Esercizi svolti analisi matematica 1 e 2

Numeri complessi

Rappresentazioni

Forma algebrica (cartesiana)

z = (x, y) x ∈ ℝ y ∈ ℝ
z = x + i y = Re z + i Im z
i² = -1
|z| = √(x² + y²) modulo di z

Forma esponenziale

z = ρ e^iσ
ρ = √(x² + y²)

Forma piana (trigonometrica)

z = ρ (cos σ + i sin σ)

Esercizio

Passare dalla forma cartesiana a quella esponenziale.

z = x + i y -> z = ρ e^iσ
ρ = |z| = √(x² + y²)
σ = arccos(^x/_ρ), se y ≥ 0
σ = - arccos(^x/_ρ), se y < 0

z = (√3 + i) -> z = ρ e^iσ
Re = √3
Im = 1
ρ = √((√3)² + (1)²) = √4 = 2
σ = arccos(√3/2) = π/6
-> z = 2 e^iπ/6

Dalla forma esponenziale a quella cartesiana

z = ρe^iθ → z = x + i y
x = Re z = ρ cos θ
y = Im z = ρ sin θ

1. z = 2e^i3/₄π → z = x + iy

ρ = 2
x = 2cos(³/₄π) = 2(-^√2/₂) = -√2
y = 2sin(³/₄π) = 2(^√2/₂) = √2
⇒ z = -√2 + i√2

2. z = -√3 + i → z = ρ(cos θ + i sin θ)

ρ = |z| = √[(-√3)² + 1²] = √4 = 2
x = Re z = ρ cos θ
cos θ = ^x/_ρ → cos θ = -^√3/₂
y = Im z = ρ sin θ
sen θ = ^y/_ρ → sen θ = ¹/₂
⇔ θ = ⁵/₆π
⇒ z = 2(cos ⁵/₆π + i sin ⁵/₆π)

Angoli associati

• Angoli opposti

sen(-α) = -sen α
cos(-α) = cos α
tg(-α) = -tg α

• Angoli supplementari tra 90°-180°

sen(π-α) = sen α
cos(π-α) = -cos α
tg(π-α) = -tg α

• Angoli che differiscono di un angolo piatto (tra 180°-270°)

sen(π+α) = -sen α
cos(π+α) = -cos α
tg(π+α) = tg α

• Angoli complementari (tra 270° e 360°)

sen(2π-α) = -sen α
cos(2π-α) = cos α
tg(2π-α) = -tg α

Circonferenza goniometrica

sen (ordinata)
cos (ascisse)
tan

Calcolare

• &cos;\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \cos\left(\pi - \frac{3}{4}\pi\right) = -\cos\left(\frac{4\pi - 3\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
• &sin;\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \sin\left(\pi - \frac{3}{4}\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
• &cos;\left(\frac{5}{7}\pi\right) = -\cos\left(\pi + \frac{5}{7}\pi\right) = -\cos\left(\frac{9}{7}\pi\right) = -\cos\left(\frac{9\pi - 2\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)
• &sin;\left(\frac{9}{4}\pi\right) = -\sin\left(\pi + \frac{5}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
• &cos;\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\cos\left(2\pi - \frac{7}{4}\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
• &sin;\left(\frac{7}{4}\pi\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
• &cos;\left(\frac{7}{6}\pi\right) = -\cos\left(\pi + 2\pi\right) = -\cos\left(\frac{12\pi}{6}-2\pi\right)
• z = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Semplificare l'espressione

^2+i\sqrt{3}/_4-i
\frac{2+i\sqrt{3}}{4-i} \cdot \frac{4+i}{4+i} = \frac{(2+i\sqrt{3})(4+i)}{17} = \frac{8+2i+4i+\sqrt{3}}{\sqrt{17}} = \frac{5+i\sqrt{10}}{17}

1. \frac{i}{2+i\sqrt{3}} - \frac{1}{3+i\sqrt{3}} = \frac{1+i+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{1}{4} + \frac{i\sqrt{3}}{4}

Proprietà di i

i² = -1
i³ = i · i² = -\sqrt{-1} = -i
i⁴ = +i
\frac{1}{i} = 1, \frac{1}{i}, \frac{1}{i²} = \frac{-i}{1}
i² = (i¹)^-1 = i² · i = i⁴ · i^-3 = i · i^-3 = (i³)^-1 = (-i)^-2 = -