Estremi di un insieme - Esercizi guidati

Esempio di insiemi e limiti

Esempio 1

Sia A = ¹/_x²+x+1 : x ∈ ℜ. Determinare i maggioranti di A e Sup A.

1. M è un maggiorante di A se e solo se: ¹/_x²+x+1 ≤ M ∀ x ∈ ℜ.
2. Osserviamo che: x²+x+1 → Δ=-3 < 0, pertanto il trinomio è sempre positivo ∀ x ∈ ℜ. La relazione precedente è verificata se: Mx²+Mx+M-1 ≥ 0 ∀ x ∈ ℜ.
3. Affinché ciò risulti vero, due condizioni devono essere soddisfatte: il primo coefficiente della disequazione positivo ed il discriminante minore o uguale a zero: M > 0 e -3M² ≤ 0, che fornisce: M > ⁴/₃.
4. In definitiva, i maggioranti di A sono: M(A) = {M ∈ ℜ : M > ⁴/₃}, ed il suo estremo superiore è dato da: Sup A = min M(A) = ⁴/₃.

Osservazione

Si noti che per M=0 si ottiene -1 ≥ 0, il che è falso.

Esempio: Sia A = {1/(x²+x+1) : x ∈ ℝ}

a) Determinare i maggioranti di A e Sup A.

M è un maggiorante di A se e solo se: 1/(x²+x+1) ≤ M ∀x ∈ ℝ.

• Osserviamo che: x²+x+1 → Δ = -3.
• La relazione precedente è verificata se: Mx²+Mx+M-1 ≥ 0 ∀x ∈ ℝ.
• Affinché ciò risulti vero, deve essere: il primo coefficiente delle disequazioni positivo ed il discriminante minore o uguale a zero: M > 0 e -4M - 3M² ≤ 0, ciò fornisce: M > 4/3.
• In definitiva, i maggioranti di A sono: M(A) = { M ∈ ℝ: M ≥ 4/3 }, ed il suo estremo superiore è dato da: Sup A = min M(A) = 4/3.

Estremi

b) Determinare i minoranti di A e inf A.

• m è un minorante di A se e solo se: 1/(x² + x + 1) ≥ m ∀x ∈ ℝ.
• Da cui per quanto visto in precedenza, deve essere: mx² + mx + m - 1 ≤ 0 ∀x ∈ ℝ.
• Affinché ciò risulti vero, deve essere m ≤ 0 (per il quale l'equazione diventa -1 ≤ 0 banalmente vera) oppure il primo coefficiente negativo ed il discriminante minore o uguale a zero: m ≤ 0.
• In definitiva i minoranti di A sono: M(A) = {m ∈ ℝ: m ≤ 0}, mentre l'estremo inferiore di A è dato da: inf A = Max M(A) = 0.

Estremi insiemi

c) Stabilire se esistono min(A) e Max(A) e calcolarli.

• Per stabilire se Sup A = ⁴/₃ è anche massimo di A, si deve verificare se ⁴/₃ ∈ A e questo avviene se e solo se: ∃ x ∈ ℝ :¹/_{x² + x + 1} = ⁴/₃. Dalle configurazioni fatte nei punti precedenti e risolvendo l'equazione, si ha: X = -¹/₂ da cui Max(A) = ⁴/₃.
• Per stabilire se inf A = 0 è anche minimo di A, si deve verificare se ∃ x ∈ ℝ :¹/_{x² + x + 1} = 0. Tale equazione non ha soluzioni reali, segue che non esiste min(A).

Estremo superiore - Estremo inferiore

Dire se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente o superiormente ed in caso affermativo, trovare l’estremo inferiore o l’estremo superiore in R. Dire se si tratta di minimi o massimi.

1. A = {_n-1/ⁿ : n ∈ N*}

• Osserviamo che A = {_n-1/ⁿ : n ∈ N*} = {1 - ₁/ⁿ : n ∈ N*} e che: 1 ≤ n   ₁/ⁿ ≤ 1   :   -1 ≤ - ₁/ⁿ da cui: 1 - 1 ≤ 1 - ₁/ⁿ   =>   0 ≤ 1 - ₁/ⁿ < 1.      ∀ n ∈ N*.
• A è limitato inferiormente da 0 (ogni k ≤ 0 è un minorante per A). In particolare, poiché 0 è un minorante e 0 ∈ A, allora 0 = inf A = min A.
• A è limitato superiormente da 1 (ogni k ≥ 1 è un maggiorante per A). Dimostriamo che 1 è il più piccolo dei maggioranti. Sia ε > 0; mostriamo che 1 - ε non può essere un maggiorante. Infatti: 1 - ₁/ⁿ > 1 - ε ⇔ ₁/ⁿ < ε. Quindi, per ogni n > ₁/^ε l’elemento 1 - ₁/ⁿ > 1 - ε e di conseguenza, non può essere un maggiorante. Conclusione: Sup A = 1. Osserviamo che 1 non è un massimo, in quanto 1 ∉ A, infatti: 1 - ₁/ⁿ ≠ 1 ∀ n ∈ N^*.

