Disequazioni con valore assoluto, estremi di insiemi, funzioni

Disequazioni col valore assoluto

1. Trovare x ∈ ℝ: |x| < a, a ∈ ℝ fissato
• a ≤ 0 → ⌀ soluzioni
• a > 0

|x| < a → {x < a se x ≥ 0 x > -a se x < 0 ↓ x > -a}

|x| < a ↔ -a < x < a ↔ (-a, a)

es. |x| < 11 ↔ -11 < x < 11

2. |x| > a, a ∈ ℝ fissato
• a < 0 verificata ∀ x ∈ ℝ
• a = 0 verificata ∀ x ∈ ℝ x ≠ 0
• a > 0

|x| > a ↔ {x > a, x > 0 x < -a, x < 0 }

Disequazioni col valore assoluto

1. Trovare x ∈ ℝ: |x| < a, a ∈ ℝ fissato

|x| < 11

• α ≤ 0 → / soluzioni
• α > 0

• |x| < α ↔
  • x < α se x ≥ 0
  • x > -α se x < 0

x > -α

|x| < α ↔ -α < x < α ↔ (-α, α)

es. |x| < 11 ↔ -11 < x < 11

2. |x| > α, a ∈ ℝ fissato

• α ≤ 0 verificata ∀x ∈ ℝ
• α = 0 verificata ∀x ∈ ℝ, x ≠ 0
• α > 0

|x| > α ↔

• x > α, x > 0
• x < -α, x < 0

|x| > a   a > 0

(|x| > a ⇒) {x ∈ R : x > a ∨ x < -a}

es. |x| > 8   ( ⇒ )   x > 8 ∨ x < -8

es. |x - 3| < 5

• -5 < x - 3 < 5
• -2 < x < 8

es. |x - 1| > 7

• x - 1 > 7   ∨   x - 1 < -7
• x > 8   ∨   x < -6

es. |2x - 1| > x

• se x < 0 ⇒ ∀ x < 0 ∈ R
• se x = 0 ⇒ 1 - 1 > 0 ⇒ vero 0 < 0
• se x > 0 ⇒ 2x - 1 > x   ∨   2x - 1 < -x
• x > 1   ∨   x < ¹⁄₃

soluzione: (−∞, ¹⁄₃) ∪ (1, +∞)

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

K ∈ ℝ è MAGGIORANTE di A in ℝ se K ≥ a, ∀a ∈ A

es. A = [1,5]

5 è maggiorante per A

• {Maggioranti di A} = [5, + ∞)

es. B = (-2, +∞)

B non ha maggioranti in ℝ

∃ maggioranti di B in ℝ

• ∀k ∈ ℝ ∃ b ∈ B {\displaystyle b >k}

se esiste almeno un maggiorante di A, allora A è limitato superiormente

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

K ∈ ℝ è MINORANTE di A in ℝ se K ≤ a, ∀a ∈ A

A è limitato inferiormente se esiste almeno un minorante

es. A = [1,5]

A è limitato inferiormente e superiormente, quindi A è limitato.

A è limitato ⇔ ∃ N > 0 tale che |a| ≤ N ∀a ∈ A

Massimo e minimo di A ⊆ ℝ

Un maggiorante di A ⊆ ℝ ∈ A si dice massimo di A e si indica con max A

Un minorante di A ⊆ ℝ ∈ A si dice minimo di A e si indica con min A

es. A = [1, 5]

5 è un maggiorante e 5 ∈ A ⇒ max A = 5

1 è un minorante e 1 ∈ A ⇒ min A = 1

max A = 5 (⇔) &LeftCurlyBracket; 5 ≥ a, ∀ a ∈ A            5 ∈ A

min A = 1 (⇔) &LeftCurlyBracket; 1 ≤ a, ∀ a ∈ A            1 ∈ A

es. D = (1, 5)

∃ un maggiorante ∈ D? NO

∄ max D

∃ un minorante di D ∈ D? NO

∄ min D

Def in "formule"

• μ = max A ⇔ &LeftCurlyBracket; μ ≥ a, ∀ a ∈ A μ ∈ A

• m = min A ⇔ &LeftCurlyBracket; m ≤ a, ∀ a ∈ A m ∈ A

Se esiste max A o min A, questo è unico

ES.

