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8. Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio :

+∞ sin x dx

2

x + x +1

0

9. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri:

1 log(1 + x)

(a) dx

sin x

0

+∞ x

√ √

(b) dx

2

x 3 2x + 3

3 −

1 cos x

10. Data la funzione f (x) = , studiarne il comportamento nell’origine e determinarne la

2

x log(1 + x)

3

parte principale.

Studiare quindi la convergenza dell’ integrale improprio :

+∞ f (x) dx .

0 CORREZIONE

1. (a) Per definizione di integrale improprio:

+∞ t

x x

dx = lim dx

2 3 2 3

t→+∞

(x + 5) (x + 5)

1 1

Svolgiamo l’integrale indefinito:

x 1 − 3

· · 2

dx = + 5) dx =

2x (x 2

2

2 3

(x + 5) − 1

2

1 + 5) 1

(x 2 √

·

= + c = + c

− 12

2 2

x + 5

Dunque:

t

+∞ 1 1

x 1 1

√ √ √ √

− −

dx = lim = lim + =

2 2

2 3 6 6

x +5 t +5

t→+∞ t→+∞

(x + 5)

1 1

(b)

arctan x 1

2

arctan

dx = (arctan x)(arctan x) dx = x + c

2

1 + x 2

Pertanto:

+∞ t 2

arctan x arctan x 1 π

2

dx = lim dx = t 0 =

arctan

lim

2 2

1 + x 1+ x 2 8

t→+∞ t→+∞

0 0

(c) Calcoliamo l’integrale indefinito sfruttandone la linearità e la formula di integrazione per parti:

− −x − −x

53 53

3 4 3 4

x dx = x

(8 + x ) + 2xe (8 + x ) dx + 2 xe dx =

1 − −x

5

3 4

= 4x (8 + x ) dx + 2 xe dx =

3

4

− 23

4

1 ) 3

(8 + x 1

−x −x −x −x

−x · − − − · −

= + 2 e (−e ) dx = 2x e 2e + c

− 23

4 8 4 2

3 (8 + x )

Calcoliamo ora l’integrale improprio:

+∞ t

− −x − −x

5 5

3 4 3 4

x dx = lim x dx =

(8 + x ) + 2xe (8 + x ) + 2xe

3 3

t→+∞

0 0

3 3

1 1 3 67

−t

− − · ·

= lim 2 e (t + 1) + + 2 = +2= .

8 8 4 32 32

4 2

3

t→+∞ (8 + t ) t +1

−t

(Si ricordi che lim e (t + 1) = lim = 0, in quanto il denominatore ha ordine di infinito

t

e

t→+∞ t→+∞

superiore al numeratore). √ 2

(d) Per risolvere l’integrale indefinito, effettuiamo la sostituzione 2x = t , da cui 2x = t , e infine

dx = t dt .

Dunque:

1 1 1

√ ·

dx = 2x + c

t dt = dt = arctan t + c = arctan

2 2

t(t + 1) t +1

2x(2x + 1)

Passiamo ora al calcolo dell’ integrale improprio:

+∞ b

1 1

√ √

dx = lim dx =

2x(2x + 1) 2x(2x + 1)

b→+∞

1/2 1/2

√ b π π

π −

= lim arctan =

2x = lim [arctan 2b arctan 1] = 2 4 4

1

b→+∞ b→+∞

2

(e) Per calcolare l’integrale indefinito, dobbiamo risolvere un integrale di funzione razionale, il cui de-

nominatore è già scomposto nel prodotto di fattori irriducibili.

Ricorriamo alla decomposizione in fratti semplici.

9x + 8 A Bx + C

= + =

2 2

(x + 2)(x + 1) x +2 x +1

2 2

A(x (A + B)x

+ 1) + (Bx + C)(x + 2) + (2B + C)x + A + 2C

= =

2 2

(x + 2)(x + 1) (x + 2)(x + 1)

Uguagliando i polinomi a numeratore della prima e dell’ultima frazione, si ottiene il sistema:

  −2

 

A + B = 0 A =

⇐⇒

2B + C = 9 B = 2

 

A + 2C = 8 C = 5

Pertanto: −2

9x + 8 2x + 5

dx = + dx =

2 2

(x + 2)(x + 1) x + 2 x + 1

−2 −2

2x + 5 2x 5

= dx + dx = dx + dx + dx =

2 2 2

x +2 x +1 x +2 x +1 x +1

−2 |x −

2 2 2

= log + 2| + log(x + 1) + 5 arctan x + c = log(x + 1) log(x + 2) + 5 arctan x + c

Per il calcolo dell’ integrale improprio :

+∞ t

9x + 8 9x + 8

dx = lim dx =

2 2

(x + 2)(x + 1) (x + 2)(x + 1)

t→+∞

0 0

t

2 + 1

x

= lim + 5 arctan x =

log 2

(x + 2)

t→+∞ 0

2

t + 1 1

= lim log =

+ 5 arctan t log

2

(t + 2) 4

t→+∞ π 5π

= log 1 + 5 + log 4 = log 4 + .

2 2


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria del veicolo
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lara.vandini di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Modena e Reggio Emilia - Unimore o del prof Gavioli Andrea.

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