Scienza delle costruzioni - Esercizi

Esercizi: travature reticolari

Esercizio 1

Numero di vincoli: m = 3
Numero di aste: e = 11
Numero di nodi: n = 7
La travatura è composta da maglie triangolari ⇒ sistema staticamente determinato - isostatico
Reazioni vincolari: z^c = 0, z^r = z³ = ³/₂P

La travatura è simmetrica rispetto alla retta verticale passante per il nodo 2; anche i carichi esterni sono applicati in modo simmetrico, quindi la caratteristica di sollecitazione sforzo normale è simmetrica. La travatura in esame è quindi travatura a nodi canonici e basta analizzare l'equilibrio di un numero ridotto di nodi per le condizioni di simmetria sopra indicate.

Nodo 4 semplice

Equazioni di equilibrio orizzontale e verticale del nodo semplice:

\[ 
\begin{cases} 
H_9 + \frac{\sqrt{2}}{2} H_3 = 0 \to H_9 = -\frac{3}{2} P \\ 
\frac{\sqrt{2}}{2} H_3 - \frac{3}{2} P = 0 \to H_3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} P 
\end{cases} 
\]

Nodo 1 semplice

\[ 
\begin{cases} 
H_1 + \frac{\sqrt{2}}{2} H_4 - \frac{3\sqrt{2}}{2} P = 0  \\ 
-\frac{\sqrt{2}}{2} H_4 - \frac{3}{2} P + P = 0 \to H_4 = -\frac{\sqrt{2}}{2} P 
\end{cases} 
\]

Nodo 5

Semlice:

\[ 
\begin{cases} 
\frac{\sqrt{2}}{2} N_5 + N_{10} + \frac{3}{2} P + \frac{1}{2} P = 0 \\ 
\frac{\sqrt{2}}{2} N_5 - \frac{1}{2} P = 0 \rightarrow N_5 = \frac{\sqrt{2}}{2} P 
\end{cases} 
\]
\]
N_{10} = -\frac{5}{2} P
\]

Verifica equilibrio nodi

Nodo 1

\[ 
\begin{array}{cc} 
-\frac{3}{2} P - \frac{1}{2} P + 2P = 0 & \text{c.v.d.} \\ 
-\frac{3}{2} P + \frac{1}{2} P + P = 0 & n 
\end{array} 
\]

Nodo 5

\[ 
\begin{array}{cc} 
\frac{3}{2} P - \frac{5}{2} P + \frac{1}{2} P + \frac{1}{2} P = 0 & \text{c.v.d.} \\ 
-\frac{1}{2} P + \frac{1}{2} P = 0 & n 
\end{array} 
\]

Tabella delle forze nelle aste

Es. 1/3

Nodi n=6 | Aste a=9 | Vincoli m=3
Condizione necessaria affinché a+m=2n 12=12 ok!

Per risolvere la struttura a nodi comuni, devo trovare (in questo caso) le reazioni vincolari affinché il nodo A diventi un nodo.

Equazioni di equilibrio:

• 3³=0
• 2¹+2²-3P=0
• -2²I+P(l₂+l₁+3/2P)=0
• Z¹=3/2P
• Z²=3/2P
• Z³=0

Nodo 1

{N1N1√2/2+3/2P=0N2+N1√2/2=0N1=-3√2/2P N2=3/2P

Nodo 4

N3√2/2-N4√2/2-P+3/2P=0N4√2/2+N3√2/2+3/2P=0N3=-√2P N4=-√2/2P

ES 2.1

Nodo 6-N5 = PN6 = -√2PNodo 5N7 = - √2/2 PN9 = - 3√2/2 PN8 = 3/2 P

Asta

N        1    -3√2/2 P        2    3/2 P        3    -√2P        4    -√2/2 P        5    P        6    -√2P        7    -√2/2 P        8    3/2 P        9    -3√2/2 P
Tratto spesso: COMPRESSO
Tratto sottile: TESO

ES2.2

Esercizio 3

Numero di vincoli: m = 3
Numero di aste: e = 7
Numero di nodi: n = 5
La travatura è composta da maglie triangolari → sistema staticamente isostatico
Reazioni vincolari: z³ = 0; z^γ = z^ε = P/2
Struttura simmetrica, carico simmetrico → N simmetrico