E = { x ∈ ℝ: x = ²/_n, n ∈ ℕ, n ≥ 1 }

n = 1 x = 2n = 2 x = 1n = 3 x = ²/₃

E è limitato?( limitato superiormente elimitato inferioremente )

limitato superiormente : K > 2K è maggiorante

K > x ∀ x ∈ Ex = ²/_n → K > ²/_nK > 2 ≥ ²/_n, ∀ n ∈ ℕ

Se prendo un qualsiasi K ≤ 0, K è un minorante→ limitato inferioremente

E è limitato

CongetturaΩ = max E

2 = max E ⟺ 2 ≥ x ⟹❶ ∀ x ∈ E2 ∈ E ⟹❷

❶ 2 ≥ x ?x ∈ Ex = ²/_n { ∀ n ∈ ℕ ≥ 1}

verifico cioè 2 ≥ ²/_n ⟹ n ≥ 1 ∀ n

❷ ? 2 ∈ E²∈_E

2 = ²/_n ⟶ n > 1 ⟶ 2 = ²/₁ = 2

Dire che 0 è minorante di E

?

0 ≤ ₂⁄_n   ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 1

0 è un minorante

0 è un minimo? → 0 ∈ E?

0 = ₂⁄_n   ∃ n ∈ ℕ → 0 ∉ E

0 è un minorante ma non è il minimo di E

Estremo superiore ed inferiore di un insieme A ⊆ ℝ

Def: \(A \subseteq \mathbb{R}, A \neq \emptyset\)

\(p \in \mathbb{R}\) è estremo superiore di A in \(\mathbb{R}\) (indicato con \(sup A\)) se \(p\) è il minimo dei maggioranti

\(p \in \mathbb{R}\) è estremo inferiore di A in \(\mathbb{R}\) (indicato con \(inf A\)) se \(p\) è il massimo dei minoranti

\(B = [3, 7[\) ha minimo ma non massimo

\(L = sup A \Leftrightarrow \{L \geq x \quad \forall x \in A \newline \forall \epsilon > 0 \quad \exists x \in A: x > L - \epsilon\}\)

\(l = inf A \Leftrightarrow \{l \leq x, \forall x \in A \newline \forall \epsilon > 0 \quad \exists x \in A: x < l + \epsilon\}\)

Es

A = { x ∈ ℝ : x = ²/_n, n ∈ ℕ, n > 1 }

A è limitato2 = max A => sup A0 ∉ AIntuisco che 0 = inf ADimostro

0 = inf A ⟺ {0 ≤ x ∀ x ∈ A∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : x < ε}

1. 0 ≤ x, ∀ x ∈ A

   Dimostro

   0 ≤ ²/_n ∀ n ∈ ℕsempre vero ∀ n

2. ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A : x < 0 + ε = ε

   x < ε²/_n < ε∀ n > ²/_ε

   ∀ ε > 0se prendo n > ²/_ε trovo x < ε

Es.

D = { x ∈ ℝ : x = ^{n - 1}/_n , n ∈ ℕ, n ≠ 0 }

Funzioni

x, y non vuoti. Una funzione f da X in Y è una corrispondenza che associa ad ogni x ∈ X uno ed uno solo y ∈ Y

X = dominio di f =: dom f

Y = codominio di f

Notazione

f : X → Y

x ∈ X → y ∈ Y

y = f(x)

y valore di f in x

Im f = {y ∈ Y : ∃ x ∈ X : y = f(x)}

f(X) è un insieme f(X) ⊆ Y

Gr f = { (x, f(x)), x ∈ X } ⊆ X ⋅ Y

Es. X, Y = ℝ

f : ℝ → ℝ

x ∈ ℝ → f(x) = y ∈ ℝ

Es. f : ℝ → ℝ    f(x) = x²

x → x² = y

Es. X = ℝ² = ℝ × ℝ

(x₁, x₂) → y ∈ ℝ

Es. f(x₁, x₂) = x₁² + x₂³ + 5

f(1,2) = (1)² + 2)³ + 5 = ¹⁴