Evoluzione dei sistemi lineari

EVOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI STAZIONARI

1° CAPITOLO (1)

Sistemi a tempo continuo, con esercizi svolti nel dominio del tempo, utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE della matrice dinamica e i MODI NATURALI.

2° CAPITOLO (7)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo continuo svolta con un approccio in frequenza, utilizzando le TRASFORMATA DI LAPLACE.

3° CAPITOLO (15)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto nel dominio del tempo, utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE.

4° CAPITOLO (21)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto svolta con un approccio in frequenza, utilizzando la TRASFORMATA ZETA.

EVOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI STAZIONARI

1° CAPITOLO (1)

Sistemi a tempo continuo, con esercizi svolti nel dominio del tempo, utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE della matrice dinamica e i MODI NATURALI.

2° CAPITOLO (7)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo continuo svolta con un approccio in frequenza, utilizzando le TRASFORMATA DI LAPLACE.

3° CAPITOLO (15)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto nel dominio del tempo, utilizzando la DECOMPOSIZIONE SPETTRALE.

4° CAPITOLO (21)

L'analisi dell'evoluzione dei sistemi a tempo discreto svolta con un approccio in frequenza, utilizzando le TRASFORMATA ZETA.

1)

Sono descritti dalle seguenti relazioni:

{ d dt x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) | { x(t₀) = x₀ ∀ t ≥ t₀, t,t₀ ∈ ℝ

1.1

dove - x(t) ∈ ℝⁿ STATO DEL SISTEMA - u(t) ∈ ℝʳ INGRESSI - y(t) ∈ ℝᵖ USCITE

Le soluzioni del sistema possono esprimersi come somma dei contributi di EVOLUZIONE LIBERA e FORZATA ossia:

{ x(t) = x_el(t) + x_for(t) y(t) = y_el(t) + y_for(t) 1.2

con:

{ x_el(t) = e^A(t-t₀) x₀ x_for(t) = ∫_t₀^t e^A(t-τ) Bu(τ) dτ 1.3a

e

{ y_el(t) = Ce^A(t-t₀) x₀ y_for(t) = ∫_t₀^t Ce^A(t-τ) Bu(τ) dτ + Du(t) 1.3b

ma y_for(t) si può riscrivere come integrale di convoluzione dell'ingresso con la FUNZIONE DI TRASFERIMENTO W(t)

W(t) = Ce^At B + Dδ(t) 1.4

e quindi

y_for(t) = ∫_t₀^t W(t-τ) u(τ) dτ

dove δ(t) è la DELTA DI DIRAC e gode della proprietà

∫_-∞^∞ δ(t) f(t-τ) dτ = { f(t) se t ∈ [a,b] 0 se t ∉ [a,b] 1.5

La funzione di trasferimento W(t) è detta risposta impulsiva del sistema, in quanto le sue colonne coincidono con la risposta fornita dall'ingresso impulsivo u(t)=e_iδ(t), con e_i elementi i-esimi della base naturale di Rⁿ.

Il calcolo della risposta del sistema passa attraverso la continuazione dell'esponenziale di matrice A definito come:

Per realizzarlo si usa la decomposizione spettrale della matrice A:

dove v_i^Tu