Analisi Matematica II - Esercitazioni risolte su massimi e minimi, problemi di Cauchy ed integrali doppi e tripli

Revisionato il 30/05/2026

di NoteWave_RF

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Vendo esercizi svolti di Analisi Matematica II per l'esame del prof Massimo Villarini, corso di laurea triennale in ingegneria civile e ambientale, i cui argomenti trattati sono:-Calcolo …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Villarini Massimo

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2016-2017

56 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Analisi matematica II - Esercizi

Introduzione

UNIMORE - Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia
Filippo Ribes
NoteWave_RF
Settore: MAT/05

Autore degli appunti

Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online. Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF e ig: fil_ribes.

Calcolo differenziale in Rⁿ e in R^r

Calcolare le seguenti funzioni di 2 o 3 variabili:
1. ∂f/∂y (3, -2, 1), con f(x,y) = ln(y³ - x²y - z) → ∂f/∂y = 3y² - x → -2 + 9 - 2 = 1
2. ∂f/∂x (π, 1), con f(x,y) = π√y . cos(xy) → -1/(2√π x+1)
3. ∂f/∂z (2, 1, -1), con f(x,y,z) = 3x²y + 3z²5y2 = 3
Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni:
1. f(x,y) = e^x²y → ∇f(x,y) = (4xy.e^x²y, 2x².e^x²y)
2. f(x,y) = 1/(x⁴ + xy⁴) → ∇f(x,y) = (-3x²y⁴ - 4y)/(x³y + xy⁴)², -x² - 2x.y/(x⁴ + xy²)²)
3. f(x,y) = x².sin(x+y³) → ∇f(x,y) = (2x.sin(x+y³) + x².cos(x+y³), 3x².cos(x+y³))
4. f(x,y,t) = x².√yz → ∇f(x,y,t) = (3x².y√z/(2√yz), x².z/(2√yz))

Scrittura dell'equazione del piano tangente

(3) Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico della seguente funzione nel punto P₀.

(a) f(x,y) = 3x² + 3y² - 2xy + x, P₀ = (-1, 1)

Faccio le derivate parziali: f_x(x,y) = 6x - 4y + 1, f_y(x,y) = 6y - 4x

Sostituisco con i valori di P₀ = (-1, 1): f_x(x,y) = -6 - 4 + 1 = -9, f_y(x,y) = 6 + 4 = 10

Calcolo l'equazione del differenziale totale: d_z = f_x(-1, 1) e' uguale a 3 . 3 + 4 . 1 - 2 = 9

Quindi l'equazione del piano tangente è: z = 9 + (-9)x + 10y - 19 → z = -9x + 10y - 10
(b) f(x,y) = √(x + 3y) + x² + y², P₀ = (2, -2)

f_x(x,y) = (3x + 2y)/(2√{x + 3y}) + 2x, f_y(x,y) = (-2x + 3y)/(2√{x + 3y})

f_x(x,y) = (2 + 4)/(2√{3 + 8}) = (6/8) = (3/4), f_y(x,y) = -(4/(8 + 8)) = -(1/4)

d_z = z((x - 2) - 2[(y - (-2))]) = z = 2x - y - 6

f(2, -2) = 4 → z = 4 + (2x + y - 6) → z = 2x + y - 2
(c) f(x,y)_° = arcsen(xy), P₀ = (1/2, 1)

f_x(x,y) = (x⁴ + 2xy)/(√{1 - (x+y)²} y⁴)

f_y(x,y) = xyx = xy

f_x(x,y) = (x⁴)/(1 - (x+y)²), f_y(x,y) = n(x²)/(1 - (x+y)²)

d_z = x((x - 1/2) + √{2}/4) + (y - 1)(y - 2/6) = (2x + xy + 3y)/2 = n(3/4)

f(1/2, 1) = π/6 → z = π/6 + y
(d) f(x,y) = √(x²), P₀ = (4, 2)

f_x(x,y) = (y/y⁴) = (4/y)

f_y(x,y) = -(x/y⁴)

f_x(x,y) = 3/2 = nf_y(x,y) = -1

d_z = (x/2)(x - 4) - 1(y - 2) = (x/2) - yf(1, 0) = z

z = (x/2) - y + 2

Calcolo della derivata direzionale D_uf (x₀, y₀)

f(x, y) = x²y⁴ - x⁴y², u = (4/5, 3/5), (x₀, y₀) = (1, 1)

Controlliamo che il vettore u abbia norma unitaria: ||u|| = √((4/5)² + (3/5)²) = 1 → ha norma unitaria → OK!

Calcoliamo il gradiente ∇f(x, y) = (3x²y⁴ - 2x⁴y, 2x²y³ - 3x⁴y²)

Valutiamolo nel punto (1, 1) → ∇f (1, 1) = (1, -1)

A questo punto facciamo il prodotto scalare: ∂f/∂u (1, 1) = (1, -1) .

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