Evoluzione dei sistemi lineari

EVOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI STAZIO NARI

1° CAPITOLO

(1) Sistemi a tempo continuo, con esercizi svolti nel dominio del tempo; utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE della matrice dinamica e i MODI NATURALI.

2° CAPITOLO

(7) L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo continuo svolta con un approccio in frequenza, utilizzando la TRASFORMATA di LAPLACE.

3° CAPITOLO

(15) L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto nel dominio del tempo, utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE.

4° CAPITOLO

(21) L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto svolta con un approccio in frequenza, utilizzando la TRASFORMATA ZETA.

1) SISTEMI DI CONTROLLO

Sono descritti dalle seguenti relazioni:

ẋ(t) = A x(t) + B u(t)   x(t₀) = x₀

y(t) = C x(t) + D u(t)   ∀t ≥ t₀   t,t₀ ∈ ℝ

dove:

• x(t) ∈ ℝⁿ   STATO DEL SISTEMA
• u(t) ∈ ℝʳ   INGRESSI
• y(t) ∈ ℝʳ   USCITE

Le soluzioni del sistema possono esprimersi come somma dei contributi di EVOLUZIONE LIBERA e FORZATA ossia:

x(t) = x_lib(t) + x_for(t)

y(t) = y_lib(t) + y_for(t)

con:

• x_lib(t) = e^A(t-t₀) x₀
• x_for(t) = ∫_t₀^t e^A(t-τ) B u(τ) dτ

e:

• y_lib(t) = C e^A(t-t₀) x₀
• y_for(t) = ∫_t₀^t C e^A(t-τ) B u(τ) dτ + D u(t)

ma y_for(t) si può riscrivere come integrale di convoluzione dell’ingresso con la FUNZIONE DI TRASFERIMENTO W(t)

W(t) = C e^At B + D δ(t)

e quindi

y_for(t) = ∫_t₀^t W(t-τ) U(τ) dτ

dove δ(t) è la delta di Dirac e gode della proprietà:

∫_a^b δ(t) δ(t-τ) dτ =

• f(t)   se t ∈ [a,b]
• 0   se t ∉ [a,b]

quindi l'osservabile in uscita si ottiene se e solo se

Cui _e0

Il calcolo dell'esponenziale di matrice può essere volto utilizzando la definizione per cui è proposto l'eccitabilità :

Una casistica è la matrice NIHILPOTENTI, per la quale:

∀ k ∈ ℤ : ∀ X ∈ X⇒ A^k ->0

Una tal caso si parla di matrice NIHILPOTENTE DI ORDINE K,

per questa matrice il calcolo dell'esponenziale si riduce a:

A^E⁺ = sum A^{^k+K} _k=o^k!

Per ricaderci nella sequenti proposizione:

PROPOSIZIONE: Una matrice A ∈ ℝ^nxm è nilpotente se e solo se tutti i suoi autovalori sono nulli. In tal caso è millepotente di ordine K ≤ m.

Una decomposizione delle escludizioni, ottenuto va elementi viste nell'espressione (2) può avere luogo ed esiste la RISPOSTA A REGIME PERMANENTE, facendo riferimento all'occorento presente ed è definito come:

y_reg(t) = lim y(t) t→∞

Quando tale limite esiste ed è unico, per ognoi stato iniziale xo. Si può dimostrare che la condizione necessaria per l'esistenza delle risposte a regime è che il sistema sia ASINTOTICAMENTE STABILE.

La condizione non è necessaria in quanto per garantire la sua intermi: basta che l'uscita, una libera, dell'uscita converge a zero per ogni situazione, trondale anche in mancanza di modi non significativamente talli non meno osservabili in uscita.

6) SENO

[_Lsin(ωt)] = _ω/^{s2 + ω2} ω ∈ ℝ 2.18

7) COSENO

[_Lcos(ωt)] = _s/^{s2 + ω2} ω ∈ ℝ 2.19

8) INGRESSO CANONICO DI ORDINE k MODULATO DA UN’ESPOENZIALE

[_Le^at t^k/_k!] = ₁/^{(s - a)k+1} a ∈ ℝ k ∈ ℕ 2.20

9) SENO MODULATO DA UN’ESPOENZIALE

[_Le^at sin(ωt)] = _ω/^{(s−a)2 + ω2} a, ω ∈ ℝ 2.21

10) COSENO MODULATO DA UN’ESPOENZIALE

[_Le^at cos(ωt)] = _s−a/^{(s−a)2 + ω2} a, ω ∈ ℝ 2.22

La formula per antitrasformare una funzione di variabile complessa s è:

_L⁻¹[F(s)] = ₁/_2πi ∫_γ−i∞^γ+i∞ F(s) e^ts ds γ + iω ∈ D ∈ ℂ 2.23

È un integrale fatto lungo la retta a parte reale contenuta del piano complesso ([Rε[s] > ϭ), contenuto nel dominio di definizione della F(s), di ricavare delle parti immaginarie da γ−iω.

In seguito si espone un dispositivo alternativo per antitrasformare elementi della base di funzioni di variabile complessa rappresentante in un rapporto proprio di polinomi. A questo sono appartengono i segnali 2.13 e 2.22.

Ande il termina (SI−A) = Trasformata di Laplace delle matrice di trasmissione dello stato, da intervenire come fattore.

3. SISTEMI A TEMPO DISCRETO: ANALISI NEL TEMPO

I sistemi lineari stazionari a tempo discreto e dimensione finita sono descritti dalle seguenti equazioni lineari ricorrenti:

x(t+1) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t)   t ≥ t₀

x(t₀) = x₀.

dove x(t) ∈ Rⁿ è lo STATO del sistema, u(t) ∈ R^p sono gli INGRESSI, y(t) ∈ R^r sono le USCITE.

In virtù delle proprietà di linearità, le soluzioni del sistema possono esprimersi come somma dei contributi di EVOLUZIONE LIBERA e FORZATA, come visto in (1.2) per i sistemi a tempo continuo, con:

X_lib(t) = A^t-t₀ x_{0   3.2a} X_for(t) = ∑_τ=t0^t-1 A^t-τ-1 B u(τ)

e

Y_lib(t) = C A^t-t₀ x_{0   3.2b} Y_for(t) = ∑_τ=t0^t-1 C A^t-τ-1 B u(τ) + D u(t)

Le risposte forzate dell'uscita possono scriversi come un'unica somma di convoluzione dell'ingresso con le FUNZIONI DI TRASFERIMENTO W(t):

W(t) = { C A^t-1 B   t > 0 D   t = 0 }_3.3

quindi

Y_for(t) = ∑_τ=t0^t W(t-τ) u(τ)

Queste formule... vale solo se tutti gli autovalori sono diversi da zero.

In caso contrario, riferendoci, ad esempio, da n