Esercizi svolti analisi matematica 1 e 2

NUMERI COMPLESSI

RAPPRESENTAZIONI

Forma algebrica (cartesiana)

z = (x, y) x ∈ ℝ, y ∈ ℝ

z = x + yi Re z, Im z

i² = -1

|z| = √(x² + y²)

modulo di z

Forma esponenziale

z = ρ e^iσ

ρ = √(x² + y²)

Forma polare (trigonometrica)

z = ρ (cos σ + i sin σ)

ESERCIZIO

Passare dalla forma cartesiana a quella esponenziale.

z = x + yi → z = ρe^iσ

ρ = |z| = √(x² + y²)

σ = { arccos (x / ρ), se y ≥ 0

- arccos (x / ρ), se y < 0

1. z = (3 + i) → z = ρ e^iσ

Re z = √3

Im z = 1

→ ρ = √((√3)² + (1)²) = √3 + 1 = √4 = 2

σ = arccos(√3/2) = π/6

→ z = 2 e^{i π/6}

Dalla forma esponenziale a quella cartesiana

z = ρ e^iθ → z = x + iy

x = Re z = ρ ⋅ cos θ

y = Im z = ρ ⋅ sin θ

1. z = 2 e^{i 3/4 π} = 2 e^iθ

   ρ = 2

   x = 2 cos 3/4 π = 2 ⋅ (-√2/2) = -√2

   y = 2 sin 3/4 π = 2 ⋅ (√2/2) = √2

2. z = -(√3 + i) → z = ρ(cos θ + i sin θ)

   ρ = |z| = √[(√3)² + 1²] = √[3 + 1] = √4 = 2

   x = Re z = ρ cos θ

   cos θ = x / ρ

   cos θ = -√3/2

   y = Im z = ρ sin θ

   sin θ = y / ρ

   sin θ = -1/2

   θ = 5/6 π

   z = 2 (cos 5/6 π + i sin 5/6 π)

ANGOLI ASSOCIATI

Angoli opposti

sen(-α) = -sen(α)

cos(-α) = cos(α)

tg(-α) = -tg(α)

Angoli che differiscono di un angolo piatto

(tra 180° e 270°)

sen(π + α) = -sen α

cos(π + α) = -cos α

tg(π + α) = tg α

Angoli supplementari

(tra 90°-180°)

sin(π - α) = sin α

cos(π - α) = -cos α

tg(π - α) = -tg α

2) i → z² = 1

p = √1² = 1

cos θ = x/p = 0

θ = π/2

sen θ = y/p = 1

z = (cos π/2 + i sen π/2)

n = 2

K = 0, 1

w₀ = 1

1 (cos ( π/2 + 2.0. π/2)/2 ) + i sen ( π/2 + 2.0. π/2)/2 )

1 (cos ( π/4 ) + i sen ( π/4 ) ) = √2/2 + i √2/2

w₁ = 1 (cos ( π/2 + 2. 1. π/2 )/2 ) + i sen ( π/2 + 2. 1. π/2 )/2 )

1 (cos ( π/4 + π ) + i sen ( π/4 + π ) ) = - √2/2 - i √2/2

3) - i → z² = -i

p = √1 = 1

cos θ = 0

Ø = - 3/2 π

sen θ = - 1

z = (cos 3/2 π + i sen 3/2 π)

m = 2

K = 0, 1

w₀ = √1 (cos 3 π/4 + 2.0. π)/2 ) + i sen (3 π/4 + 2.0. π)/2 )

1 (cos 3/4 π + i sen 3/4 π) = -√2/2 + i √2/2

w₁ = √1 (cos (3 π/4 + π ) + i sen (3 π/4 + π))

1 (cos 7/4 π + i sen 7/4 π) = √2/2 - i √2/2

Limiti di successioni

Sia dn una successione convergente e ∈ ℝ. Sia an=(-1)ⁿdn. Studiare l'esistenza del limite

• lim an al variare di ∈ ℝ. n→∞
• an=dn s n é pari
• an=(-dn) s n é dispari

È facile verificare dalla definizione di limite de una successione an tende a ℝ se e solo se le due successori (per n pari e dispari) tendono entrambi ad ℝ.