Esercizi di insiemi

2. B = {_2n⎯ : n ∈ _n²+1}

• Osserviamo che: -(n+1)² ≤ 0 ∀ n ∈ → - n²-2n-1 ≤ 0 → -n-1 ≤ 2n(n+1)² ≥ 0 ∀ n ∈ → n²+2n+1 ≥ 0 → n+1 ≥ 2n, ovvero: -(n²+1) ≤ 2n ≤ (n²+1) ⇒ -1 ≤ _2n⁄_n²+1 ≤ 1 ∀ n ∈, quindi, 1 è un maggiorante di B e -1 è un minorante per B. B è limitato superiormente ed inferiormente. Inoltre, dal momento che 1 ∈ B e -1 ∈ B possiamo concludere da solo il massimo e il minimo: min B = inf B = -1, Max B = Sup B = 1.

Osservazioni ulteriori

• Si dimostra che è vera la disequazione sopra trovata: _2|n| = _|n| - ^2|n| ≤ 1 ∀ n ∈ ⎯ _n²+1 ciò implica e completa che: 2|n| ≤ 1+1; n+1-2|n| ≥ 0; (|n|-1)² ≥ 0 ∀ n ∈ Estrami brisiani.

Esercizi su C e D

3. C = {(-1)^u/u : u ∈ N^*} N^* = N\{0}

• Osserviamo che: |(-1)^u/u| = 1/u ≤ 1 ∀u∈N^* quindi: -1 ≤ |(-1)^u/u| ≤ 1 ∀u∈N^*. Di conseguenza -1 è un minorante e 1 è un maggiorante per C. Ne consegue che C è limitato sia inferiormente che superiormente. In particolare, dal momento che -1 ∈ C basta prendere u = 1 e -1 è un minorante, possiamo concludere che: min C = inf_C = -1.
• Calcoliamo ora l'estremo superiore. Come abbiamo detto 1 è un maggiorante, ma non è il più piccolo dei maggioranti. Infatti, si dimostra che anche 1/2 è un maggiorante: Se u è dispari, (-1)^u/u < 0 < 1/2. Se u è pari (in particolare u ≥ 2). Allora (-1)/u = 1/u = 1/u ≤ 1/2 in quanto u > 2. Inoltre, 1/2 ∈ C, basta prendere u = 2, quindi: Max C = Sup C = 1/2.

4. D = {(-1)ⁿ _n-1⁄_n : n ∈ N*} N* = N\{0}

• d_n = (-1)ⁿ _n-1⁄_n = (-1)ⁿ (1 - ¹⁄_n).
• Osserviamo che 1 è un maggiorante e -1 è un minorante. Infatti: |d_n| = 1 - ¹⁄_n ≤ 1 ⇒ -1 ≤ d_n ≤ 1. Dimostriamo che si tratta dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore. Dimostriamo che sup D = 1. Dobbiamo dimostrare che per ogni ε>0 esiste N₀ tale che d_n > 1-ε. Assumiamo che N₀ sia pari, per esempio N₀ = 2K₀. Allora basta scegliere K₀ in modo che: d_2k0 = ^2K₀-1⁄_2K0 = 1 - ¹⁄_2K0 > 1-ε ⇒ K₀ > ¹⁄_ε. Un modo simile, considerando n dispari, si dimostra inf D = -1. Osserviamo che non si tratta né di massimo né di minimo.

Teorema

Sia A un insieme limitato inferiormente. Definiamo -A = {-a : a ∈ A}. Allora inf A = -sup(-A).

Dimostrazione

Indichiamo con l = inf A , dallo definizione di estremo inferiore: l ≤ a ∀ a ∈ A ; per ogni m > l , esiste un elemento ē ∈ A, tale che : m > ē. Dimostriamo che -l è l’estremo superiore di -A. -l ≥ -a ∀ a ∈ A : segue dalla 1) dell’estremo inferiore di A. Sia M < -l , vi ha: -M > l , quindi dalla 2) dell’estremo inferiore di A, segue che: ∃ ē ∈ A, tale che -M > ē , di conseguenza M < -ē e -ē ∈ -A , quindi M non può essere un maggiorante. Questo dimostra che -l è il più piccolo maggiorante per -A e quindi è l’estremo superiore.

Teorema

Sia A un insieme limitato. Definito "Diametro di A" diam A = Sup { |x-y| : x,y ∈ A } si dimostra che: diam A = Sup A - inf A.

