Bipoli dinamici: teoria ed esercizi svolti

Bipoli dinamici

Appunti di Elettrotecnica 1

Il presente documento introduce e sviluppa in modo sistematico lo studio dei bipoli di-

namici fondamentali dell’elettrotecnica: il condensatore e l’induttore. A differenza dei bipoli

puramente resistivi, tali elementi sono caratterizzati dalla capacità di immagazzinare energia

rispettivamente nel campo elettrico e nel campo magnetico, determinando una dipendenza delle

grandezze circuitali dalla storia temporale del sistema. La loro presenza rende quindi neces-

sario affiancare agli strumenti dell’analisi algebrica anche un’impostazione differenziale, tipica

dei fenomeni dinamici.

Il condensatore viene descritto a partire dalla relazione costitutiva che lega corrente e ten-

sione tramite la derivata temporale, evidenziando il ruolo della capacità come parametro fisico

in grado di quantificare l’attitudine del componente ad accumulare carica. Particolare atten-

zione è dedicata alla continuità della tensione ai suoi capi e alle implicazioni che tale proprietà

comporta nello studio delle condizioni iniziali e dei transitori.

L’induttore viene introdotto in maniera duale, mediante la relazione che collega la tensione

alla variazione temporale della corrente. L’analisi mette in luce il significato dell’induttan-

za, la continuità della corrente che attraversa il componente e le conseguenze operative nella

determinazione dell’evoluzione temporale dei circuiti in cui esso è inserito.

L’obiettivo del documento è fornire una trattazione chiara e rigorosa dei principi teorici

che governano il comportamento di questi elementi, integrando la formalizzazione matematica

con esercizi svolti e applicazioni guidate. In questo modo il lettore potrà acquisire non solo la

comprensione dei modelli fisici, ma anche la padronanza degli strumenti operativi necessari per

affrontare con metodo la risoluzione dei circuiti dinamici.

Bipoli dinamici 1

I bipoli dinamici, o elementi reattivi, sono componenti circuitali in cui la relazione tra

tensione e corrente dipende dal tempo, ovvero dalla variazione delle grandezze elettriche. A

differenza dei resistori, che dissipano energia sotto forma di calore, i bipoli dinamici accumulano

energia e sono descritti da equazioni differenziali. I principali esempi sono il condensatore e

l’induttore. In particolare, il condensatore immagazzina energia sotto forma di campo elettrico.

È caratterizzato dalla capacità che rappresenta la quantità di carica accumulata per unità di

C

tensione. La corrente che lo attraversa è proporzionale alla variazione nel tempo della tensione

ai suoi capi.

L’induttore immagazzina energia sotto forma di campo magnetico. È descritto dall’indut-

tanza che misura la capacità di opporsi alle variazioni della corrente. In questo caso, la

L,

tensione ai suoi capi è proporzionale alla variazione nel tempo della corrente.

Essendo dispositivi che introducono una dipendenza temporale nel comportamento del cir-

cuito, i bipoli dinamici sono fondamentali nell’analisi del regime transitorio, nei circuiti in cor-

rente alternata e, più in generale, nello studio dei sistemi dinamici. La loro presenza determina

fenomeni come transizioni non istantanee delle grandezze elettriche.

Bipoli dinamici 2

Per quanto riguarda il condensatore, un condensatore lineare di capacità è un bipolo nel

C

quale la carica elettrica su un elettrodo è proporzionale alla tensione V tra i due elettrodi:

= ·

Q C V

Dove è la carica su un elettrodo (o armatura) del condensatore e è la tensione tra i

Q V

due elettrodi. Grazie alla carica si instaura un campo elettrico tra le due armature e

Q, E

tramite tale campo elettrico è possibile determinare il valore di capacità del condensatore.

C

Graficamente: V

Σ ϵ

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

Bipoli dinamici 3

Indicando con:

• la costante dielettrica del materiale che separa le due piastre del condensatore;

ϵ:

• il campo elettrico presente tra le due piastre;

E:

• il versore normale alla superficie (uscente);

n:

• Σ: la superficie che racchiude una piastra;

• : la carica accumulata in Σ;

Q

Σ

• il vettore che rappresenta densità di flusso, o spostamento elettrico ed è pari a: =

D

D:

·

ϵ E;

• la distanza tra le due piastre;

d:

Si ha:

S

V = =

=

= −→ · · ·

· dS ϵ V C V Q

ϵE ϵ

Q ndS Σ

Σ d d

Σ Σ

Da cui si ha quindi che la capacità di un condensatore è pari a:

S

= ·

C ϵ d

Il simbolo di un condensatore lineare tempo invariante di capacità è:

C

C

Nel (SI) la capacità si misura in (F):

Sistema Internazionale Farad

1C

1F = 1V

Una capacità di un Farad è molto grande. Nella maggior parte delle applicazioni si impiegano

sottomultipli del Farad.

Bipoli dinamici 4

I condensatori possono presentarsi composti di svariati materiali e differiscono a seconda

della tecnologia utilizzata per realizzarli. I materiali utilizzati per la costruzione dei condensa-

tori giocano un ruolo fondamentale nel determinarne le caratteristiche elettriche, le prestazioni

e l’ambito di utilizzo. I condensatori più comuni impiegano come dielettrico materiali come la

ceramica, la plastica, la carta impregnata, l’ossido di alluminio o di tantalio. Nei condensatori

ceramici, il dielettrico è costituito da strati di materiale ceramico ad alta costante dielettrica,

che permettono di ottenere capacità elevate in dimensioni contenute, ma presentano una certa

sensibilità alle variazioni di temperatura e tensione. I condensatori elettrolitici, invece, sfrut-

tano uno strato sottilissimo di ossido di alluminio o tantalio come dielettrico, consentendo di

realizzare capacità molto elevate; sono polari e devono essere collegati rispettando la polarità

indicata. I condensatori a film plastico impiegano materiali come il poliestere o il polipropilene:

questi offrono buona stabilità, basse perdite e ottima resistenza alle sovratensioni, risultando

ideali per applicazioni in corrente alternata o in circuiti di filtro. La scelta della tecnologia

costruttiva incide anche sulle dimensioni, sulla tensione di lavoro, sulla stabilità termica e sul-

la durata operativa del componente. Per questo motivo è importante selezionare il tipo di

condensatore più adatto in base ai requisiti del circuito in cui verrà impiegato.

Bipoli dinamici 5

La caratteristica statica di un cond