Esercizi e teoria | Block Notes Algebra

Revisionato il 26/05/2026

di Alexmodi

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Ciao, questo è stato il mio personale blocchetto di appunti di esercizi, controllati e verificati dal professore prima di sostenere l'esame. I passaggi degli esercizi sono esplicitati ed …

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Università Università degli Studi di Catania

A.A. 2017-2018

53 pagine

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Algebra

Matrici e sistemi lineari

Generatori, basi e sottospazi

Applicazioni lineari

Immagini e controimmagini di vettori e sottospazi

Operazioni con le applicazioni lineari

Autovalori, autovettori, autospazi

Applicazioni lineari sotto condizioni

Restrizioni ed estensioni di app. lineari

Prodotto scalare

Prodotto _AB

4x3

3x2

Il prodotto si può fare in quanto le colonne di A sono uguali

al numero di colonne di B.

A•B = 4•0 + 2•2 + 1•3 4•1 + 1•1 + -1•2 = | -1 1 | 3•0 + 0•2 + 2•3 · · · = | 6 ...|

Matrici e Sistemi Lineari

Generatori, Basi e Sottospazi
Applicazioni Lineari
Immagini e Controimmagini di Vettori e Sottospazi
Operazioni con le Applicazioni Lineari
Autovalori, Autovettori, Autospazi
Applicazioni Lineari sotto Condizioni
Restrizioni ed Estensioni di App. Lineari

Prodotto Scalare

Prodotto A·B

A = [ 2 4 1 -1 3 0 2 -2 1 1 0 1 -3 ]

B = [ 0 2 2 -1 3 2 ]

4x3 3x2

Il prodotto si può fare in quanto le colonne di A sono uguali al numero di righe di B.

A·B = 4.0 + 1.2 + -1.3 9.1 + 1.1 + -1.2 3.0 + 0.2 + 2.3 =[ -1 1 6 ]

27 Gennaio 2019

Si consideri l'app. lineare f_h: ℝ⁴ -> ℝ⁴ la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche è

| 1 0 3 -1 |

H = | 2 -1 -1 1 | , h ∈ ℝ. | -2 1 h 5-h | | 0 1 -2 1 |

1) Sistema minimale di equazioni cartesiane per Ker f_h ≠ Im f_h al variare di h.

| 1 0 3 -1 | | 1 0 3 -1 | | 1 0 3 -1 |H1 = | 0 2 -2 4 | ≈ | 0 2 -2 1 | ≈ | 0 1 -2 1 | | 0 -1 h h-8 | | 0 -1 h-5 2-h | ≈ | 0 0 8-h 0 | | 0 1 -2 1 | | 0 2 4 2 | | 0 0 0 0 |

(R₂-2R₄)

Quindi H ha rk(H1) = 3 per h ≠ 8.

h ≠ 8 rk(H) = 3 = dim Im f_h , Im f_h = { (1,1,2,0), (0,2,-1,1), (3, \textonehalf h, h-1, 4-h) }dim Ker f_h = dim ℝ⁴ - dim rk(H) = 4-3 = 1

Ker f_h = { (x,y,z,t) ∈ ℝ⁴ | x + 3z - t = 0 | y - 2z + t = 0 | (h - 8)z + (3t - h)t = 0 }

x + 3z - t = 0 x + 3z - t = 0 t(-2) y - 2z + t = 0 ⇔ ⇔ y= t | (h-8)z+ (3t-h)t =0 z = t { x+3z-t =0 | - x=xt y-2z+t =0 z-t=0 z=t }

L = (-2t, t, t, t ) = L = (-2, 1, 1, 2, 1) per h≠8.

Eq cartesiana: calcoliamo il determinante di A = Im f_h + (x,y,z,t)

A = | 1 2 0 | -x | 1 2 0 | +y | 0 1 -1 | +z | 1 0 1 | =>-x (z+t)(-4+3z+t) 0 -2 1 | 2 -1 | 0 -1 | 0 2 1 | 3 -1 h-2 | x y x y

hx-8x+8y-hy+2ht-16t =>

EQ. CARTESIANA PER h ≠ 8 ⇒ hx - 8x + 8y - hy + 2ht - 16t

x(h-d) + y(8-h) + zt(h-8)

x - y + 2t = 0

h = 8

H₈ =

1 0 3 -1
0 1 -2 1
0 0 0 0

rk (H₈) = 2 = dim Imβθ

Im βθ = {(1,1,2,0), (0,2,-1,1)}

dim ker βθ = dim R⁴ - rk (H₈) = 4-2 = 2

ker βθ = {x + 3z - t = 0 | x - 3z

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