Esercizio 1 3 prova 15Gennaio2018

Analisi matematica 1 - prova scritta 15/01/18

Studio della funzione

La funzione \( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \)

I passaggi da effettuare nello studio di funzione sono:

1. Insieme di definizione (dominio della funzione)
2. Studio di parità e disparità
3. Intersezione con gli assi
4. Studio del segno di una funzione
5. Limiti agli estremi del dominio
6. Studio della derivata prima
7. Derivata seconda, convessità e punti di flesso.

Domanda 1

La funzione \( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \):

• [1] Ha un punto di minimo in \( x=0 \)
• [2] È crescente su \((-1,0)\)
• [3] È concava su \((-1,+\infty)\)
• [4] È convessa sul suo dominio.

Il dominio di \( f(x) \) è \( D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1\} \)

\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \right) = \frac{x}{2(x+1)^{3/2}} \)

\( f'(x) = 0 \) per \( x = 0 \)

\( f(0) = \sqrt{1} + \frac{1}{\sqrt{1}} - 4 = -2 \)

\( f'(x) > 0 \) per \( x > 0 \) e \( f'(x) \)

Studio della funzione

La funzione \( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \)

I passaggi da effettuare nello studio di funzione sono:

1. Insieme di definizione (dominio della funzione)
2. Studio di parità e disparità
3. Intersezione con gli assi
4. Studio del segno di una funzione
5. Limiti agli estremi del dominio
6. Studio della derivata prima
7. Derivata seconda, convessità e punti di flesso.

Domanda 1

La funzione \( f(x) = \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \):

• [1] Ha un punto di minimo in \( x=0 \)
• [2] È crescente su \((-1,0)\)
• [3] È concava su \((-1,+\infty)\)
• [4] È convessa sul suo dominio.

Il dominio di \( f(x) \) è \( D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1\} \)

\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x+1} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 4 \right) = \frac{x}{2(x+1)^{3/2}} \)

\( f'(x) = 0 \) per \( x = 0 \)

\( f'(0) = \sqrt{1} + \frac{1}{\sqrt{1}} - 4 = -2 \)

\( f'(x) > 0 \) per \( x > 0 \) e \( f'(x) \)

Punto di Max

Risposta esatta 1

Domanda 3

La funzione \( f(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} - 4 \)

• [1] Non ha asintoti
• [2] Ha solo un asintoto verticale
• [3] Ha un asintoto verticale ed uno orizzontale
• [4] Ha un asintoto verticale ed uno obliquo

Ricerca asintoti orizzontali

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \infty\) Non sono presenti asintoti orizzontali

Ricerca asintoti verticali

\(\lim_{x \to -1} f(x) = \infty\) È presente un asintoto verticale

Ricerca asintoti obliqui

\(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\)

Risposta esatta 2