Dimostrazione

Siano x,y ∈ A. Possiamo assumere x ≥ y. Segue dalla definizione di Estremo Superiore e inferiore che Sup A ≥ x e inf A ≤ y. In definitiva: Sup A ≥ x inf A ≤ y Sup A - inf A ≥ x - y = |x-y| ∀ x,y ∈ A. Quindi, Sup A - inf A è un maggiorante dell'insieme { |x-y| : x,y ∈ A }. Poiché l'Estremo Superiore è il più piccolo dei maggioranti, otteniamo: Sup A - inf A ≥ sup { |x-y| : x,y ∈ A } = diam A. Vogliamo dimostrare ora che: Sup A - inf A ≤ diam A. Supponiamo per assurdo che: Sup A - inf A > diam A. Quindi esiste ε > 0, tale che: diam A < Sup A - inf A - 2 ε = (Sup A - ε) - (inf A + ε). Segue dalla definizione di Sup ed inf, che: { ¯x ∈ A tale che Sup A - ε < ¯x e { ¯y ∈ A tale che inf A + ε > ¯y. Quindi, sostituendo nella -1- ; diam A < (Sup A - ε) - (inf A + ε) < ¯x - ¯y ≤ |¯x - ¯y| ≤ diam A. È una chiara contraddizione. Questo conclude la dimostrazione di: diam A ≥ Sup A - inf A.

Estratto: versione 10

Estremo superiore - Estremo inferiore

Si trovino, qualora esistono, Sup e inf su R dei seguenti insiemi, specificando ove necessario se essi sono Max o min.

1. { n - ₁/_n : n ∈ N* }
2. { (-1)ⁿ + ₁/_n : n ∈ N* }
3. { n² + 3n - 1 : n ∈ N }
4. { 3n - sin(n) / n : n ∈ N* }
5. { x² ≤ 2 : x ∈ R }
6. { 2n + ₃/_n : n ∈ N* }
7. { x² - y² : x, y ∈ R }
8. { x : x ∈ [1, 2] ^ y ∈ [-3, -1] }

Osservazioni sui numeri naturali

9. { n - ₁/_n : n ∈ N* } N* = N \ {0}

• Osserviamo che: n - ₁/_n = (n² - 1) / n² ≥ 0 ∀ n ∈ N*. Per cui l'insieme è limitato inferiormente e 0 è un minorante dell'insieme. Inoltre per n = 1 ₁ - 1 / 1 = 0, pertanto il minimo dell'insieme è 0.
• Esaminando il termine n - ₁/_n nei naturali, la quantità ₁/_n diminuisce sempre più fino ad essere praticamente zero. Nello stesso tempo "n" assume valori sempre più grandi in N*, l'insieme dei Naturali non è superiormente limitato, dunque questo insieme non ammette Sup.

10. {(-1)ⁿ + ₁/_n : n ∈ N*}, N* = N \ {0}

• Osserviamo che: ¹/_n : è una quantità che diventa sempre più piccola al crescere di n in N*. (-1)ⁿ = {+1 n pari : n = 2K - 1 n dispari : n = 2K+1 K ∈ N*}. Da ciò segue che il valore di n in corrispondenza del quale il termine 1/n dà l'oscillato massimo e allo stesso tempo la quantità (-1)ⁿ risulti positiva è n=2. Si ha quindi: (-1)² + ¹/₂ = 1 + ¹/₂ = ³/₂, ovvero M(x) = ³/₂.
• Al crescere di n i termini si affermeranno aggregandosi attorno ai punti "+1" e "-1". Per n grandi avremo oscillazioni in due intervalli di raggio ε piccolo a piacere (-1; -1+ε) e (1; 1+ε). Dunque l'insieme ammette un inf uguale -1.

Trinomi di secondo grado

11. {n² + 3n - 1 : n ∈ N}

• Consideriamo il trinomio: n² + 3n - 1 ∈ N. Verifichiamo un possibile Δ:Δ = b² - 4ac = 9 - 4(1)(-1) = 13. Nell'insieme N il trinomio è non-negativo per n ≥ 1. L’unica scelta ragionevole risulta n = 0 per cui avremmo un min = -1. Poi n² + 3n assumerà valori sempre più grandi in N, da ciò è facilmente limitato, non avremo un Sup finito per questo insieme.

12. {3n - sin(n) / n : n ∈ N*}

• Riscriviamo gli elementi dell’insieme come 3 - |sen(n!)| / n. Poi |sen(n!)| ≤ 1 ∀n ∈ N, il comportamento di |sen(n!)|/n sarà identico a quello di 1/n, cioè assumerà valori sempre più piccoli all’aumentare di n. Da questo si evince che l'insieme ammette un Sup che vale 3. Osserviamo adesso che 3 - |sen(n!)| / n > 3 - 1 / n ∀n ∈ N*. Il secondo membro della disuguaglianza ammette un min = 2. Il valore del nostro insieme che più si avvicina è quello assunto per n = 1, cioè 3 - sen(1), che è proprio il min cercato.