Esercizi equazioni differenziali

Equazione differenziale e soluzione

Problema iniziale

L'equazione differenziale data è: 6y^'' + 2y^' + 3y = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y^'(0) = 0.

Equazione ausiliaria

L'equazione algebrica ausiliaria corrispondente è: t² + 2t + 3 = 0.

Soluzione dell'equazione ausiliaria

Gli zeri dell'equazione sono calcolati come segue:

• t_1,2 = -2 ± √(4 - 12) / 2
• = -2 / 2 ± 2√2 i / 2
• = -1 ± i √2

Quindi, gli zeri sono:

• t₁ = -1 + i √2
• t₂ = -1 - i √2

Soluzione generale

La soluzione generale dell'equazione differenziale è: y(x) = y₁(x) + y₂(x) = C₁ e^{(-1 + i √2)x} + C₂ e^{(-1 - i √2)x}.

Identità di Eulero

Usando l'identità di Eulero: e^{α + i β} = e^α cos(β) + i e^α sin(β),

Soluzione espressa in termini di funzioni trigonometriche

La soluzione diventa:

1. y_c(x) = C₁ e^-x cos(√2 x) + C₂ e^-x sin(√2 x)

Derivata della soluzione

La derivata della soluzione complessa y_c(x) è:

2. y'_c(x) = -C₁ e^-x cos(√2 x) + C₁ √2 e^-x (- sin(√2 x)) + [ - C₂ e^-x sin(√2 x) + C₂ e^-x cos(√2 x)]√2

Equazione lineare ordinaria

Ancora, tornando all'equazione lineare: 6y^'' + 2y^' + 3y = 0, con y(0) = 1 e y^'(0) = 0.

L'equazione ausiliaria è: t² + 2t + 3 = 0.

Risultati della soluzione ausiliaria

Calcolando gli zeri:

• t_1,2 = ^{-2 ± √(-12)}/₂ = ^-2/₂ ± ^{2√2 i}/₂
• = -1 ± i√2

Gli zeri dell'equazione sono:

• t₁ = -1 + i√2
• t₂ = -1 - i√2

Soluzione generale finale

Quindi, la soluzione generale è: y(x) = y₁(x) + y₂(x) = C₁ e^(-1+i√2)x + C₂ e^(-1-i√2)x.

Per l'identità di Eulero: e^α+iβ = e^αcos(β) + i e^αsin(β).

Soluzione finale espressa in termini di funzioni trigonometriche

1. y_G(x) = C₁ e^-xcos(√2 x) + C₂ e^-xsin(√2 x)

Derivata della soluzione finale

1. y'_G(x) = -C₁ e^-x cos(√2 x) + √2 C₁ e^-x(-sin(√2 x)) +

[-C₂ e^-xsin(√2 x) + C₂ e^-xcos(√2 x)√2]

= -C₁ e^-xcos(√2 x) - √2 C₁ e^-x(sin(√2 x))- C₂ e^-xsin(√2 x) + C₂ √2 e^-xcos(√2 x)