Estremi di un insieme - Esercizi guidati

Esempio: Sia

A = { ¹/_x²+x+1 ; x ∈ ℝ }

a) Determinare i maggioranti di A e SupA

M è un maggiorante di A se e solo se:

¹/_x²+x+1 ≤ M ∀x ∈ ℝ

Osserviamo che: x²+x+1 → Δ = -3 < 0

pertanto il trinomio è sempre positivo ∀x ∈ ℝ

la relazione precedente è verificata se:

Mx²+Mx+M-1 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ

Affinché ciò risulti vero deve avere il massimo

coefficiente delle disequazioni positivo ed il

discriminante minore o uguale a zero. Ossia:

1. M > 0
2. 6M - 3M² ≤ 0

che fornisce: M > ⁴/₃

In definitiva, i maggioranti di A sono:

M(A) = { M ∈ ℝ: M > ⁴/₃ }

ed il suo estremo superiore è dato da:

Sup A = min M(A) = ⁴/₃

b) Determinare i minoranti di A e inf Am è un minorante di A se e solo se:¹/_{x² + x + 1} ≥ m ∀x∈ℝ.

Da cui, per quanto visto in precedenza, deve essere:mx² + mx + m - 1 ≤ 0 ∀x∈ℝ.

Affinché ciò risulti vero deve essere m=0 (per il quale l’equazione diventa -1≤0, banalmente vera) oppure il primo coefficiente negativo ed il discriminante minore o uguale a zero:

• m<0
• 4m - 3m ≤ 0

In definitiva, i minoranti di A sono:m(A) = {m∈ℝ: m≤0}mentre l’estremo inferiore di A è dato da:inf A = Max m(A) = 0

Estrimi Insiemi 2

3)

C = { (-1)^u / u ∈ N* }       N* = N \ {0}

> Osserviamo che:

| (-1)^u / u | = 1 / u ≤ 1   ∀ u ∈ N*

quindi:

-1 ≤ (-1)^u / u ≤ 1   ∀ u ∈ N*

Di conseguenza -1 è un minorante e 1 è un maggiorante per C.

Ne consegue che C è limitato inferiormente e superiormente. In particolare, dal momento

che -1 ∈ C (basta prendere u=1) e -1 è un minorante, possiamo concludere che:

min C = inf C = -1

Calcoliamo ora l'estremo superiore.

Come abbiamo detto 1 è un maggiorante, ma non è il più piccolo dei maggioranti.

Infatti, si dimostra che anche 1/2 è un maggiorante.

• Se u è dispari, (-1)^u / u < 0 < 1/2
• Se u è pari (in particolare u ≥ 2), allora

(-1)^u / u = 1/u ≤ 1/2 in quanto u ≥ 2

Inoltre, 1/2 ∈ C basta prendere u=2,

quindi: Max C = Sup C = 1/2

Estrami Trisomi 6

Estremo Superiore - Estremo Inferiore

0. Si trovi, qualora esistono, Sup e Inf su _R dei seguenti insiemi, specificando ove necessario se essi sono Max o min.

1. {N-¹/_N, N∈^N*}
2. {(-1)^N+¹/_N, N∈^N*}
3. {N+3N-1: N∈^N}
4. {^3N-^|N|/_N, N∈^N }
5. {x² ≤ 2: x∈^R}
6. {2N+³/_N: N, M∈^N*}
7. {x²-y²: x, y∈^R}
8. {x y: x∈[1,2] ∧ y∈[3,1]}.

a) {N-¹/₁: N∈^N*} ^N*=^N/{0}.

Osserviamo che N-¹/_N = ^N-1/_N > 0 ∀N∈^N* per cui l'insieme è limitato inferiormente e 0 è un minorante dell'insieme. Infatti per N=1 1-1=0 pertanto il minimo dell'insieme è 0. Esaminando il termine N-¹/_N a val di N∈ Naturali la quantità -¹/_N diminuisce sempre più fino ad essere praticamente zero. Nello stesso tempo il "N" assume valori sempre più grandi su ^N*. F{insieme di Naturali non è superiormente limitato, dunque questo insieme non ammette Sup.