Chiamiamo

• bn = dn = { a₀, a₂, a₄, ... }
• cn = a_n+1 = { a₁, a₃, a₅, ... }

Nel nostro caso a_2m→ℓ ∈ ℝ

a_2m+1→-ℓ ∈ ℝ

Nel nostro caso liman=ℓ sse ℓ=-ℓ cioé ℓ=0

• lim (1 + 1/3n)²ⁿ = [ limn→∞ (1+1/m)^m = e ]
• lim = lim [ (1 + 1/3m)^m ]²
• -lim [ (1 + 1/3m)^3m ]^2/3 = e^2/3
• lim √n²+m
• = lim - n²m⊗m/√
• = 1/2

GERARCHIA DEGLI INFINITI

f(x) ~ g(x) per x -> "qualcosa"

asintoticamente equivalente e

significa che il limite

\(\lim_{{x \to "qualcosa"}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 1\)

Esercizi

1. \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{\log_2 x}}{{\sqrt{x}}} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0\)

   \(\log_2 x\) è trascurabile rispetto a \(\sqrt{x}\) (x^1/2 è "più veloce")

   \(\log_2 x\) posso non scriverla

2. \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{6^x + x^2 + \log_2 x}}{{x^3 + \log_2 x}} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{{x^1/3}}{{(1 + x^2/6^x + \log_2 x/x^3)}}\) = +∞

   \(e^x\) è un caso particolare di \(a^x\) con a = e

   \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{6^x + x^2 + \log_2 x}}{{x^3 + \log_2 x}} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{{6^x}}{{x^3}} = +∞

   posso trascurare \(\log_2 x, x^2 \log_2 x\)

3. \(\lim_{{x \to 3}} \frac{{x^3 - 1}}{{x^3 - x + 1}} = \lim_{{x \to 3}} \frac{{(x-1)(x+1)}}{{(x-1)(x^2 + x + 1)}} = \frac{2}{3}\)

4. \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{x^2}}{{x^{5/2}} + 1}\) = \(\frac{1}{1}\) = \(\frac{1}{2}\)

   \(\lim_{{x \to +\infty}} \frac{{x^{1/2}(1 - 2x^{1/2}/x)}}{{(2 - x^{-5/2})^{-5/2}}} = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{{1 - 2x^{-1/2}}}{{2 - x^{-5/2}}}^{5/2} =\)

7)

lim_{x → ∞} log(x + 1) - lim_{x → ∞}

128 - lim_{x → 0} x tan x

log(tan x + 1) tan x

lim_{x → 0} x = 128

8)

lim_{x → 0} log(2 + x)^1/2 = 0

9)

lim_{x → ∞} e^x sen x

x² log x → ∞ per x → 0⁺, se x ≥ 1

lim_{x → ∞} e^x sen x = lim_{x → ∞} e^x sen x = lim_{x → ∞} e x log x

9)

lim_{x → ∞} e^x sen x = lim_{x → ∞}

sen x = lim_{x → ∞} e^x

10)

lim_{x → 0⁺} log x

log₁₀x =

lim_{x → 0⁺} log x = log₁₀

lim_{x → 0⁺} log x / log x^1/2 = log₁₀

11)

lim_{x → 1} 1 / 3(x - 1)² = lim_{x → 1} -(x - 1)²

lim_{x → 1} e^{(x - 1)2}

12)

lim_{x → 0} x² log(1 + 2x) = lim_{x → 0} x

2(cos 3x - 2) sen x =

7) f(x) = (x² + 5x + 6)^1/2

Df:

x² + 5x + 6 ≠ 0

x² + 5x + 6 > 0

=>

(x + 3)(x + 2) > 0

x > -3

x > -2

D f: (-∞, -3) ∪ (-2, +∞)

DERIVATE DI FUNZIONI

x^m -> mx^m-1

y = e^f(x) -> y' = e^f(x) f'(x)

y = ln (f(x)) -> y' = ^f'(x)/_f(x)

y = ln x -> y' = ¹/_x

1) y = ln x + √x

y' = ¹/_x + ¹/₂ x^-1/2 = ¹/_x + ¹/_√x

2) y = x³ e^x

y' = 3x² e^x

3) y = ^{x + 5}/_{x - 3}

y' = ^{(x + 5)' (x - 3) - (x + 5) (x - 3)'}/