Esercizi e teoria | Block Notes Algebra

Matrici e sistemi lineari

Generatori, basi e sottospazi

Applicazioni lineari:

Immagini e controimmagini di vettori e sottospazi

Operazioni con le applicazioni lineari:

Autovalori, autovettori, autospazi

Applicazioni lineari sotto condizioni;

Restrizioni ed estensioni di app. lineari

Prodotto scalare

Prodotto A.B

A =

B =

4x3

3x2

Il prodotto si può fare in quanto le colonne di A sono uguali

al numero di colonne di B.

A·B =

=

27 GENNAIO 2019

Si consideri l'app. lineare ϕ_h : ℝ⁴ → ℝ⁴ la cui matrice associata rispetto

alle basi canoniche è

M = 1 0 3 -1 1 0 2 -1 1 0 -1 h 5-h | , h ∊ ℝ. 0 1 -2 1

1) Sistema minimale di equazioni cartesiane per ker ϕ_h = Im ϕ_h al variare di h.

M ≃ 1 0 3 -1 0 2 -4 2 0 -1 h 5-h 0 1 -2 1

R₂ - R₃ ≃ 1 0 3 -1 0 2 -4 2 0 0 h-8 8-h 0 0 0 0

quindi M ha rk (M) = 3 per h ≠ 8.

h ≠ 8 rk (M) = 3 = dim Im ϕ_h , Im ϕ_h = {(1,1,2,0), (0,2,-1,1), (3,1/h²,

dim ker ϕ_h = dim ℝ⁴ - dim rk (M) = 4 - 3 = 1

ker ϕ_h = { (x,y,z,t) ∊ ℝ⁴ | x + 3z - t = 0, y - 2z + t = 0, (h+8)z + (8-h)t = 0 }

x + 3z - t = 0

y - 2z + t = 0

(h+8)z + (8-h)t = 0

{ x + 3z - t = 0 { x = -z t y - 2z + t = o y = t z - t = o z = t

L = (-z t, t t, t ) = L = (-2, 1, 2, 1) per h ≠ 8.

eq cartesiana: calcoliamo il determinante di A = Im ϕ_h + (x, y, z, t)

A = 1 1 2 0 { -x 1 2 0 + y 1 2 0 | -z 1 0 0 + t 1 1 2 0 2 -1 1 = 0 2 -1 1 0 1 1 0 0 2 -1 3 -1 h - 2 -1 h -2 3 h -2 3 -1 -2 3 -1 h (x, y, z, t) → -x ( 2-z + h + t) + y (2 + 6 + h) - z (-4 + 3x + t) + t (zh - 3θ - 12) - 12 - θ hx - 8x + 8y - hy + 2 ht - 16 t

Adesso scegliamo la seguente base di R⁴

V₂ = (1,0,0,0) V₂ = (0,1,0,0) V₃ = (-4,2,2,1,2) V₄ = (-2,1,1,1) ChKf₂

E sia B’ = (V₂,V₂,V₃,V₄). Si ha che

• f₂ (V₁) = (1,2,2,0,3) = 3,V₄ + V₃ + 3V₄
• f₂ (V₂) = 2,V₂ + V₃ - 2V₄
• f₂ (V₃) = V₃
• f₂ (V₄) = 0

M^F₂

= >

• f₂ (U F₂)
• =>
• =>

Il polinomio P(t) di M^F₂ è p(t) = (3-t)(2-t)(1-t)(-t)

Abbiamo 4 radici R⁴ E Distinti tra loro

Dunque f₂ è diagonolizzabile.

1. Determinare f₃ (Imf_h) al variare di h.
• h=8 => f_∂(Imf_∂) = f_∂ ( kerf_∂⊕ Imf_∂) = f_∂(Imf⁸) = Imf_∂
• h≠8 => Imf₈ ⊂ Imf_h
• f_∂(Imf_{[])⊂ f∂(Imfh)⊂ fh(Imf9) = >}
• => f₃(Im f_h) = f₈(Im f_[]) = Im f_∂

Svolgimento:

4) sia V < Φ passante per A (2,1,0).

