DERIVATE SEMPLICI: DEFINIZIONE ED ESERCIZI.
La derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. È cioè la tangente trigonometrica dell’angolo formato dalla tangente in un punto con la curva di equazione y = f(x) e l’asse delle ascisse.
Se la derivata è uguale a 0, la retta tangente alla curva y - f(x) risulta parallela all’asse ascisse.
Se la derivata tendente tende ad un valore infinito, la retta tangente alla curva y = f(x) è parallela all’asse delle ordinate.
DEFINIZIONE
Sia f(x) una funzione reale e x0 un punto nel suo dominio. La derivata di f(x) in x0 è il numero f'(x0) uguale al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento, con l’ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Se l’incrementato diciamo che una funzione è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite
f'(x0) = limx→0 f(x0+h) - f(x0)/h
Derivate semplici: definizione ed esercizi
La derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. È cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione y=f(x) e l'asse delle ascisse.
Se la derivata è uguale a 0, la retta tangente alla curva y=f(x) risulta parallela all'asse ascisse.
Se la derivata tendente all'infinito, la retta tangente alla curva y=f(x) è parallela all'asse delle ordinate.
Definizione
Sia f(x) una funzione reale e x0 un punto nel suo dominio. La derivata di f(x) in x0 è il numero f'(x0) uguale al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, con l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Se f è incrementato diciamo che una funzione è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite
f'(x0) = limx→0 f(x0+h) - f(x0)/h
REGOLA DI DERIVAZIONE
DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
funzione funzione derivata f(x) = k f'(x) = 0 f(x) = xn, x ∈ R, n intero f'(x) = nxn-1, con x ≠ 0 se n intero < 0 f(x) = xp, x > 0, p ∈ R \ Z f'(x) = pxp-1, x > 0, p ∈ R \ Z f(x) = n√x, n intero positivo pari, x ≥ 0 f'(x) = 1/n x(1/n)-1, x > 0 f(x) = n√x, n intero positivo dispari, x ∈ R f'(x) = 1/n x(1/n)-1, x ≠ 0 f(x) = ax, a > 0 f'(x) = ax loge a f(x) = ex f'(x) = ex f(x) = loga(x), a > 0, a ≠ 1, x > 0 f'(x) = 1/x loge(a) f(x) = loge(x), x > 0 f'(x) = 1/x f(x) = loge(-x), x < 0 f'(x) = 1/x f(x) = loge|x|, x ≠ 0 f'(x) = 1/x f(x) = sen(x) f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x) f'(x) = -sen(x) f(x) = tg(x), x ∈ R - {π/2 + kπ : k ∈ Z} f'(x) = 1 + tg2(x) = 1/cos2(x), x ∈ R - {π/2 + kπ : k ∈ Z} f(x) = arcsen(x), x ∈ [-1,1] f'(x) = 1/√1-x2, x ∈ (-1,1) f(x) = arccos(x), x ∈ [-1,1] f'(x) = -1/√1-x2, x ∈ (-1,1) f(x) = arctg(x), x ∈ R f'(x) = 1/(1+x2), x ∈ RLa tabella descrive le derivate delle singole funzioni.
Andiamo ad illustrare le regole di derivazione.
Siano:
D [ f(x) ] = f ' (x)
D [ g(x) ] = g ' (x)
Regola della somma:
D [ a f(x) + b g(x) ] = a f ' (x) + b g ' (x) con a,b∈ℝ
Regola del prodotto:
D [ f(x) ⋅ g(x) ] = f ' (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g ' (x)
Regola del quoziente o del rapporto:
D [ f(x) / g(x) ] = ( f ' (x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g ' (x) ) / g(x)²
Regola della funzione inversa:
D [ f-1(y) ] = 1 / f ' (x) con y = f(x) , x = f-1(y)
Regola della catena:
D [ f( g(x) ) ] = f ' ( g(x) ) ⋅ g ' (x)
Regola della potenza:
D [ f(x)g(x) ] = f(x)g(x) [ g(x) ln(f(x)) + g ' (x) f ' (x) / f(x) ]
Teorema della funzione composta
Diamo solo la definizione, è più facile fare esercizicol teorema piuttosto che capirlo dalla teoria.
