ESERCIZIO 1
Piano xy
- X(t) = v · t
- Y(t) = 1/2 a t2
- v = 2 m/s
- a = 1000 cm/s2 = 10 m/s2
Trovare il VETTORE POSIZIONE
~r(t) = x(t) î + y(t) ĵ = (vt) î + (1/2 at2) ĵ = (2 m/s · t) î + (5 m/s2 t2) ĵ
Trovare la velocità vettoriale al tempo t = 10 s
~v(t) = d~r(t)/dt = d(vt î + 1/2 at2 ĵ)/dt = vî + at ĵ
~v(10s) = vî + 10 a ĵ
|~v| = √(v2 + (10 a)2) = √(4 m/s2 + (100)2) = 100.02 m/s
Mostrare che l'accelerazione è costante
~a(t) = d~v(t)/dt = d(vî + at ĵ)/dt = 0 î + (a ĵ)
Mostrare che l'accelerazione areolare ha direzione costante
~Aa = 1/2 ~r × ~a
~Aa = 1/2 [(vtî + 1/2 at2 ĵ) × a ĵ] = 1/2 (vtî × a ĵ) = 1/2 vta k̂
direzione costante perché diretta tutta lungo k̂
ESERCIZIO 1
Piano xy
X(t) = v*t
Y(t) = 1/2 at2
v = 2 m/s
a = 10 m/s2
- Trovare il VETTORE POSIZIONE
r(t) = x(t)i + y(t)j = (vt)i + (1/2 at2)j = (2 m/s∙t)i + (5 m/s2∙t2)j
- Trovare la velocità relativa al tempo t = 10s
v(t) = d/dt [ r(t) ] = d/dt [ (vt)i + (1/2 at2)j ] = vi + at j
v(10s) = vi + 10a j
|v| = √(v2 + (10a)2) = √4 m/s + (10a)2 = 100,02 m/s
- Mostrare che l'accelerazione è costante
a(t) = d/dt [ v(t) ] = d/dt [ vi + at j ] = 0i + (a)j
- Mostrare che l'accelerazione areolare ha direzione costante
A = 1/2 r x a
A = 1/2 [(vti + 1/2at2j) x aj]
= 1/2 [(vti x aj) + (1/2 at2i x aj)] = 1/2 vta k
ESERCIZIO 2
slide 24
cap. 5
⃗ () = ( cos )̂ + ( sin )̂ + ()̂
R = 2m
v = 10 cm/s = 0.1 m/s
= 0.1 s-1
- Trovare la VELOCITÀ VETTORIALE e SCALARE
⃗ () = d/ (⃗ ())
= / [(cos)̂ + (sin)̂ + ()̂]
= (- sin)̂ + ( cos)̂ + ()̂
() = |⃗ ()|
= √[(- sin)2 + ( cos)2 + 2]
(vettore v) = √[22sin2() + 22 cos2() + 2]
= √[2 (sin2() + cos2()) + 2]
= √[22 + 2]
= √[(0.1 s-1)2 (2m)2 + (0.1)2] = 0.22 m/s
- Trovare l'ACCELERAZIONE VETTORIALE
⃗ () = d/ (⃗ ())
= / [(-sin)̂ + (cos)̂ + ()̂]
⃗ () = (-2 cos)̂ − (2 sin)̂
- ANGOLO tra vettore velocità e vettore accelerazione
⃗ · ⃗ = |⃗ ||⃗ | cos → cos = (⃗ · ⃗ ) / (|⃗ ||⃗ |)
⃗ · ⃗ = + + =
= 22cos() sin() − 32cos() sen() = ∅
cos = ∅ → arccos(0°) =
→ ≥ 90°
1 ≠ 0
ESERCIZIO
a(t) = g e-λt q = 2 m/s2 λ = 0.2 s-1
Condizioni iniziali: x(0) = x0 = 0 v(0) = v0 = 4 m/s
- Trovare VELOCITÀ e POSIZIONE ad t istante di tempo v(t) x(t)
v(t) = ∫t₀t a(t) dt + v0
∫ecx dx = 1/c · ecx
v(t) = v0 + ∫t₀t g e-λt dt
g ∫t₀t e-λt dt = g · (-1/λ) [e-λt]tt₀ = - g/λ (e-λt - e-λt₀)
= g/λ e-λt₀ - g/λ e-λt
v(t) = v0 + g/λ (e-λt₀ - e-λt)
v(t₀
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