- Impoiniamo a Φ il passaggio per A (2,1,0):

λ(2+0)(2+0-1) + μ = 0 → 2λ + μ = 0

μ = -2

λ = 1

quindi

{  x - 2y - 3z = 0 1(2y + z + z) (2y + z -4) -z -z = 0 }

→ { x - 2y - 3z = 0 (2y + z + z)(2y + z - 4) -z = 0 }

→ { (y + 2z) (2y + z -1) -1 = 0 }

LA QUADRICA Q₀: (y+2z)(2y+z) - y -2z + 1 = 0

cilindro iperbolico

Q_∞ (4,0,0,0).

SOMMIAMO ALL’EQUAZIONE DI Q₀ un multiplo di :

P₁ + 2(x -2y -3z) = 0

Q contiene &emph; ha la conica all’infinito riducibile.

VEDIAMO SE NON è DEGENERANTE:

B = ⎡ 0   0   0   1 ⎤ ⎢ 0   2   5/2 -5/2 ⎥ ⎢ 0   5/2   2 - 4 ⎥ ⎣ 1   -5/2   -4 -1 ⎦

→ det |B| &neq; 0 ⟩

Quindi Q è una paraboloide iperbolico &emph;.

Ottobre 2012

Si consideri la matrice:

A = [_{1 0 1}[0 1 0]

e siano V = {x ∈ ℝ³ | Ax ∈ ℒ(I)} col U = {x ∈ ℝ³ | Ax = 0}

dove I è la matrice identità in ℝ².

1. Calcolare le dimensioni di V e di U.
2. Determinare una base di V che estenda una base di U.

U = Ax = 0 A = [_{1 0 1}[0 1 0] X = [a b]      [c d]

Ax = [a+e b+f]     [c d]

quindi: a=e, b=f, c=0, d=0

Sostituisco in X, [-e -f] [Soo 0] = [0 0]    [eo f]    [0 0] = [-e -f]    [0 0]    [e f] U ∈ℝ^3,2 dim U=2

V = Ax ∈ ℒ[I] [_{a+ec b+fp}] [c d] ∈ ℒ[I] _{a+e=c d}=[ _{1 0 0}]                 [_{0 1 0}]                 [_{0 0 1}]

quindi, per e alla comb. lin. d = α d=x-c b+fp=0 b=-f c=0 c=0

quindi, la sostituisco matr. 3×2 → 3×2 [a b] [c d] → [x-e f] [e f] [e f] → ora scrivo la base: Basi per V:

ℒ = { [_{-1 0 1}] [_{0 -1 1}]      [_{0 0 0}]      [_{1 0 1}]      [_{0 0 0}]      [_{1 0 1}] } con dim=3

ho sostituito e=1, f=1, α=1 rispettivamente.

estensione →

ϕ(t) =

P(t) = (-t - 1)²(t - (h + 3)).

h = -2 ,     h + 3 = -2 + 3 = 1     quindi:

      - (t - 1)²(t - 1)

c.i.o. l = 1     m.g. = 3.

m.g. (1) = olimℝ³ rk(A - I )

                                                                     [1 -2 1]

                                                  [1 -2 1]

m.g. (1) = dim ℝ³ - rk A = ¹ = 3 - 2 = 1

DOVE A =

         [2 -t h 1]      con          h = -2

      [1 h +1 1]

1 h 2-t

con

       t = 1

IN DEFINITIVA

t - c (1)  con  m.g. = 3   se h - 2 - , me   se  h = -2   m.g. ≠ m.g.

f_h non Diagonizzabili.

SUPPONIAMO CHE h≠-2

[1 | 1 h 1]                          y + hs + z = 0 ,

[1 h +1 0]

[1 0 0]

z = -x - hy

ζ = - x - hy

T - 1                         y - _{1 h - h 1}

T - 1 + 3

ᠴ_x,x,x

1  x,x,z   con

ᠴ₃ = (1, 211)

QUINDI: V + x -2 L'endomorifismo f_h

RITULIA DIAGONICIZZABILE E ABBIAMO

LA BASE DI AUTOVETTORI: B_h =

{ (26-2-1) , (1,-h) , , 61233

({4, 0, -1}, (0, ψ, -1) , ( 2, 121)

[a random]

4911

[1, _q, a,]

C: [1. 1]