Consideriamo due funzioni reali y: R -> R, g: R -> R,che chiamano y = f(x), z = g(y).
Sia poi z un'altra funzione composta dalle precedenti.z = h(x) = g(f(x))
La regola è:
ĥ'(x) = g'(f(x)) · f'(x)
ESERCIZI:
1. f(x) = x5
f'(x) = 5·x4 δ = 20x4
Siamo nel caso f(xn) = xn → f' = n xn-1
Siamo nel caso f(x) - k → f' = 0
2. f(x) = (2x-2)3 + sen x
- è una funzione composta: Viene prima derivato come f(x) = xn, lasciando invariate l'argomento (2x-2) e poi moltiplicato per la derivata dell'argomento.
3 (2x-2)2 · (2-0)
- è una funzione elementare che troviamo in tabella: cos x
f'(x) = 3 (2x-2)2 · (2-0) + cos x
f'(x) = 6 (2x-2)2 + cos x
3.
Il mio consiglio è quello di riscrivere le radici come potenze. Possiamo infatti scrivere f(x) come:
f(x) = 5 ⋅ x1/2 + x1/3
La derivata di una somma è la somma delle derivate, quindi:
f'(x): 4 ⋅ 5 ⋅ x-1/2 + 1/3 ⋅ x-2/3
= 5/2 ⋅ x-1/2 + 4/3 ⋅ x-2/3
= 5/2 ⋅ 1/√x + 4/3 ⋅ 1/∛x2
= 5/2√x + 4/3∛x2
4.
Possiamo riscrivere come:
x3/2 / x3 = x-3/2 .
Alltimo quindi f(x) = x-3/2 - x3 + 1 / x2
f'(x) = -3/2 ⋅ x-5/2 - 3x2 - 2x
f'(x) = -3/2 ⋅ 1/√x - 3x2 - 2x = -3/2√x - 3x2 - 2x
5.
f(x) = 1 - cos2x
È una funzione composta: Prima però deriviamo come semplice potenza tenendo l'argomento invariato poi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento.
f'(x) = -2 cos x ⋅ -sin x = 2 cos x sin x
6.
f(x) = x ⋅ sin x
È la regola del prodotto, quella da applicare.
f'(x) = f1'(x1) ⨯ g(x) +f2'(x2) ⨯ f(x1) ⨯ g'(x)
= 4 x3 ⋅ sin2x + x ⋅ 2 sin x cos x
[la derivata di sin2x + composta molto simile all'esercizio 5]
7.
f(x) = x
(x3 + 2) g(x)
È la regola del quoziente.
f1'(x1) ⨯ g(x) + x ⋅ f2'(x2) ⋅ ⟨g'(x)⟩ =
= 5 x4 ⋅ (x3 + 2) - x5 ⋅ (3x2 + 2)
(x3 + 2)2
Svolgendo i calcoli:
5 x7 + 10 x4 - (3 x7 + 2 x5)----------------------------------- = ..... FUORI ARGOMENTO DERIVATE !
(x3 + 2)2
8.
f(x) = ex + x/ex - 5
d(x) f'(x)
g(x)
f(x): ex+1 ex5 ex+x ex5
d(x): ex ex-5 ex o_
f'(x)=e2x-5ex + ex-5e2x - x ex/ (ex - 5)2
f'(x)=-xex-5ex-5
(ex-5)2
9.
f(x)= [x2 + ln(x)][caten(x)]
f'(x)=2x + 1/x
g(x)=1/(1+x2)
d(x) 8(x) f'(x) 8'(x)
f'(x)=[2x + 1/x]:caten(x) + [x2 + ln(x) *: -2]/[x2 + ln(x)/ (4+x2)]
= 2x caten(x) + 1/x caten(x) + x2/(4+x2) +
ln(x)/(4+x2)
= 2 caten + x2/(4+x2) +
ln(x)/(4+x2) + 1/x caten x
= caten(x)[2 + 1/x] + x2 + ln(x)/ (4+x2)
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