Esercizi Esame svolti vibrazioni

Esercizio CI₀

2.5 kg/m²m = 10 kg
L = 0.3 m
A = 0.4 m
B = 0.8 m
K_B = 10000 N/m

Calcolo di K_A

Si determini K_A affinché la f_n del sistema sia di 10 Hz.

f_M = w_m / 2π = 10 Hz
w_m = f_m · 2π = 62.83185 rad/sec
w_m = √(K / I)
I = I₀ + (m · L²) = 2.5 + (10 · 0.3²) = 3.4

K_eq = (K_A · A²) + (K_B · B²)
w²m = K_eq / I
w²m = ((K_A · A²) + (K_B · B²)) / 3.4

K_A · A² / 3.4 + K_B · B² / 3.4
K_A = 3.4 / A² (−K_B · B² / 3.4 + w²m²)
K_A = 43.884 − 1.6 N/m

Esercizio 1

CI₀ = 2.5 kg/m²m = 10 kg
L = 0.3 m
A = 0.4 m
B = 0.8 m
K_B = 10000 N/m

Determinazione di K_A

Si determini K_A affinché la f_m del sistema sia di 10 Hz.

f_M = ω_M / 2π = 10 Hz
ω_M = f_M · 2π = 62.83185 rad/sec
ω_M = √(K / I)
I = I₀ + (m · L²) = 2.5 + (10 · 0.3²) = 3.4 kg/m²

K_eq = (K_A · A²) + (K_B · B²)
ω_M² = K_eq / I
ω_M² = [(K_A · A²) + (K_B · B²)] / 3.4

ω_M² = K_A · A² / 3.4 + K_B · B² / 3.4 = K_A - (K_B · B² / 3.4) + ω_M²
K_A = 43.8841.6 N/m

Legge del moto per vibrazioni armoniche

H = 20 N.m
Wmax = 2 Wm
W = 2 × 62.83 + 85 = 125.66 rad/s
Θ(t) = Θ_m1 · cos (Wt)
Θ_mass = ^Mo/_kdt = ²⁰/_134272.056 −1.4930084 × 10^-3
K_eff = (KA · A²) + (KB · B²) = 134272.056
Θ(t) = −0.0014930084 · cos (125.66 t)

Esercizio C05/09/2004

I = 4 kgm²
Kt1 = 75000 Nm/rad

Calcolo di Kt2

Per avere ωn = 100 rad/sec
ωn = ^√Kt2/_I
ωn² = ^Kt/_I
Kt = ωn² ⋅ I1 = 100² ⋅ 4 = 40000 Nm/rad

¹/_Kt = ¹/_Kt1 + ¹/_Kt2
¹/_Rt = ¹/_Kt1 + ¹/_Kt2
Kt2 = ^{Kt1 ⋅ Kt}/_{Kt1 - Kt}
¹/_Kt2 = ¹/_Rt - ¹/_Kt1
Rt2 = ^{Kt ⋅ Kt1}/_{Kt1 - Kt} = ^{40000 ⋅ 75000}/_{75000 - 40000} = 85714.28

Legge del moto Θ(t)

Nel caso avere momento iniziante t=0
Θ₀ = 0.1²⁰ √0.001 rad/s
Θ₀ cos (ω_nt) + ^Θ̇/_(ωn) sen (ω_nt)
Θ₀ = 0.2 , ¹/₁₈₀ = 3.480 × 10^-3 rad × 10^-3 rad
3.48×10^-3 cos (100 t) + 10^-5 sen (100 t)

Calcoli ulteriori

I = 4 kg m²
K_t1 = 75000 N mm/rad
W_m = 100 rad/s
W_m = √(K_eq / I)

ω_m² = K_eq / I
K_eq = (1 / (1 / K_t1 + 1 / K_t2)) = K_eq = ω_m² I = 40000 N/m
1 / K_eq = 1 / K_t1 + (1 / K_t2)(1 / K_eq - 1 / K_t1) = 1 / K_t2

K_t2 = 85⁵ 716,2857 N/m
K_t2 = 1 / (1 / K_eq - 1 / K_t1)

