Esercizi equazioni differenziali

6)

y" + 2y' + 3y = 0 , y(0)=1, y'(0)

• equazione riemente caratteristica

t² + 2t + 3 = 0

t_1,2 = -2 ± _N(2 -12)

t₁ = -1 - i√2

t₂ = -1 - i√2

y₁(x) = C₁ e^(-1+i√2)x

y₂(x) = C₂ e^(-1-i√2)x

• la soluzione generale sarà

y(x) = y₁(x) + y₂(x) = C₁ e^(-1+i√2)x + C₂ e^(-1-i√2)x

• per l'identità di Eulero:

e^{α + iβ} = e^αcos(β) + i e^αsin(β)

1. y₁(x) = C₁ e^-x cos(√2 x) + C₂ e^-x sin (√2 x)
2. y'₁(x) = -C₁ e^-x cos(√2 x) + √2 C₁e^-x • (-sin(√2 x)) +
3. - C₂ e^-x sin (√2 x) + C₂ e^-x cos (√2 x) • √2

= -C₁ e^-x cos(√2 x) - C₁ √2 e^-x • (sin(√2 x)) +

- C₂ e^-x sin (√2 x) + C₂ √2 • e^-x cos (√2 x) =