Fenomenologia del Modello Standard

Introduzione al modello standard

Il primo passo per parlare del Modello Standard è sicuramente quello di introdurre le particelle che lo costituiscono; queste sono elencate nella figura sottostante e suddivise in due classi principali. A destra abbiamo le particelle mediatrici delle interazioni fondamentali, a spin 1, dette anche bosoni: il gluone, particella priva di massa e mediatore della forza nucleare forte; il fotone, anch'esso senza massa, mediatore della forza elettromagnetica; i bosoni W⁺, W^- e Z, molto massive e mediatrici della forza nucleare debole. Ad oggi, manca nel Modello Standard il cosiddetto gravitone, supposto mediatore della forza gravitazionale, poiché la descrizione di una tale particella, necessariamente a spin 2, è molto ostica.

A destra della figura sono elencate le particelle a spin ½, costituenti della materia; esse sono a loro volta suddivise in quark, particelle massive che costituiscono gli adroni, ovvero i mesoni (composti da coppie di quarks) e i barioni (composti da triplette), come il protone e il neutrone; inoltre abbiamo i leptoni, particelle che, a differenza dei quarks, possono esistere libere e tra le quali distinguiamo particelle cariche, come gli elettroni, e particelle neutre, i cosiddetti neutrini.

È importante osservare anche la possibile presenza di ulteriori particelle a spin 0 (scalari), tra cui è presente il bosone di Higgs, del quale avremo modo di parlare in seguito, la cui esistenza è stata sperimentata nel 2012. Esso è la particella che, interagendo con le altre, fornisce loro la massa.

La semplice elencazione, tuttavia, non può essere soddisfacente per dare una descrizione di cosa sia questo apparato fisico che è il Modello Standard. Per questo motivo, prima di entrare in dettaglio nelle teorie che lo costituiscono (QCD, EWF ecc.), diamo un breve richiamo a quei concetti che torneranno utili nel seguito del corso.

Unità di misura tipiche nella fisica delle particelle

Le unità di misura del Sistema internazionale (kg, m, J…) sono, spesso, scomode da impiegare nella descrizione dei fenomeni che riguardano il mondo microscopico; per questo motivo, nella descrizione del Modello Standard, si utilizza un sistema di misura differente. Innanzitutto, la carica di una particella è indicata come multiplo della carica del protone, che ricordiamo essere e = 1,602 · 10^-19 C.

Per esempio abbiamo che:

• Elettrone: Q_e = -1
• Quark up: Q_u = +2/3
• Quark down: Q_d = -1/3

Così via. D'altro canto, anche l'impiego del joule come unità di misurazione dell'energia è scomodo, in quanto i valori tipici di questo ambito sono spesso ordini di grandezza inferiori; per questa ragione si usa il cosiddetto elettronvolt (eV), pari all'energia acquisita da una carica unitaria (in termini di e) posta in una differenza di potenziale di un volt. In termini del joule, esso risulta pari a 1 eV = 1,602 · 10^-19 J.

Utilizzando questa unità di misura è possibile esprimere anche le masse delle particelle, sfruttando la relazione tra massa ed energia (E=mc²); per esempio, abbiamo che:

• Protone: m = 1,67 · 10^-27 kg → 938 MeV
• Elettrone: m = 0,911 · 10^-30 kg → 0,511 MeV

A fianco di questa scelta di unità di misura, è possibile impiegare il cosiddetto sistema di unità naturali, ovvero quel sistema nel quale si scelgono le costanti fondamentali, c ed ℏ, pari a 1, privo di unità dimensioni:

Unità naturali: c=1, ℏ=1

Si noti che questo implica scegliere le dimensioni in modo tale che una lunghezza sia uguale (in dimensioni) a un tempo, così come una massa sia uguale a un'energia. È interessante osservare le seguenti uguaglianze, all'interno di questo sistema, le quali saranno utili in seguito:

• 1 ns = 29,98 cm
• (1 eV)^-1 = 1,52 · 10^-16 s
• (1 eV)^-1 = 5,06 · 10^-4 m

Richiami di relatività speciale

La fisica delle particelle è intrinsecamente relativistica, pertanto è ovvia la necessità di richiamare alcuni punti fondamentali della teoria della relatività speciale. Innanzitutto, ricordiamo le espressioni per energia e quantità di moto, per una particella di massa a riposo m e in moto con velocità v:

• E = m c²
• p = m v γ

Nelle quali è presente il fattore di Lorentz:

