Esercizi Algebra Lineare

Esercizio 1: Risolvere il sistema lineare:

{ x + 2y + 3z = 6

2x - y + z = 2

3x - 8y + 10z = 20

{ x + 2y + 3z = 6

5y + 3z = 10

2y + z = 2

{ x = 0

y = 0

z = 2

Esercizio 2: sistema lineare:

{ x + 2y + 3z = 6

2x - y + z = 2

{ x = 6 - 2(2 - t) - 3t

y = 2 - t

z = t ∈ ℝ

{ x = 2 - t

y = 2 - t

z = t

{ x = 2

y = 2 + t

z = 0

Esercizio 3:

{ x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ = 4

x₁ + x₃ + 3x₃ + 2x₄ = 6

x₁ + 2x₂ + x₃ - x₄ = -1

2x₁ + 3x₂ + x₃ - x₄ = 4

{ x₁ = 1

x₂ = 2

x₃ = -1

3x₄ = 9 → x₄ = 3

[ A|b ]

[ 1 1 2 1 | 4 ]

[ 1 2 1 | 6 ]

[ 1 2 3 | -1 ]

[ 2 3 1 | 4 ]

R₂ - R₁, R₃ - R₁, R₄ - 2R₁

→ [ 1 1 2 1 | 4 ]

[ 0 1 -2 | 5 ]

[ 0 0 1 2 ]

[ 0 1 -3 | -4 ]

Scambio R₂ con R₃

[ 1 1 2 | 4 ]

[ 0 0 1 2 ]

[ 1 -1 2 | 0 ]

R₁ - 2

[ 1 1 2 | 4 ]

[ 0 1 -2 | 5 ]

[ 0 0 1 2 ]

R₁ + 4R₃

[ 1 1 2 | 4 ]

[ 0 1 -2 | 5 ]

[ 0 0 3 | 9 ]

Esercizio 4:

Determinare al variare di d ∈ R le soluzioni del sistema:

Discussione:

• d = 1 → 0 = 0 sistema indeterminato
• d = -2 → 0 = 6 sistema impossibile
• d ≠ 1, d² ≠ 2 → sistema determinato

x = − 2/(d+2) y = +1 + 2/(d+2) = −d/d+2 z = − 2/(d+2)

a+2c=0

2a+4c=0

b+2d=0

2b+4d=0

pivot

rango=2

annullato 4-2 col.

a=-2s

b=-2t

c=s

d=t

a b c d

-2s -2t s t

s [-2 0 1 0]

t [0 -2 0 1]

E1 Risolvere il seguente sistema lineare:

x+y+z=6

2x+y+3z=9

-x-2y+z=0

sol:

x=1

y=2

z=3

es.

A = ⎡ 1 -4 1 ⎤ ⎢ 2 6 5 ⎥ ⎣ 2 5 5 ⎦

Determinare A^-1:

⎡ 1 -4 1 | 1 0 0 ⎤ ⎢ 0 2 3 | 0 -2 1 ⎥ ⎣ 0 2 4 | 0 1 0 ⎦ R₃ - R₂

→

⎡ 1 -4 1 | 1 0 0 ⎤ ⎢ 0 2 -2 | 1 0 -1 ⎥ ⎣ 0 0 1 | 1 -1 1 ⎦ R₂ → R₂/2

→

⎡ 1 -4 1 | 0 1 -1 ⎤ ⎢ 0 1 -1 | 0 1 -1 ⎥ ⎣ 0 1 -1 | 1 -1 1 ⎦ R₁ - R₃

→

⎡ 1 -4 1 | 0 1 0 ⎤ ⎢ 0 2 -5 | 4 -3 0 ⎥ ⎣ 0 1 -1 | 0 1 1 ⎦ R₁ + 4R₂

→

⎡ 1 0 0 | 0 -10 9 -7 ⎤ ⎢ 0 0 -5/2 2 -3/2 ⎥ ⎣ 0 0 1 -1 1 ⎦

A = 1 0 0 2 1 0 3 2 1

R₂ - 2R₁ R₃ - 3R₁ ⟶ 1 0 0 0 1 0 0 2 1

R₃ - 2R₁ ⟶ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

rg A = 3 r ( A | Y ) = 3

Spazio vettoriale delle matrici:

es.: Stabilire per quali valori di K la matrice nulla è esprimibile come comb. lin. non nulla di

