Matematica - Esponenziali e Logaritmi

Esponenziali e Logaritmi

Esponenziali: Intro

Sono funzioni esponenziali quelle che si presentano come \( y = a^x \) con a reale e a > 0:

• \( y = 2^x \)
• \( y = 3^x \)
• \( y = \left( \frac{1}{4} \right)^x \)
• \( y = \pi^x \)

Il numero reale \( a \) è detto base della esponenziale. Si esclude \( a = 1 \) perchè si avrebbe \( y = 1^x = 1 \, \forall x \in \mathbb{R} \)

Nel descrivere le caratteristiche delle ∞ esponenziali conviene:

\( 0 < a < 1 \)   vs   \( a > 1 \)

Analogìe:

• Funz. strettamente _positive (interamente sopra asse-x)
• Il grafico passa per (0,1)

Differenze:

• Gli esponenziali \( 0 < a < 1 \) sono strettamente decrescenti,
• quelli \( a > 1 \) sono ^crescenti
• Comportamento simmetrico tra \( \left( \frac{1}{a} \right)^x \) e \( a^x \)

Recall: Proprietà delle Potenze

\( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \)

\( a^x : a^y = a^{x-y} \)

\( (a^x)^y = a^{x \cdot y} \)

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

\( \frac{a^m}{b^m} = \left( \frac{a}{b} \right)^m \)

Esponenziali: Intro

Sono funzioni esponenziali quelle che si presentano come y = a^x con a reale ≠ 1

y=2^x   y=3^x   y=(1/2)^x   y=π^x

Il numero reale a è detto base della L'esponenziale. Si esclude a = 1 perché si avrebbe y = 1^x ∀ x ∈ ℝ

Nel descrivere le caratteristiche delle F esponenziali conviene

0 < a < 1   Vs.   a > 1

AnalogIe: - Funz Strettamente PositIve (Interamente sopRa asse X) - Il grafico passa per (0.1)Differenze: - Gli EsponenzialI 0<a<1 sono strettamente decrescentI, Quelli a>1 sono CrescentI

- Comportamento sImmetriCo tra (1/a)^x e a^X

Recap: Proprietà Pelle Potenze

• a^x a^y = a^x+y
• (a^x)^y = a^xy
• a^1/n = a^n/n
• (a/b)^m = (a^m/b^m)

Equazioni esponenziali elementari

Le eq. esp. elementari si presentano nella forma

a^x = b

a > 0 e a ≠ 1

Quante soluzioni ci sono?

• Nessuna se b = 0 o negativo
• Unica sol. se b > 0

a^x = b   ⇒   x = log_ab

Es. 1

2^x = 8   x = log₂8 = 3

Es. 2

3² ⋅ ¹/₉   ⇒   3^x = ¹/_3²

⇒   -3^x = ¹/₉   ⇒   x = log₃¹/₉

5 ⋅ 3^x = ¹/₈

5 -3^x = ¹/₈

5 -3^x = ¹/_2³

5 ⋅ 3^x ⋅ 2   ⇒   2^5-3x = 2^-3

Es. 5

9^-x ⋅ ¹/₃ = (3²)^x ⋅ ¹/₃ ⋅ ¹/₃

⇒   3^2x = 3¹/₂

⇒   2x = ¹/₂   ⇒   x = -^1/2

ESPONENZIALI: 3 CASISTICHE FREQ.

ES 1:

2^2x+2 · √a / √2^x-2 = 2

⇒ 2³ = 1 ⇒ 2^2x+2 / 2^2-x

2x+2 = 2-x

2x+2/3 - 2-x/2

x = -10

1. Tutte le volte in cui, dopo qualche passaggio, gli exp. sono riconducibili alla forma a^x = a^y si risolvono imponendo x = y

ES 2:

(3^x)²·5^x+2·20 / 5³ + 5^x+1

= 3³·3³ - 2·3³ = 20·5^x + 5^x5¹

27·x - 18·3^x = 20·5⁵ - 5⁵5^x

9·3^x = 25·5^x 3/5^x = 25/9

5³ 5² 5³ (3/5)^x = (5/3)

x = -2

2. Tutte le volte in cui, dopo qualche passaggio, gli exp. sono riconducibili alla forma m^ax = m^by conviene trasformare i due esponenziali in uno solo ottenendo (a/b)^x = m

ES 3:

3^12x-12·3^x+27 = 0

Chiamiamo g³·t ⇒ t²-12t+27 = 0

t_x = 6 ± √36-27 = 6 ± 9

t_x3, 3^x = x = 1

t₂·9·3^x·9·x = 2

3. Tutte le volte in cui, dopo qualche passaggio, gli esp. presentano forma a^2x+b^x+c = 0 posso sostituire, svolgerli e tornare alla forma iniziale.

Disequazioni Esponenziali

Le strategie risolutive sono simili alle equazioni esponenziali, le disequazioni cambiano e si distaccano dalle eq. espon.

