Esercizi risolti di Teoria delle strutture

Esercizio 1 - Portale zoppo con forza applicata sulla trave orizzontale

Struttura con 2 possibili sezioni critiche con un grado di libertà

Impiego l'analisi incrementale per trovare il meccanismo ed il carico di collasso

Analisi elastica - 1° Step

Metodo dei telai

• Incognite: x, y, δ

Cond. di congruenza

Eq. di equilibrio

x_s      y_s      y_s      y₈——  + ——  + ——  +  ——  +  P8 = 02L      2L            L

Si risolve il sistema di 3 equazioni di 3 incognite da cui si ricavano i valori delle incognite:

xL    -  2xL     +  2yL    =  -      -      -           =  3εL      +  =    -      -      =        -      yL=52xL    -    -      zL6EI   +   3εI                 xL     +  yL    =   3ε6EI   +  8EI2L      yL    -   zL  +         =  xL    -        -  -6EI3EI3 ε    +    y   +  2PL     =  3y - 2PL

x   =    3y  -  2PL

δ= [(PL + 3δ ε - 2LP)×2L]^-2L2   [PL³][—-ε^{3 δ εL                      3δ²}]^-

δ= 9/2 + δ/2 = 2PL³/εI  -  2PL³/6EI

δ= 8/27 PL³/εI

y= PL/3 + 3δ ε /4L²  -  y=      PL/3 + 2/9^III I x=3y-2PL

x= PL/3

ESERCIZIO 5

Determinare tramite analisi incrementale e analisi limite il carico critico di collasso e il meccanismo plastico della struttura in figura. Si assume che la struttura si dica avere resistenze corrette in tutte le sezioni.

7 gdl6 gdl

volta iperstatica

collasso con la formazione di due cerniere plastiche

ANALISI INCREMENTALE

ANALISI ELASTICA - 1^o STEP

CONVENZIONE:

METODO DEI TELAI

INCOGNITE: X, Y, s

Y’_B = Y’’_B{

X_B = 0

XL/3EI

P(2L)²/16EI

ESERCIZIO 2

SIMILE ESAME 3/2/2000

Determinare tramite analisi incrementale e analisi limite il carico critico di collasso e il limite elastico della statica.

• 5 gradi di libertà
• 3 gradi di libertà

2 volte iperstatica

Collasso con la formazione di 3 cerniere plastiche

ANALISI INCREMENTALE

ANALISI ELASTICA - 1^o STEP

Metodo dei telai

Incognite: X, Y, Z, δ

_PB = _PB^I

_PL = _PL^I

_PN = 0

_PNT = 0

_PB = _PB^I = ^X2L/_3EI

^2P(2L)2/_16EI

^2Y/_3EI

^2Y/_3EI

^Y/_3EI - ^ZL/_6EI = -^δ/_L

2P

11/8 PL - 7/16 M_F

2F (2L/4) = PL

5/8 PL - 9/16 M_F = 5/16 PL

M_E = PL + 5/16 PL = 3/32 PL

M_F = PL

11/8 PL - 7/16 M_F = 11/16 PL

7/32 M_F = 10/16 PL

- 2/32

- 5/8 PL = M_F

- 5/16 M_F - 7/16 = 3/16 => M_F

M_E = PL

M_E = 17/16 M_F

P = 17/10 L

ANALISI ELASTICA - 3^o STEP

2P

METODO DEI TELAI

INCOGNITE : X Y

{

P_B = P^W_B

X_W = 0

}

XL/3EI = 2XL/3EI + M_F2L/6EI + 2P(2L)²/16 EI_E

- X/L + 2P/8 - 5/8 M_F/L + M_F/8L = 0

X = 2PL - 2P_F

2PL²/EI - 2PL²/EI - 5/L PL²/2EI = -5/L

- 5/PL

5/L 5PL²/2EI = 5/L 6PL² - 7M_L/3EI

Limite elastico

Mmax = M_e → PL = Pe → P_f = ^Pe/_L

Formazione cerniera Mmax = M_p → P_inf = ^M_r/_L

S_up(Π₁) = ^5L/_18EI; ^5L2/_9EI = ^5P_fL2/_9EI

S_up(Π₂) = ^7L/_9EI; ^7L2/_9EI = ^7G_fL2/_9EI

Analisi elastica

2^o Step

Metodo dei telai

Incognite: X, Y, α₁, α₂

• φ_ΠB = γ_ΠB = ^-M_pL/_6EI + ^2XL/_6EI + ^YL/_3EI = ^δ₁/_L - ^δ₂/_L
• y_aero = 0 → ^-M_pL/_6EI + ^2XL/_6ETI + ^YL/_3ETI + X + Y + ρP_f = 0
• ψ_ΙC = -γ_ΠC → +^XL/_3EI - ^YL/_3EI + ^s₁/_L = ^YL/_3EI + ^δ₂/_L
• y_aero = 0 → X - ^XL/_L - Y - ^Y/_L + ρP_f = 0

• ^-M_pL/_6EI + ^2XL/_6EI + ^YL/_3EI = ^δ₁/_L - ^δ₂/_L
• Y = M_p + 2X - PL → Y_i = M_p + 2PL - ⁴/₃ M_r -PL → Y = PL - ²/₃ M_r
• X + ^2Y/_L - PL → X = 2M_p + 4X - 2PL - PL → 13X = 3PL - 2M_r

X = PL - ²/₃ M_r

• MpL/6EI + 2PL2/9EI + 6PL2/8EI = -MPL/18EI = δ2/L - s1/L
• PL2 2mPL2/GET + 2PL/3EI = s1/L + 2δ2/L