γ = 1 / √(1 – v²/c²)

Come abbiamo detto nel paragrafo precedente, l'uso delle unità naturali è di particolare utilità, in modo tale che si abbia:

E = mc² → E = m

Questa relazione, in particolare, ci permette di determinare quanto una particella sia relativistica: maggiore è il fattore di Lorentz e più sarà relativistica la particella. Ad esempio, un tipico protone presente in un fascio accelerato in LHC, il maggiore acceleratore del CERN, possiede 7 TeV di energia e pertanto è altamente relativistico (γ ~ 7000). In aggiunta, usando le unità naturali, l'energia e la quantità di moto della particella soddisfano la seguente relazione:

E² = p² + m²

Formalismo di Minkowski

La descrizione matematica della relatività speciale è spesso ambientata all'interno di uno spazio vettoriale quadridimensionale, detto spazio di Minkowski. Esso è costituito da vettori a quattro componenti, detti 4-vettori, (x⁰, x¹, x², x³) con norma pari a:

||x^μ|| = √(x⁰)² – (x¹)² – (x²)² – (x³)²

Ad esempio, il 4-vettore posizione è dato da x^μ = (t, x, y, z) mentre il vettore contenente l'energia e la quantità di moto, detto 4-impulso, è p^μ = (E, p_x, p_y, p_z).

Questi vettori si modificano, quando si passa da un sistema inerziale ad un altro in moto rispetto al primo con una velocità v, attraverso le cosiddette trasformazioni di Lorentz (o boost), le quali hanno la proprietà di conservare la norma; esse si presentano, per esempio, nella sola direzione z, come:

p'⁰ = γ(p⁰ – βp³)

p'³ = γ(p³ – βp⁰)

Con β e γ definiti rispetto alla velocità della trasformazione. Per scrivere la norma di un 4-vettore si introduce la cosiddetta metrica covariante, definita dal seguente tensore metrico:

g^μν = diag(1, -1, -1, -1)

In modo tale che la norma del 4-vettore posizione e del 4-impulso siano:

• ||x^μ|| = t² – x² – y² – z²
• ||p^μ|| = E² – p² = m²

Si noti che dalla seconda risulta che la norma del 4-impulso è pari a m². Insieme alla definizione della metrica covariante, si ha anche quella delle coordinate covarianti del 4-vettore, le quali si ottengono con:

x_μ = g_μν x^ν

Massa invariante

Un concetto di fondamentale importanza nella fisica sperimentale riguardante le particelle è quello di massa invariante; essa è una grandezza definita per qualsiasi insieme di particelle, ciascuna caratterizzata da un 4-impulso p^k = (E_k, p_k):

m_inv = √((ΣE_k)² – (Σp_k)²)

L'utilità di questa definizione si vede, ad esempio, se questo insieme di particelle proviene dal decadimento di una data particella Y: Y → x₁, x₂, ..., x_N.

In questo caso, infatti, siccome il 4-impulso si conserva, avremo che:

ΣE_k = E_Y e Σp_k = p_Y

Il che significa che la massa invariante dell'insieme di particelle provenienti dal decadimento sarà pari alla massa della particella decaduta: m_inv = m_Y.

Questo ci permette, a lato pratico, di osservare delle particelle che non sono abbastanza stabili da essere tracciate dai rivelatore, misurando la massa invariante delle particelle derivanti dal loro decadimento. Un esempio è il grafico seguente, ottenuto da CMS, in cui si misura la massa invariante di tutti gli eventi in cui c'è una coppia di muoni; esso ha uno spettro di valori molto ampio, ma si possono osservare vari picchi, identificabili con il decadimento di una particella.

Un altro esempio è quello relativo alla scoperta del bosone di Higgs. Dalla teoria era noto che questa particella, se prodotta, può decadere -nella maggior parte dei casi- in una coppia di fotoni o in un quartetto di leptoni (elettroni e muoni, in particolare); pertanto, osservando questi decadimenti e misurandone la massa invariante, si osserva uno spettro molto distribuito, ma che presenta un incremento locale.