Legge del moto

θ_t = θ₀ cos (ω_mt) + (θ₀ / ω_m) sen (ω_mt)
0.03430 · cos (100t) + 0.001 / 100 · sen (100t)
θ(t) = θ_M · cos (ω t) (t≥0).
1 / K_eq = θ₀ / 40000= 1 - (120 / 100)² = -5.6818 × 10^-4

Esercizio CI_o1

CI_o1 = 0.8 Kg.m²
m₂ = 3.0 Kg
I_o3 = 2.5 Kg.m²
I_o4 = 0.16 Kg.m²
R₃ = 0.145 m
R₄ = 0.108 m
d₂ = 0.12 m
k = 200000 N/m

3 Hz
W_m = f · 2^π = 18.8495
W_m = √(K.d²/I)
I₁ = I_o1 + (m.d²) + I_o3.r₃₁² + I_o4.r₄₃²0.8 + (3 · 0.12²) + (2.5 · 1) + 0.16 · 1.34375²

W₄/W₃ = R₃/R₄= 5.455.6033
I · W_m² / K = d⁴ = 0.048390
151.5 kg.(0.12 - 1.5) = x = 0.092.029/02/2011

Calcolo per K_A

I₀ = 2.5 kg_f/m²
m = 10 kg
L = 0.13 m
A = 0.14 m
B = 0.18 m
K_B = 10000 N/m
K_A?
K_eq = (K_A·A²) + (K_B·B²)

f_N = 10 Hz
ω_m = √(K_eq·a²/I)
I = I₀ + (m·L²) = 3.6 kg_f/m²
ω_m² = K_eq/I
K_eq = ω_m²·I = 13421.87 N/m

K_eq = (K_A·A²) + (K_B·B²)
K_eq - (K_B·B²) = _A²

Determinazione di K_A

K_A = 43886.68 N/m

Legge del moto: ampiezza

Ampiezza = 20 N.m
ω = 2 ω_m
Θ(t) = Θ_M + cos(ωt)
ω = 2 ⋅ 62.83 = 125.166 rad/s
Θ_M = ^M⁄_Req = −61.36 7251 × 10^-4
1 − [(ω)⁄(ω_m)]²

Θ(t) = 0.0006432 + cos(125166 t)
K1 = 10000 N/m
K3 = 15000m = 8.0 kg
WM = 60 rad/s

Calcolo di Req

WM = Req = (₁⁄_{K1 + K2} + ₁⁄_K3)
= ₁⁄_Req = ₁⁄_{K1 + K2} + ₁⁄_K3
1⁄_Req - ₁⁄_K3 = ₁⁄_{K2 + K2}

-K1 + ₁⁄_Req - ₁⁄_K3WM² = _Kep⁄_M
Kep = WM²・M = 12800

Determinazione di K2

K2 = −10000 +₁⁄₁₂₈₀₀ + ₁⁄_K3

Legge del moto: X(t)

X(t) = X_l · cos (ωt)
X_l = 0.0002 m
X = F_o / k_eq
   (1 - (ω / ω_n)²)

k_eq(X_l · (1 - (ω / ω_n)²)) = F_o
0.0002 · (1 - (30 / 60)²)) = 1.12 N

Determinazione di C₃ e ζ

C₃ζ = 0.05
C = 0.05 (2ϖ√28800 · 8) = 32 N_m /s

Calcolo dell'armstrong

W = J N_m /s
EXCm = ?
M = 0.4 kg
ω_m = 100 rad/sec
Ω_m = 80 rad/sec
ω_m = √(K/m)
Ω_m = √(K/m+M)

w_m² = K/m
Ω_m² = K/m+M
K = ω_m² · m
K = Ω_m² · (m+M)

Ω_m² = ω_m² · m/m+M
Ω_m² m + Ω² M = ω² m
Ω² m - ω² m = − Ω² M
m = − Ω² M / (Ω² - ω²) = − 80² · 0.4 / (80² - 100²) = 1.6

K = 100² · 1.6 = 16000 N/m