Etivity analisi 2 del 2020, prof Marchisio

1. Il dominio della funzione f(x,y) = √x² + y è
• limitato e connesso per poligonali
• illimitato e connesso per poligonali
• illimitato e non connesso per poligonali

x² + y ≥ 0 ⇒ y ≥ -x² illimitato

1. Il dominio della funzione f(x, y) = x² + y è
• limitato e connesso per poligonali
• illimitato e connesso per poligonali
• illimitato e non connesso per poligonali

x² + y ≥ 0 => y ≥ -x²

illimitato

1. Il dominio della funzione \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y} \) è
   • limitato e connesso per poligonali
   • illimitato e connesso per poligonali
   • illimitato e non connesso per poligonali

1. L'insieme A = { (x, y) ∈ R² : x ≥ 3, y² + x² ≥ 16 } è
   • aperto
   • chiuso
   • né aperto né chiuso

y² + x² = 16

2) Il dominio della funzione f(x,y) = ^{√x2 + y} è

• limitato e connesso per poligonali
• illimitato e connesso per poligonali
• illimitato e non connesso per poligonali

3) La funzione f(x, y) = x²y² + x - y è

• non limitata
• limitata superiormente
• limitata inferiormente

∮x = 2x∮y + 1

∮y = 2yx² - 1

2) Un insieme connesso per poligonali è sempre:

• Chiuso
• Aperto
• Può essere sia aperto, sia chiuso, sia né aperto né chiuso

1)

Il piano tangente della funzione f(x, y) = x² + y² + 1 nel punto (0,0) ha equazione

• z = 2x + 2y
• z = 0
• z = 1

x

z = g(x_o, y_o) + g_x(x_o, y_o)(x - x_o) + g_y(x_o, y_o) . (y - y_o)

g(x_o, y_o) = 1

g_x = 2x

g_x |_o = 0

=> z = 1

2) Una funzione continua ammette sempre massimi e minimi assoluti se definita su

• un insieme aperto
• un insieme compatto
• un insieme connesso per poligonali

1. La funzione f(x, y) = x³ - y³ + xy vincolata alla bisettrice del primo e terzo quadrante ammette

• minimo assoluto in (0,0)

(x, y) |_y=x

= x³ - x³ + x²

(x)=x²

4) La matrice Hessiana, se ben definita,

• è sempre una matrice diagonale
• è definita positiva se la funzione è C^∞
• è simmetrica

5) Il gradiente della funzione f(x, y) = e^xy2 è pari a

• ∇f(x, y) = (y²e^xy2, 2xye^xy2)
• ∇f(x, y) = (e^xy2, e^xy2)
• ∇f(x, y) = (e^xy2, 2ye^xy2)

∂x = e^xy2 · D_x(x y²) = y² e^xy2

∂y = e^xy2 · D_y(x y²) = 2x y e^xy2

1. Sia A un punto in cui una funzione ammette massimo assoluto nel proprio dominio di definizione. Allora
• Il gradiente della funzione si annulla in A
• Il gradiente della funzione è positivo in A
• Se la funzione è almeno C¹ nel punto, allora il suo gradiente si annulla in A

altrimenti non sarebbe derivabile

1. La curva ϕ(t) = (t², t⁴) è
   • ☐ Regolare in ogni intervallo della retta reale
   • ☒ Reolare sulla semiretta positiva o negativa dei valori della variabile
   • ☐ non regolare su ogni intervallo della retta reale

ϕ′(t) = (2t, 3t³)

2) La curva φ(t) = (t, e^t, f(t)), t ∈ [0, 1], f(t) funzione differenziabile, è

• semplice
• non semplice
• regolare a tratti

perchè f(t) è differenziabile

3) La definizione dell'integrale curvilineo di prima specie

• prevede la derivata della funzione inegranda
• prevede il calcolo dell'integrale delle componenti della curva
• prevede il calcolo della norma della derivata prima della curva

∫_t0^t₁ σ(x(t), y(t), z(t)) · ‖γ′‖ · dt = ∫_t0^t₁ σ(x(t), y(t), z(t)) · √((x′(t))² + (y′(t))² + (z′(t))²) · dt

4) Il campo vettoriale F(x,y) = (x² + 1, y + x) è integrabile

• su qualsiasi curva regolare definita nel piano
• su curve regolari definite nella regione definita da y
• non è integrabile su alcuna curva regolare del piano

5) Una curva chiusa è sempre

• definita su un intervallo chiuso
• semplice
• regolare

Una curva, ad esempio γ(t) : [a, b] → ℝⁿ, si dice chiusa se è tale che γ(a) = γ(b).

1) L'equazione differenziale y' + y'' + (t + 1)³ - y cos(t³) = e^t è

• lineare
• a variabili separabili
• non rientra in una classe nota di equazioni differenziali

2) L'equazione y'' = 0 ammette come soluzione generale

• c₁e^t + c₂e^-t
• tutti i polinomi di primo grado
• una combinazione lineare di seno e coseno

perché la loro derivate seconda è 0

1. Un problema di Cauchy relativo ad una equazione del terzo ordine
• ha tre condizioni
• tre o più condizioni
• da una a tre condizioni

4)

L'equazione omogenea associata all'equazione y'' + 4y' + 4y = e^t + ln(t) ammette come soluzione:

• y(t) = c₁e^2t + c₂e^2t
• y(t) = c₁e^2t + c₂te^2t
• y(t) = ce^2t

λ² + 4λ - 4 = 0

Δ = 16 - 16 = 0

λ = ^-4⁄₂ = -2

y₁(t) = c₁e^λt + c₂te^λt

5) L'equazione y' = t/y ammette come soluzione

• y(t) = (t² + 2c)^1/2
• y(t) = t²
• y(t) = ce^2t

y' = (2t) / (2(t² + c))

= t / (t² + c)

= t / y

1. Un dominio chiuso del piano
   • è sempre normale
   • è normale se anche limitato
   • può non essere normale

2) La funzione \( f(x,y) = e^{x+y} \lvert x^2 - y^2 \rvert \)

• è integrabile nel cerchio unitario
• non è integrabile in alcun insieme normale del piano
• è integrabile solo sui rettangoli del piano

3) L'integrale della funzione f(x, y) = xy² + x³y sul quadrato di vertici (±1,±1) vale

• 1/2√2
• 0
• -1

4) Lo Jacobiano del passaggio di coordinate da cartesiane a polari vale

• ρ
• ρ²
• (ρ cos θ, ρ sin θ)

J := jacobian([ρ cos(θ), ρ sin(θ)], [ρ, θ])

J := [ cos(θ) -ρ sin(θ)sin(θ) ρ cos(θ) ]cos(θ)² ρ + ρ sin(θ)²ρ

5) Una serie di potenze

• converge sempre almeno in un punto
• Può non convergere in tutti i punti della retta reale
• Converge sempre almeno in un intervallo non vuoto

Definizione: siano x₀ ∈ R e (a_k)_k∈N una successione di numeri reali. La serie:

si dice serie di potenze di coefficienti a_k e punto iniziale (o centro) x₀.

Osservazioni

1. Una serie di potenze altro non è se non una particolare serie di funzioni.
2. Una serie di potenze del tipo (♠︎) convergerà sempre (per com'è definita) nel punto x₀, pertanto l'insieme I di convergenza di una serie di potenze sarà sempre non vuoto!