Elettrodinamica

L'elettromagnetismo può essere espresso con questo formalismo, trattandosi di una teoria relativisticamente corretta. In particolare, si introduce il tensore doppio per la descrizione del campo elettromagnetico con E = (E_x, E_y, E_z) e B = (B_x, B_y, B_z), rispettivamente, il campo elettrico e il campo magnetico. Inoltre, introduciamo il 4-vettore che rappresenta le sorgenti di campo provenienti dalla materia:

J^μ = (ρ, J)

Detto 4-densità di corrente, che contiene la densità di carica elettrica (prodotta da cariche puntiformi) e la densità di corrente elettrica. Queste grandezze ci permettono di scrivere le equazioni di Maxwell in modo molto più compatto:

∂_μF^μν = J^ν

∂_[μF_νλ] = 0

Nelle quali ∂ è la cosiddetta 4-divergenza e ε è il 4-tensore antisimmetrico di Levi-Civita. Le equazioni di Maxwell possono essere espresse, senza perdere generalità, attraverso i cosiddetti potenziali elettrodinamici, φ e A, tali per cui:

E = -∇φ - ∂A/∂t

B = ∇ × A

I quali possono essere raccolti in un 4-potenziale A^μ = (φ, A), cosicché sia possibile scrivere F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ.

Allora le equazioni presentano un grado di libertà che ci permette di scegliere il 4-potenziale in modo da semplificare le equazioni. Ad esempio, la prima equazione covariante di Maxwell diventa:

∂_μ∂^μA^ν = J^ν

Avendo imposto che:

∂_μA^μ = 0

Scelta che prende il nome di gauge di Lorentz. Le equazioni di Maxwell forniscono una descrizione delle modalità in cui le cariche e le correnti producono i campi elettromagnetici e come essi ne sono influenzati, mentre come le cariche sentono questi campi viene descritto dalla forza di Lorentz, che nel formalismo covariante è esprimibile come:

f^μ = q F^μνu_ν

Nella quale abbiamo introdotto il tempo proprio della carica dτ = dt/γ.

Acceleratori e rivelatori di particelle

L'uso degli acceleratori di particelle è fondamentale per lo studio della fisica particellare, in quanto con essi è possibile ottenere energie sufficientemente elevate per la produzione di particelle molto più massive di quelle presenti in natura. Queste macchine ci permettono di studiare la fisica delle interazioni fondamentali, attraverso il decadimento di tali particelle; i prodotti di questi processi vengono misurati, in energia e quantità di moto, da opportuni rivelatori.

Lo scopo degli acceleratori è quindi di incrementare l'energia delle particelle, per poi farle collidere contro un bersaglio (fisso o mobile), in modo tale da innescare delle reazioni che producano particelle fondamentali libere, quali l'elettrone o i quarks. Partendo dalla materia ordinaria, possiamo facilmente produrre elettroni e positroni, irraggiando un materiale ad elevato numero atomico (Z) con fotoni sufficientemente energetici. Colpendo, invece, un gas di idrogeno con un fascio di elettroni, possiamo ottenere protoni liberi, attraverso i fenomeni di ionizzazione; tuttavia, è noto che il protone non è una particella fondamentale, ma è costituito da quarks. Queste particelle, tuttavia, sono fortemente legate dalla forza nucleare forte e non possono esistere in stati liberi; come vedremo, fortunatamente, maggiore è l'energia di interazione tra quarks più essi si comportano come se fossero liberi (è il concetto di libertà asintotica).

Acceleratori di particelle

Queste macchine accelerano particelle stabili cariche, attraverso l'utilizzo di campi elettrici e magnetici. Esistono sostanzialmente due famiglie di acceleratori: quelli lineari, che sfruttano cavità acceleranti nelle quali sono presenti dei campi elettrici in fase con il passaggio delle particelle; e quelli circolari, che incrementano l'energia delle particelle solo in determinate sezioni e la mantengono confinata su una traiettoria circolare per mezzo di campi magnetici.

Si noti che entrambe queste configurazioni sono limitate per quanto riguarda l'energia che può essere raggiunta. Per quanto riguarda gli acceleratori lineari, è possibile mostrare che la lunghezza delle cavità acceleranti è proporzionale all'energia delle particelle che le attraversano; pertanto maggiore è quest'ultima e maggiore sarà la lunghezza dell'acceleratore e, di conseguenza, il suo costo. Gli acceleratori circolari, invece, sono limitati dalla possibilità di produrre campi magnetici sufficientemente elevati da assicurare il confinamento delle particelle; infatti, si può mostrare la seguente relazione tra la quantità di moto della particella, p, il raggio di curvatura dell'orbita, R, e il campo magnetico, B:

p = qBR

Inoltre, quando una particella viene accelerata, essa irradia onde elettromagnetiche (detta radiazione da sincrotrone) che rappresentano una fonte di dissipazione di energia, crescente al crescere dell'energia delle particelle. In particolare, si può mostrare che la perdita di energia per ogni orbita è:

U = (4π/3) q²γ⁴/(m⁴ R)

Si noti che particelle di massa maggiore perdono meno energia. All'interno degli acceleratori, le particelle vengono accelerate in pacchetti perché altrimenti non sarebbe possibile fornire loro la stessa energia; infatti, per l'accelerazione vengono utilizzati campi elettrici oscillanti, che quindi presentano dei momenti nei quali decelererebbero le particelle. Pertanto, il fascio viene discretizzato in pacchetti, in modo tale che al loro passaggio vengano tutte accelerate più o meno uniformemente.

Un altro aspetto molto importante è la necessità -che spiegheremo a breve- di produrre fasci di particelle molto sottili. Tuttavia, un pacchetto di particelle cariche identiche tende a disgregarsi per via della repulsione elettrica; per questo motivo è necessario che gli acceleratori presentino dei campi magnetici in grado di focalizzare il fascio e comprimerlo. Tali campi magnetici sono quadripolari. Come si può vedere nella figura sotto, essi possono focalizzare solamente in una direzione; perciò si mettono in successione un quadrupolo focalizzante e uno defocalizzante, poiché l'effetto complessivo risulti focalizzante.

Collisioni tra particelle

Consideriamo ora un pacchetto di particelle di tipo “1”, incidente su un bersaglio composto da particelle di tipo “2” -per esempio un materiale solido, gassoso o un altro pacchetto di particelle. La loro interazione avviene con una certa frequenza, che indichiamo con f_coll, e produce uno stato finale X con una certa probabilità, che può essere espressa in modo proporzionale alla densità di particelle “2”, trasversale al pacchetto “1”:

f_coll = σ N₂ ℒ

Nella quale N₂ è la densità volumetrica di particelle “2” e Σ la sezione trasversale del pacchetto “1”. Il fattore di proporzionalità σ prende il nome di sezione d'urto ed è la grandezza che caratterizza la reazione. Il numero medio di interazioni per ogni collisione può essere calcolato e risulta pari a:

N = σ N₂ ℒ

Introducendo quindi la frequenza di collisione, possiamo calcolare il numero di interazioni per unità di tempo:

dN_int/dt = σ Σ₂ N₁ N₂ = σ ℒ_inst

Nella quale abbiamo introdotto la cosiddetta luminosità istantanea. Questa grandezza dipende dal set-up sperimentale e, poiché solitamente la sezione d'urto è definita dalla reazione, è la grandezza che si vuole massimizzare per migliorare l'efficienza dell'esperimento. Pertanto è evidente come si cerchi di produrre fasci con molte particelle e molto sottili.

Ci sono, in generale, due classi di esperimenti di questo tipo: quello in cui il pacchetto di particelle interagisce con un bersaglio fisso e quello in cui esso collide con un altro pacchetto di particelle. Il primo è il caso più semplice da realizzare in laboratorio e si basa sull'idea che la densità di bersagli (in particolare, nucleoni) all'interno di un solido può essere scritta come:

N = ρ/h

Nella quale h è lo spessore del bersaglio fisso. Di conseguenza, la luminosità di questo set-up può essere scritta come:

ℒ = N₁ (ρ/h) σ

Vediamo quindi che un set-up di questo genere avrà una luminosità elevata, in quanto tipicamente n assume valori molto alti. Il prezzo da pagare sta nel fatto che non tutta l'energia del fascio accelerato è poi disponibile per la reazione; infatti, poiché la quantità di moto totale deve conservarsi, implica che le particelle prodotte dalla reazione dovranno muoversi e, dunque, sottrarre energia alla reazione. Questo può essere mostrato calcolando l'energia totale nel sistema di riferimento solidale al centro di massa, E_CM:

E_CM = √(2E₁m + m²)

Se consideriamo allora il caso di bersaglio fisso, avremo che E₂ = m e p₂ = 0, cosicché possiamo scrivere:

E_CM = √(2E₁m + m²)

Nella quale abbiamo anche considerato che le particelle del fascio siano relativistiche. Vediamo allora che l'energia disponibile scala come la radice quadrata dell'energia del fascio, condizione non molto vantaggiosa. Un esempio storico di questo caso è quello del Super Proton Synchrotron (SPS), al CERN, al quale si acceleravano fasci di protoni a 450 GeV contro target fissi -costituiti da nucleoni di massa circa 0,94 GeV.