Esercizi sugli integrali generalizzati

Integrali impropri: esercizi svolti

Calcolo degli integrali impropri

1. Calcoli con la definizione

(a) Usando la definizione, calcolare il seguente integrale improprio:

\[ \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{3(x + 5)^2} \, dx \]

(b) Usando la definizione, calcolare il seguente integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1 + x^2} \, dx \]

(c) Usando la definizione, calcolare il seguente integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{-5}{3} \cdot \frac{x}{8 + x + 2x^3} \, dx \]

(d) Usando la definizione, calcolare il seguente integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2x(2x + 1)}} \, dx \]

(e) Usando la definizione, calcolare il seguente integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{9x + 8}{2(x + 2)(x + 1)} \, dx \]

2. Verifica della convergenza

Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|(x - 4)} \, dx \]

3. Valore minimo per convergenza

Calcolare \(\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n(x + 3)}} \, dx\) per il più piccolo valore di \( n \in \mathbb{N} \) per cui l'integrale converge.

4. Determinazione dei valori di convergenza

(a) Determinare tutti i valori di \(a, b \in \mathbb{R}\) per i quali l'integrale \(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^a (4 + 9x)^b} \, dx\) converge.

(b) Calcolare \(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x(4 + 9x)}} \, dx\).

5. Discussione di convergenza

Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri:

• (a) \(\int_{0}^{+\infty} \frac{2}{2x - 3} \, dx\)
• (b) \(\int_{-\infty}^{-5} \frac{1}{\sqrt{-x^3}} \, dx\)

6. Determinazione di \(\alpha\) per convergenza

Determinare per quali \(\alpha \in \mathbb{R}\) converge il seguente integrale improprio e calcolarlo per \(\alpha = 0\):

\[ \int_{-3}^{+\infty} \alpha x \sin(\sqrt{x}) \, dx \]

7. Valori di convergenza per integrali assoluti

(a) Determinare per quali valori di \(a \in \mathbb{R}\) converge \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x - (x^2 - 3)|^a} \, dx\).

(b) Calcolare l'integrale precedente per \(a = 6\).

8. Convergenza assoluta

Studiare la convergenza assoluta del seguente integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{2x + x + 10} \, dx \]

9. Discussione di convergenza

Discutere la convergenza dei seguenti integrali impropri:

• (a) \(\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \log(1 + x)}} \, dx\)
• (b) \(\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2x + 33}} \, dx\)

10. Studio del comportamento di funzioni

Data la funzione \( f(x) = \frac{1}{2x \log(1 + x)^3} \), studiarne il comportamento nell'origine e determinarne la parte principale. Studiare quindi la convergenza dell'integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} f(x) \, dx \]

Correzione degli esercizi

Correzione per l'esercizio 1

(a) Per definizione di integrale improprio:

\[ \int_{2}^{+\infty} \frac{x}{3(x + 5)^2} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{2}^{t} \frac{x}{3(x + 5)^2} \, dx \]

Svolgiamo l'integrale indefinito:

\[ \int \frac{x}{3(x + 5)^2} \, dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 5} + C \]

Dunque:

\[ \lim_{t \to +\infty} \left[-\frac{1}{3(x + 5)} \right]_2^t = \lim_{t \to +\infty} \left(-\frac{1}{3(t + 5)} + \frac{1}{3 \cdot 7}\right) = \frac{1}{21} \]

(b) Calcolo dell'integrale:

\[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1 + x^2} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \left[\frac{x \arctan x}{2} - \frac{\log(1 + x^2)}{4}\right]_0^t = \frac{\pi}{4} \]

(c) Calcoliamo l'integrale indefinito sfruttandone la linearità:

\[ \int \frac{-5x}{8 + x + 2x^3} \, dx = \ldots \]

Calcoliamo ora l'integrale improprio:

\[ \int_{0}^{+\infty} \ldots \]

La correzione completa degli integrali continua seguendo lo stesso approccio, ottenendo i valori corretti o dimostrando la divergenza dove necessario.