Esercizi sui circuiti dinamici (con interruttore e condensatore) risolti passo passo

File 9

In questo file presento 2 esercizi sui circuiti dinamici, in modo da portati confidenza con il metodo, che descrivo qui sotto.

1. si scrivono le equazioni caratteristiche dei componenti
2. si applicano le leggi di kirchhoff
3. vi si sostituiscono le relazioni costitutive
4. uovi un'equazione differenziale del 1^o ordine;

• 4.1) se il termine noto è 0, la soluzione è del tipo Ae^λt con λ da ricav. dall'eq. caratteristica e A da ricavo dalle condizioni iniziali;
• 4.2) se il termine noto ≠ 0, sarà Ae^λt + B, ove B lo si trova dall'eq differenziale e dalle condizioni iniziali.

File 3

In questo file presento 2 esercizi sui circuiti dinamici, in modo da prendere confidenza con il metodo, che descrivo qui sotto.

1. Si scrivono le equazioni caratteristiche dei componenti
2. Si applicano le leggi di Kirchhoff
3. Vi si sostituiscono le relazioni costitutive
4. Verrà un'equazione differenziale del 1° ordine;
1. Se il termine noto è 0, la soluzione è del tipo Ae^λt con λ da ricav. dall'eq. caratteristica e A da ricavare dalle condizioni iniziali;
2. Se il termine noto è ≠0, sarà Ae^λt+B, ove B lo si trova dall'eq. differenziale e A dalle condizioni iniziali.

Esercizio n^o5.1

Nel circuito in figura

L'interruttore rimane in posizione 1 per molto tempo, quindi passa nella posizione 2 in t=0. Ricavare la corrente i(t) per t > 0.

Con l'interruttore nella posizione 2 viene esclusa la serie del generatore di tensione e delresistore R₁, sicché il circuito che dobbiamo studiare è il seguente:

• E = 20V
• R₁ = 1kΩ
• R₂ = 1kΩ
• L = 1H

In primo luogo scriviamo le relazioni di lato dei componenti del circuito:

v₂(t) = R₂i(t)

v_L(t) = L ^di(t)⁄_dt

Applichiamo la LKT all'unica maglia del circuito:

v₂(t) + v_L(t) = 0

e sostituiamo le relazioni di lato:

R₂i(t) + L di(t)dt = 0

Otteniamo un’equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti omogenea. L’integrale generale di questa equazione è del tipo:

i(t) = Ae^λt

in cui λ è la soluzione dell’equazione caratteristica associata all’equazione e A è una costante legata alle condizioni iniziali del circuito (solo alle condizioni iniziali e non all’ingresso perché in questo caso non c’è azione forzante). Impostiamo l’equazione caratteristica:

R2 + Lλ = 0 → λ = -R2L

Per calcolare il valore della costante A dobbiamo determinare le condizioni iniziali del circuito, quindi il valore della corrente nell’induttore in t = 0⁺. Per determinare le condizioni iniziali possiamo riferirci al circuito a regime in t = 0^-.

Infatti in un circuito asintoticamente stabile in cui le sorgenti sono di forma d’onda costante, il regime è costituito da tensioni e correnti di lato di forma d’onda anch’esse costanti. Si ha quindi:

v_L(t) = L di_L(t)dt = 0 → cortocircuito

i_C(t) = C dv_C(t)dt = 0 → circuito – aperto

Il circuito in 0^- è allora il seguente:

R₁ t = 0^- R₂

+ - + -

1 2

L

E = 20V

R₁ = 1kΩ

R₂ = 1kΩ

è evidente che:

\(i(0^-) = \frac{E}{R_1 + R_2} = i(0) = i(0^+)\) (continuità della corrente sull'induttore)

A questo punto possiamo scrivere:

\(i(t) = A e^{-\frac{R_2}{L}}\) → \(i(0^+)\) = A = \(\frac{E}{R_1 + R_2}\)

In definitiva per \(t \gt 0\) la corrente ha l'andamento descritto dalla seguente equazione:

\(i(t) = \frac{E}{R_1 + R_2} e^{-\frac{R_2}{L}}\).

Sostituendo i valori otteniamo:

\(i(t) = \frac{20}{2000} e^{-1000t} = 0.01 e^{-1000t}\) A

i(t)[A]

Esercizio n°5.2

Nel circuito in figura

L'interruttore è chiuso per t < 0 e si apre in t = 0. Calcolare v_c(t) per t > 0.

