Esercizi, Equazioni Differenziali secondo ordine

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 2^o ORDINE

A COEFFICIENTI COSTANTI

ay''(t) + by'(t) + cy(t) = 0   a, b, c ∈ ℝ   a ≠ 0

equazione caratteristica:

P(λ) = aλ² + bλ + c   P(λ) = 0

1. Δ > 0:   λ₁, λ₂   reali distinti y_o(t) = c₁ e^λ₁t + c₂ e^λ₂t
2. Δ = 0:   λ = λ₂   →   y_o(t) = c₁ e^λ₁t + c₂ t e^λ₁t
3. Δ < 0:   λ_1,2   complesse coniugate   λ_1,2 = α ± iβ y_o(t) = e^αt(c₁ cos βt + c₂ sen βt)

NON OMOGENEA (Metodo di Somiglianza)

ay''(t) + by'(t) + cy(t) = f(t)

A). f(t) è un polinomio   y(t) = y_o(t) + y_p(t)

cerco una soluzione particolare del tipo y(t)= p(t) (polinomio dello stesso grado di f, se c ≠ 0)

Se c = 0,   b ≠ 0 :   y_p(t) = tP(t)

Se c = 0,   b = 0 :   y_p(t) = t²P(t)

Es. Risolvere il problema di Cauchy:

y''(t) - 4y = t - 1 y(0) = 1 y'(0) = 0

Risolvere l'omogenea associata:

y'' - 4y = 0 p(λ) = λ² - 4, λ² - 4 = 0 → λ = ±2

y_o = C₁ e^2t + C₂ e^-2t

Cerco una soluzione particolare del tipo:

y_p(t) = at + b y'_p(t) = a y''_p(t) = 0

0 - 4(at + b) = t - 1 -4at - 4b = t - 1

{ -4a = 1 → a = -¹⁄₄ } { -4b = -1 → b = ¹⁄₄ }

L'integrale generale dell'equazione è:

y(t) = y_o(t) + y_p(t) = C₁ e^2t + C₂ e^-2t - ¹⁄₄ t + ¹⁄₄

1 = y(0) = C₁ + C₂ + ¹⁄₄ → C₁ + C₂ = ³⁄₄ y'(t) = 2C₁ e^2t - 2C₂ e^-2t - ¹⁄₄

0 = y'(0) = 2C₁ - 2C₂ - ¹⁄₄ → 2C₁ - 2C₂ = ¹⁄₄

C₁ = ⁷⁄₁₆ C₂ = ⁵⁄₁₆

Sol. P. Cauchy y(t) = ⁷⁄₁₆ e^2t + ⁵⁄₁₆ e^-2t - ¹⁄₄ t + ¹⁄₄

(es. da esame) risolvere il problema di Cauchy:

3y^'' + 8y^' + 4y = e^-t + e^πt

y(0) = 1

y^'(0) = 4

Omogenea:

3y^'' + 8y^' + 4y = 0

3λ² + 8λ + 4 = 0

λ_1,2 = ^{-4 ± √(16 - 12)} / ₃ =

y_o(t) = c₁ e^-2t + c₂ e^{2/3 t}

Soluzione particolare:

y_p(t) = ae^-t + bcos t + csin t

y_p^'(t) = -ae^-t - bsin t + ccos t

y_p^''(t) = ae^-t - bcos t - csin t

Sostituendo:

3ae^-t - 3bcos t - 3csin t - 8ae^-t - 8bcos t + 8csin t + 4ae^-t + 4bcos t + 4csin t = e^-t + e^πt

{  - a = 1  C - 8b = 1  b + 8c = 0}

{  a = -1  b = -⁸/₆₅  c = ¹/₆₅}

Int. gen.: y(t) = y_o(t) + y_p(t)

= c₁ e^2t + c₂ e^{2/3 t} - e^-t - ⁸/₆₅ cos t + ¹/₆₅ sin t

es (caso I)

\[ x' = x + 2y \]

\[ y' = -x + 4y \]

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \]

\[ P_A(\lambda) = \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -1 & 4 - \lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

\[ P_A(\lambda) = 0 \Longleftrightarrow \lambda_{1,2} = \begin{cases} 3 \ (\lambda_1) \\ 2 \ (\lambda_2) \end{cases} \]

\[ V_{\lambda_1}: \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ -a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2b \]

\[ \{ \begin{aligned} a &= 2t \\ b &= t \end{aligned} \Rightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ W_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ V_{\lambda_2}: \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ -a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = b \]

\{ \begin{aligned} a &= t \\ b &= t \end{aligned} \Rightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ W_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ u_1(t) = e^{\lambda_1 t} W_1 = e^{2t} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ u_2(t) = e^{\lambda_2 t} W_2 = e^{3t} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ u(t) = c_1 \begin{bmatrix} 2 e^{2t} \\ e^{2t} \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} e^{3t} \\ e^{3t} \end{bmatrix} \]

\[ \Rightarrow \begin{cases} x(t) = 2c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t} \\ y(t) = c_1 e^{2t} + c_2 e^{3t} \end{cases} \]