Es. 3/1

Calcolo delle forze normale Nodo 1 semplice

Equazioni di equilibrio orizzontale e verticale dei nodi semplici

cos π/12 N1 + √2/2 H4 = 0-sin π/12 N1 - √2/2 H4 - P/2 = 0
sin π/12 = sin (π/4 - π/6) == sin π/4 cos π/6 - cos π/4 sin π/6 == 1/4 (√6 - √2)
cos π/12 = cos (π/4 - π/6) == cos π/4 cos π/6 + sin π/4 sin π/6 == 1/4 (√6 + √2)
1/4 (√6 + √2) N1 + √2/2 H4 ≤ 0
-1/4 (√6 - √2) H4 - √2/2 N4 - P/2 = 0
(somma membro a membro)
1/4 (√6 + √2 - √6 + √2) N1 = P/2
N1 = √2/2 P
H4 = -1/4 (√6 + √2) P

Es. 3/2

Nodo 2 semplice-cos π/12 √2/2 P + sin π/12 N5 + N2 = 0
sin π/12 √2/2 P - cos π/12 N5 = 0
N5 = √6 - √2 / √6 + √2 · √2/2 P
N2 = 1/4 (√6 - √2) √2/2 P · 1/4 (√6 - √2) √6 - √2 / √6 + √2 √2/2 P
N2 = √6 / √6 + √2 P

Verifica equilibrio verticale nodo 5

N4 - N7 = 1/4 (√6 + √2) P
N5 = N6 = √6 - √2 / √6 + √2 √2/2 P
P - 2 √2 / 2 · 1/4 (√6 + √2) P + 2 cos π/12 √6 - √2 / √6 + √2 √2/2 P == P (1 - √12 / 4 - 1/2 + √12 / 4 - 1/2) = 0 c.v.d

Es.3/3

N5 N6 -1/4 (√6+√2)P P √2/2P √2/2P
costa

1. Tirante √2/2 P
2. Tirante √6/2 P
3. Tirante (√6+√2)/2 P = N₃
4. Puntone -¹/₄ (√6+√2)P
5. Tirante √6 - √2/√6+√2/2 P
6. Tirante N₆ = N₅
7. Puntone N₇ = N₄

Es.3/4(4)

Per trovare le sollecitazioni normali nella sezione s (N₁, N₂, N₃), si può risolvere la struttura (isostatica) in modo canonico, partendo dal modo semplice cAppuzzo (trovando, anche se non necessario, le reazioni vincolari) procedere ad metodo della sezione di Ritter (nella sezione s convergono 3 aste, non convergente in un unico modo → reazione canonica).

Equazioni di equilibrio:

Sostituisco i vincoli con la reazione vincolare corrispondente

x1)   {  z2 = 0
x2)   {  z1 + z3 = PI)    23IL/2 - P5L/2 = 0
z1 = -2P/3   z2 = 0   z3 = 5P/3

Sezione canonica in S:

Effetto una sezione in s e sostituisco le sollecitazioni nelle aste N₁, N₂, N₃.

Servano le equazioni di equilibrio:

Es. 4.1

Equilibrio alle traslazioni

x1) N3 1/2 - N2 √2/2 = 0
x2) 5/3P - 2/3P + N1 + N2 √2/2 + N3 √3/2 = 0

Equilibrio alla rotazione

I1) N1 ℓ + 5/3Pℓ + 2/3Pℓ/2 = 0
N1 = -2P
N2 = P√2/√3 + 1 = √2 (√3 - 1) P/2
N3 = P(√3 - 1)

Controllo l'equilibrio dell'altra parte della struttura:

Rel. I“
x1) (√3 - 1)P1/2 - √2/2(√3 - 1)P√2/2 = 0
x2) -2P + P + (√3 - 1)P √3/2 + √2/2 (√3 - 1)P√2/2 = 0
I") -Pℓ (∫ + 1) + 2Pℓ = 0→⌧³/2 - 1/2 - √3√3/2 + 1/2)P = 0 ok
(-1 + 3/2 - √3√3/2 + √3/2 -1/2)P = 0 ok
(-2 + 2) Pℓ = 0 ok

ES 4.2