Esercizi sugli integrali generalizzati

INTEGRALI IMPROPRI

Esercizi svolti

1. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri:

+∞ x

(a) dx ;

2 3

(x + 5)

1

+∞ arctan x

(b) dx ;

2

1 + x

0

+∞ −5/3 −x

3 4

(c) x dx ;

8+ x + 2xe

0

+∞ 1

√

(d) dx ;

2x(2x + 1)

1/2

+∞ 9x + 8

(e) dx .

2

(x + 2)(x + 1)

0

2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:

1 1

dx .

|x|(x − 4)

−1 +∞ x

√ ∈

3. Calcolare dx per il più piccolo valore di n IN per cui l’integrale converge.

2 n

( x + 3)

2 +∞ 1

∈

4. (a) Determinare tutti i valori di a, b IR per i quali dx converge.

a b+1

x (4 + 9x)

0

+∞ 1

√

(b) Calcolare dx .

x(4 + 9x)

0

5. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri.

|x − − − − −

+∞ 2 2

2x 3| x 2x 3

(a) dx

α

x

0

−

5 1 3x

√

(b) dx

−

x 2

4 ∈

6. Determinare per quali α IR converge il seguente integrale improprio e calcolarlo per α = 0:

−

3 α

x[sin (x 2)]

√ dx

−

2

x 4

2 +∞ 1

∈

7. (a) Dire per quali valori di a IR converge dx .

− |x −

(x 2) 3|

a

(b) Calcolare l’integrale precedente per a = 6.

8. Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio :

+∞ sin x dx

2

x + x +1

0

9. Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri:

√

1 log(1 + x)

(a) dx

sin x

0

+∞ x

√ √

(b) dx

−

2

x 3 2x + 3

3 −

1 cos x

√

10. Data la funzione f (x) = , studiarne il comportamento nell’origine e determinarne la

2

x log(1 + x)

3

parte principale.

Studiare quindi la convergenza dell’ integrale improprio :

+∞ f (x) dx .

0 CORREZIONE

1. (a) Per definizione di integrale improprio:

+∞ t

x x

dx = lim dx

2 3 2 3

t→+∞

(x + 5) (x + 5)

1 1

Svolgiamo l’integrale indefinito:

x 1 − 3

· · 2

dx = + 5) dx =

2x (x 2

2

2 3

(x + 5) − 1

2

1 + 5) 1

(x 2 √

−

·

= + c = + c

− 12

2 2

x + 5

Dunque:

t

+∞ 1 1

x 1 1

√ √ √ √

− −

dx = lim = lim + =

2 2

2 3 6 6

x +5 t +5

t→+∞ t→+∞

(x + 5)

1 1

(b)

arctan x 1

2

arctan

dx = (arctan x)(arctan x) dx = x + c

2

1 + x 2

Pertanto:

+∞ t 2

arctan x arctan x 1 π

−

2

dx = lim dx = t 0 =

arctan

lim

2 2

1 + x 1+ x 2 8

t→+∞ t→+∞

0 0

(c) Calcoliamo l’integrale indefinito sfruttandone la linearità e la formula di integrazione per parti:

− −x − −x

53 53

3 4 3 4

x dx = x

(8 + x ) + 2xe (8 + x ) dx + 2 xe dx =

1 − −x

5

3 4

= 4x (8 + x ) dx + 2 xe dx =

3

4

− 23

4

1 ) 3

(8 + x 1

−x −x −x −x

−x · − − − · −

= + 2 e (−e ) dx = 2x e 2e + c

− 23

4 8 4 2

3 (8 + x )

Calcoliamo ora l’integrale improprio:

+∞ t

− −x − −x

5 5