Esercizi risolti di Teoria delle strutture

Esercizio 1 - Portale zoppo con forza applicata sulla trave orizzontale

L2L4 gdr3 gdll = 1. Struttura con 2 possibili sezioni critiche con un grado di libertà. Collasso con la formazione di 2 cerniere plastiche. Impiego l'analisi incrementale per trovare il meccanismo ed il carico di collasso.

Analisi elastica - 1^o step

Convenzione: Metodo dei telai. Incognite: X, Y, δ. Condizione di convergenza e equazioni di equilibrio:

• B'XC' C"YYδAXXL / 3EIXX2L / 3EIYY2L / 6EI
• _Pφ_B = _Pψ_BXL / 3EI = 2XL / 3EI - 2YL / 6EI - δ / 2LX2XL / 6EIYY2L / 3EI- δ / 2LY- s / ZLy2xL / 6EI2YL / 3EIqqy- s / 2LY / 3EI- S / L

Esercizio 1 - Portale zoppo con forza applicata sulla trave orizzontale

PL2LL4 gdl3 gdl→ l=1. Struttura con 2 possibili sezioni critiche con un grado di iperstaticità. Collasso con l_p formazione di 2 cerniere plastiche. Impiego l'analisi incrementale per trovare il meccanismo ed il carico di collasso.

Analisi elastica - 1^° step

PB' C' C''A B' X Y Y DXδ. Convenzione: Metodo dei telai. Incognite: X, Y, δ. Condizione di convergenza e equazioni di equilibrio:

• XXL_3EI→=X2L_3EIY2L_6EIXL_3EI=2XL_3EI-2Y L_6EIδ2LXY_2L2XL_6EIXY2L_3EIδ_2LYY2L_6EI2XL_6EI2YL_3EIδ_2L= Y − YL_3EI + δ_LXY_L

Scansionato con CamScannerx_s - y_s y₈

Si risolve il sistema di 3 equazioni di 3 incognite da cui si ricavano i valori delle incognite:

• x_L - 2x_L 2y_L m 3e_L s(3y - 2PL) L - y_L - s → δ = -EI 3EI 2L EI3 3EIy_L - (3y - 2PL) L + 3 δ → y = -EI 3EI 2 3 EI5_Lx = 3y - 2PL→ →δ = [(PL + 9 δ EI - 2PL) -2L²EI 3(4L² - 3δEI)3EI5y = -y + 2 PL + 35 EI 3 21 t→ y = PL + 35EI 3 4L²
• → →δ = -EI → δ = - 8 PL EI 8 PL³y = PL + 35EI 3 4L² → y PL + ( + PL) 3 27 EI EIEIx = 3y - 2PL → = 8 PL EI → = 9 - 24 EIY = 5 9 PLx = 5(3 - 2PL)

Una volta ricavati i valori delle incognite iperstatiche e dello spostamento, si riportano sulla struttura reticolare associata. Infatti, conoscendo tutti i momenti è possibile disegnare il diagramma del momento.

Limite elastico

M_max = M_e → 5/9 PL = M_e → 9/5 M_e/L

Formazione 1^a cerniera plastica

M_max = M_p → 5/9 PL = M_p → 9/5 M_p/L

Poiché si conosce lo spostamento δ, è possibile calcolare anche lo spostamento δ_fp in corrispondenza della prima cerniera:

δ_fp = 8/27 EI → δ_fp = 8/27I3 EI = 8/15 Mp L2 EI

Analisi elastica - 2° step

Convenzione: Metodo dei telai. Incognite: X δ{ φ^BX = Y^B δ_MR = 0 }φ_b = φ_β∑m_e = 0{⧠_XL^L3EIΞ {X XL = X2L3EI 3EI 3EI 2M_pL6El - δ =82 L M_p2 L M_pL + PsL - 0({XL + PX = -34⧠_XL^L3.6EI⧠subs =3⧠ε2L3 M_p2L P2L = 0- X = - 3 M_p2L{"( -Xm_p-2PL)L = M_p