logici vero-funzionali.

Asserzione categorica - Particolare asserzione costituita da un quantificatore e da due termini di classe, detti

rispettivamente soggetto e predicato. Tali termini sono legati da una qualunque variante grammaticale del verbo

“essere”, chiamata copula.

NOTA - Soggetto e predicato sono tipicamente contrassegnati con le lettere maiuscole S e P (es. “Qualche S è P.”).

La logica delle asserzioni categoriche (risalente ad Aristotele) distingue quattro forme fondamentali di asserzioni categoriche.

Affermativa Negativa

Universale Ogni S è P. Ogni S non è P.

Particolare (o esistenziale) Qualche S è P. Qualche S non è P.

NOTA 1 - Le asserzioni categoriche universali e particolari considerano il soggetto rispettivamente nella sua totalità o

in parte, quindi sono distinte da un fattore di quantità. Le asserzioni categoriche affermative e negative accomunano

o separano gli elementi indicati da soggetto e predicato, quindi sono distinte da un fattore di qualità.

NOTA 2 - Il termine “non” che caratterizza le asserzioni categoriche negative non va confuso con l’operatore vero-

funzionale omonimo. In questi casi, infatti, esprime la negazione di una sola parte delle asserzioni, non le

corrispondenti asserzioni affermative.

Le relazioni insiemistiche espresse dalle asserzioni categoriche si visualizzano graficamente attraverso i diagrammi di Venn.

Universale affermativa Universale negativa Particolare affermativa Particolare negativa

“Ogni S è P” “Ogni S non è P” “Qualche S è P” “Qualche S non è P”

Tutti gli elementi di S sono Gli elementi di S non possono Esiste almeno un elemento di Esiste almeno un elemento di

necessariamente elementi di essere contemporaneamente S che sia anche elemento di P, S che non sia anche elemento

∩ ∩ ∩

P, perciò l’insieme S - (S P) elementi di P, perciò l’insieme perciò l’insieme (S P) non è di P, perciò l’insieme S - (S

∩

è vuoto. (S P) è vuoto. vuoto. P) non è vuoto.

NOTA - Le aree annerite indicano l’insieme vuoto, mentre la “X” indica l’esistenza di almeno un elemento.

Le asserzioni categoriche costituiscono diverse tipologie di argomentazioni, la più interessante delle quali è formata da due

premesse ed è chiamata sillogismo categorico.

Sillogismo categorico - Particolare argomentazioni costituita da due premesse, nella quale compaiono esattamente

tre termini di classi. Il soggetto e il predicato della conclusione, detti rispettivamente termine minore e termine

maggiore, compaiono una volta in una delle due premesse, mentre un terzo termine di classe (il termine medio)

appare in entrambe (ma non nella conclusione).

NOTA - I sillogismi categorici possibili sono innumerevoli. Soltanto dalle quattro forme fondamentali di asserzione

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categorica si possono formulare 256 (4 ) sillogismi diversi.

I diagrammi di Venn consentono di studiare la validità dei sillogismi categorici, poiché solo alcune delle forme sillogistiche

possibili sono deduttivamente valide.

NOTA - Lo studio delle forme sillogistiche o di sillogismi particolari richiede un diagramma nel quale tre insiemi si

intersecano l’un l’altro. Attraverso la valutazione delle singole asserzioni componenti è possibile determinare se la

conclusione è sempre verificata o se esistono casi possibili differenti. 5

5 Calcolo proposizionale

La logica proposizionale verifica la validità delle forme argomentative che si reggono sull’interpretazione semantica degli

operatori logici vero-funzionali. Tuttavia, è anche possibile valutare i ragionamento validi seguendo i passaggi che dalle

premesse portano alla conclusione.

Calcolo proposizionale - Metodo per valutare la validità (deduttiva) delle forme argomentative, basato sull’idea per

cui, se un’argomentazione è deduttivamente valide, deve essere possibile inferire la conclusione dalle premesse,

attraverso un certo numero di passaggi di ragionamento.

NOTA - Il calcolo proposizionale si rifà al procedimento che, nella realtà, caratterizza l’esposizione dei ragionamenti,

articolato in serie di passaggi chiari e inoppugnabili che conducano l’interlocutore a un’inevitabile conclusione.

Derivazione (o dimostrazione, o deduzione) - Procedimento deduttivo finalizzato a dimostrare la validità di

un’argomentazione, attraverso passaggi di ragionamento espressi nel linguaggio della logica proposizionale.

NOTA - Le derivazioni sono strutturate attraverso elenchi numerati di passaggi successivi, ciascuno dei quali è

contrassegnato, a destra, dalla regola e dalle etichette che ne indicano la provenienza. Le premesse note a priori (le

assunzioni) sono indicate con la lettera “A”. L’indicatore di conclusione “ ”, superfluo, viene solitamente omesso.

Le dimostrazioni del calcolo proposizionale sono ottenute mediante l’applicazione di particolari principi, chiamati regole

d’inferenza.

Regole d’inferenza - Regole del calcolo proposizionale volte a derivare i passaggi che costituiscono, via via, la

dimostrazione di una forma argomentativa. Comprendono una regola di eliminazione e di introduzione per ciascuno

dei cinque operatori logici fondamentali (negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale, bicondizionale).

NOTA - Esistono varianti del calcolo proposizionale dotate di regole d’inferenza diverse. In ogni caso, il calcolo

proposizionale risulta completo e corretto, cioè consente di derivare tutte e sole le forme argomentative valide

secondo la logica proposizionale e non può condurre ad argomentazioni invalide.

Regola di eliminazione - Regola d’inferenza impiegata per sviluppare un ragionamento a partire dalle premesse in

cui un particolare connettivo logico ha il ruolo di operatore principale.

Regola di introduzione - Regola d’inferenza impiegata per derivare dalle premesse una conclusione (intermedia o

definitiva) che sia articolata per mezzo di un particolare operatore logico.

Il calcolo proposizionale definisce dieci regole d’inferenza, le prime otto delle quali si classificano come regole non ipotetiche.

Eliminazione del condizionale (o regola del modus ponens)

Da una fbf della forma , se è data è possibile inferire , poiché, stando alla tavola di verità dell’operatore logico

condizionale, la verità dell’antecedente e del condizionale stesso implica necessariamente la verità del conseguente.

Eliminazione della negazione

Da una fbf della forma è possibile inferire , poiché una doppia negazione preserva il valore di verità della formula

a cui è applicata (ne inverte due volte il valore).

Eliminazione della congiunzione (o regola di semplificazione)

Da una fbf della forma è possibile inferire tanto quanto , poiché, se è vera una congiunzione, sono

necessariamente veri entrambi i suoi congiunti.

Introduzione della