A = 1 K -1 0 B = 0 0 K 0 C = 1 K -2 0

a 1 K -1 0 + b 0 0 K 0 + c 1 K -2 0 = 0 0 0 0 a, b, c non tutti nulli

{ Ka + c = 0 a + Kc = 0 -a + Kb - 2c = 0 0 = 0

{ a + Kc = 0 Ka + c = 0 -a + Kb - 2c = 0

[ 1 0 K 0 K 0 1 0 -1 K -2 0 ]

R₂ - KR₁ R₁ + R₃ ⟶ 1 0 K 0 0 1 -K 2 0 0 0 K K -2 0

⟶ 1 0 K 0 0 1 -K 2 0 0 1 - K₂ 0

se 1 - K² = 0 K ≠ 1 ⇒ inf¹ sol

se K = 0 ⇒ inf¹ sol

[ 1 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 1 0 ] rango 2

es.

A = ^{[ 1   0   2 ] [ 2   1   0 ]} _{[-3  -2  1 2 ]}

_R1

[ 0  1  -5  -4 ] ➝ [ 0  1  -5  -4 ]

^{R₃ + 2R₁}

[ 0  -2  10  8 ] ➝ [ 0  0  0  0 ]

rg A = 2

dim Ker A = m - rg = 4 - 2 = 2

[ x₁ ]

[ x₂ ] = t [ -2 ] + s [ -3 ]

[ x₃ ]    [ 4 ]    [ 5 ]

[ x₄ ]    [ 1 ]    [ 0 ]

B Ker A = ^{[ -2  -3 ] [ 4  5 ]} _{[ 0  1 ]} [ 1 0 ]

es.

W = L⁴(ℝ) Determinare le dimensioni di W al variare di K∈ℝ

A = ^{[ 0  2K   2K ] [ 1  0    4K ] ➝ [ 1  -2  0 ] [ 1  -2  0 ]} _{[ 0  2K  -8K  2K ] ➝ [ 0  1  -8K  2K] [ 0  0  1  2K]}

2K - 4K² = 0 ⇨ 2K(1 - 2K) = 0 ⇨ K = 0, K = ¹/₂

per K = 0 ∨ K = ¹/₂ ⇨ rg(A) = 2 ⇨ dim W = 2

per K ≠ 0 ∨ K ≠ ¹/₂ ⇨ rg(A) = 3 ⇨ dim W = 3

es. Sia L: ℝ² → ℝ²

L (_⎡x⎤) = _⎡3x+4y⎤    ⎣y⎦       ⎣3x+y⎦

1. Scrivere la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica.

   A = ⎡3 4⎤    ⎣3 1⎦

   L(e₁) = L(_⎡1⎤) = _⎡3⎤           ⎣0⎦             ⎣3⎦

   L(e₂) = L(_⎡0⎤) = _⎡4⎤           ⎣1⎦             ⎣1⎦

2. Determinare base e dimensione del KerL e di ImL

   _⎡x⎤ ∈ KerL ⇔ _⎡x⎤ = _⎡0⎤ ⎣y⎦             ⎣y⎦    ⎣0⎦

   ⎡3 4⎤ _⎡x⎤ = _⎡0⎤ ⎣3 1⎦ ⎣y⎦   ⎣0⎦

   ⎡3 4⎤ ⎣3 1⎦

   r₂ - r₁ ⎡3 1⎤ ⎣0 0⎦

   → rgA = 1 → oo sol ⇒ 1 parametro libero

   3x + 4y = 0 ⇔ y = -3x

   _⎡x⎤ = _⎡t⎤ ⎣y⎦         ⎣-3t⎦

   KerL = L(_⎡1⎤)              ⎣-3⎦

   L(_⎡x⎤) = _⎡3x+4y⎤ = 3x + _⎡y⎤ = x _⎡3⎤ + y _⎡4⎤       ⎣y⎦                                                                  ⎣1⎦