→ Gli esp. con base > 1 sono strettamente crescenti, quindi:

a^f(x) > a^g(x) → f(x) > g(x)

Es:

• 3^2x+1 > 3¹ → 2x+1 > 1 → x > 1
• 2^x+5 > 2² → x+5 > 2 → x > -3

Recap: se la base > 1 il verso della dis. non cambia

→ Gli esp. con base compresa tra 0 e 1 sono strettamente decrescenti, quindi:

a^f(x) < a^g(x) → f(x) > g(x)

Es:

• 4^2x+1 < 7¹ → 2x+1 > 1 → x < 3
• 2^x+5 < 7¹⁰ → x+5 > 10 → x > -15

Recap: se la 0 < base < 1 il verso della dis. cambia

Esempio 1:

• (3/2)^x+2 ≤ (1/2^2-x) → 2/3 ≥ (1/2)^x+2
• → 2/3 ≥ (2/3)^x+2 → -x/2 "

Base > 1 verso preservato

Esempio 2:

• (1/3)^x < (1/3)⁴ → x < 4

Base < 1 verso cambiato

Esempio 3:

• 2^x - 5・2^x + 6 ≥ 0
• (t-3)(t-2) ≥ 0
• t² - 5t + 6 ≥ 0
• t ≤ 2 ∪ t ≥ 3

2^x ≤ 2 ∪ 2^x ≥ 3

x ≤ log₃ 2 ∪ x ≥ log₂ 3

LOGARITMO: DEF E CARATTERISTICHE

a^x = b

x = log_a^argomento

Il log_b è l'esponente che bisogna dare alla base a per ottenere l'argomento b.

log_ab è definito solo per b>0

a>0 e a≠1

Esempio

log₇49 = 2

Mi chiedo "A cosa elevo 7 per ottenere 49?"

log₂^x = -1

"A cosa elevo 2 per ottenere 1/2?"

log₄^1/8 = 3/2

4^1/8 = 2^2/3

NB: Se b non è una potenza ad esponente razionale di a, allora log_ab è un numero irrazionale.

Es: log₂3 ≈ 1.5849...

Funzioni logaritmiche

y = log_ax

y = log_ax0<a<1

Analogie:

• Entrambe definite solo per x>0 (x def. asse y)
• Entrambe passano per (1;0) (log_a1=0)

Differenze:

• Se a>1, y = log_ax è f strettamente crescente
• Se 0<a<1, y = log_ax è f strettamente decrescente

Proprietà dei Logaritmi

1. log_a(xy) = log_a x + log_a y

2. log_a (x/y) = log_a x - log_a y

3. log_a x^y = y log_a x

NB: Tutte le proprietà sono valide a condizione che la base > 0 e ≠ 1 e che gli argomenti siano tutti positivi.

NB2: Non farsi indurre in tentazione...

log_a (x+y)

log_a x + log_a y

log_a x/log_a y

non godono di proprietà particolari

Es 1:

log₆ 6 - 1/2 log₅ 3² + log₅ 2 scrivere come unico log.

Es 2:

Scrivere come unico log.

1/2 (log₂ x + log₃ y) - 2 (log₃ (x-y))

= 1/2 log₂ 3/2 2 log₃ (x-y)

= log₃ (x/y) (x-y)²

Formula del cambio di base

log_a b = log_c b/log_c a

Es 3:

log₄ 13 = 2 log₈ 3/log₄ 7

Equazioni Logaritmiche

Si usa

• Proprietà dei logaritmi
• Formula del cambio base
• Cambio di variabile

Per arrivare dopo qualche passaggio ad avere:

log_af(x) = log_ag(x) → f(x) = g(x)

log_af(x) = c → f(x) = a^c

NB: Bisogna sempre imporre che log esista(argomento > 0 e basi ≠ 1)

Esempio 1.

log₂(x+1) + log₂(x-1) - 3 = 0

• Cond. es.
  • x+1 > 0 → x > -1
  • x-1 > 0 → x > 1

log₂(x+1) + log₂(x-1) = 3

log₂((x+1)(x-1)) = 3

(x+1)(x-1) = 2³

x²-1 = 8

x² = 9

x₁ = 3

x₂ = -3 non compatibile con cond. es.

Esempio 2.

2 log₂(x+1) + log₂(x+1) = 5

Formula cambio base

2 log_a(x+1) + log_a(x+1) = 5

2 log_h(x+1)

4 log_h(x+1) + log_h(x+1) = 5

5 log_h(x+1) = 5

log_h(x+1) = 1

x+1 = 4

x=3

Esempio 3.

log₂²(x+2) = 4 - 3 log₂(x+2)

t = log₂(x+2)

t² - 4 - 3t

t²+3t - 4 = 0

(t-1)(t+4)=0

t₁: log₂(x+2) = -4

x+2 = 2^-4

x+2 = ¹⁄₁₆

x = ³¹⁄₁₆

t₁: log₂(x+2) = 1

x+2 = 2

x = 0

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

L'unica differenza tra eq. e diseq. si ha nel passaggio di trasformazione:

• se a > 1 si ha f(x) ≥ _numero
• se 0 < a < 1 si ha f(x) < a _numero

N.B. imporre sempre f(x) > 0 perché log sia definito.

Esempio 1:

log₂(2x - 4) ≤ 3

2x - 4 ≤ 2³x < 6

CE: 2x - 4 > 0x > 2

S.: { x ∈ ℝ / 2 < x < 6 }

Esempio 2:

log_0.5(x - 1) > -1

x - 1 < 1/2^-1x < 3

CE: x - 1 > 0x > 1

S.: { x ∈ ℝ / 1 < x < 3 }

log_a[f(x)] ≤ log_a[g(x)]

• se a > 1 si ha f(x) > g(x) (0 < se prima)
• se 0 < a < 1 si ha f(x) < g(x) (0 > se prima)

Esempio 3:

log_1/3(x - 1)·log_1/3(x + 1) > 3 log_1/32

log_1/3[(x - 1)(x + 1)] > β log_2/3

(x - 1)(x + 1) < 2²x² < 9x < 3

CE: x + 1 > 0x > -1x > 1x - 1 > 0x > 1

S.: { x ∈ ℝ / 1 < x < 3 }