Con l'interruttore aperto viene escluso il resistore R₂ sicchè il circuito che dobbiamo studiare è il seguente:

E = 10VR₁ = 4ΩR₂ = 2ΩR₃ = 6ΩR₄ = 3ΩC = 10μF

Scriviamo le relazioni di lato:

• v₁(t) = R₁i₁(t)
• v₃(t) = R₃i₃(t)
• v₄(t) = R₄i₄(t)
• i_C(t) = C ^dvc(t)⁄_dt

e le LK ai nodi e alle maglie:

{_{i1(t) = i3(t) + ic(t)i4(t) = ic(t)v1(t) + v3(t) = Ev3(t) = vc(t) + v4(t)}}

{_{i1(t) = i3(t) + ic(t)i4(t) = ic(t)R1i1(t) + R3i3(t) = ER3i3(t) = vc(t) + R4i4(t)}}

⇒ {_{i1(t) = i3(t) + ic(t)i4(t) = ic(t)R1i3(t) + R1ic(t) + R3i3(t) = ER3i3(t) = vc(t) + R4ic(t)}}

i₃(t) = ^{E - R₁i_c(t)}/_{R1 + R3}

R₃ ^{E - R₁i_c(t)}/_{R1 + R3} = v_c(t) + R₄i_c(t)

R₃E/_{R1 + R3} - R₃R₁i_c(t)/_{R1 + R3} = v_c(t) + R₄i_c(t)

R₃E/_{R1 + R3} = v_c(t) + R₄i_c(t) + R₃R₁i_c(t)/_{R1 + R3}

= v_c(t) + (^{R₄ + R₃R₁}/_{R1 + R3})i_c(t)

In definitiva la dinamica del circuito per t > 0 è governata dalla seguente equazione differenziale:

C(^{R₄ + R₃R₁}/_{R1 + R3})d_vc(t)/dt + v_c(t) = R₃E/_{R1 + R3}

la cui soluzione è del tipo:

v_c(t) = A_e^-1/st + v_c(t)

in cui il primo termine a secondo membro rappresenta l'integrale generale (la soluzione dell'omogenea associata), il secondo è l'integrale particolare. Per ricavare λ consideriamo l'equazione caratteristica:

C(^{R₄ + R₃R₁}/_{R1 + R3})λ + 1 = 0 → λ = ¹/_τ

* λ = ^-1/_τ ⟹ τ τ λλ

da cui:

_{τ = 54μs}

L’integrale particolare rappresenta una delle soluzioni della equazione differenziale e che può essere cercata nella stessa famiglia di funzioni a cui appartiene l’azione forzante. Possiamo quindi scrivere:

_{vc(t) = Ae^-t/τ + B}

Per calcolare il valore di B, sostituiamo l’espressione di v_c(t) nell’equazione differenziale:

_{C(R4 + ^R2R1/R1 + R3) dvc(t)/dt + vc(t) = ^R2E/R1 + R3 => B = ^R3E/R1 + R3 = ⁶⁰/10 = 6V}

A questo punto abbiamo:

_{vc(t) = Ae^-t/τ + 6}

Resta da calcolare la costante A e, a tale scopo esaminiamo la configurazione circuitale in t = 0⁻:

Scriviamo le LKT (maglia E-R₁-R₃ , maglia E-R₂-R₄ , maglia R₃-R₄ )

E = v₁(0^-) + v₃(0^-) = R₁i₁(0^-) + R₃i₃(0^-) = R₁i₁(0^-) + R₃i₁(0^-) => i₁(0^-) = ^E/_{R1 + R3} = ¹⁰/₁₀ = 1

E = v₂(0^-) + v₄(0^-) = R₂i₂(0^-) + R₄i₂(0^-) = R₂i₂(0^-) + R₄i₂(0^-) => i₂(0^-) = ^E/_{R2 + R4} = ¹⁰/₅ = 2

v_c(0^-) = R₃i₁(0^-) − R₄i₂(0^-) = 6*1 − 3*2 = 0V = v_c(0⁺) (continuità della tensione sul condensatore).

Imponiamo allora che in 0⁺ la tensione sul condensatore valga 0V:

v_c(t) = A e^-t/τ + 6

⇓

v_c(0⁺) = 0 = A + 6

⇓

A = -6

Si ha quindi:

v_c(t) = -6e^-t/τ + 6

con τ = 54μs.