Esercizi di Analisi 2 prof. Toscano

Equazioni in coordinate

1. Posto f fisso vale: R (prime numero dell’equazione). Trovo la classe l’insieme di definizione. Vedo se f(x₀, y₀) è diverso da zero. Calcolo le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y.

2. Allora, per il teorema dei Dini, esistono un intorno X di x₀(0) e un intorno Y di y₀(0) tale che in X x Y l'equazione esprime y implicitamente e funziona di x. Se sì, calcolare y(x).

Calcolo delle derivate

3. f(x,y) devono la stessa classe. Pongo quindi y = y(x). Poi calcolo y'(x) implicitamente facendo 'fx' rispetto a y. Derivo rispetto a x, che è una retta univoca rispetto alla funzione. Sostituisco al posto di (x₀, y₀) e faccio i calcoli risolvendo da f(x₀, y₀) = 0.

4. Calcolo il Limite lim_x→0 y(x)/x.

Stabilire se un'equazione definisce implicitamente y in funzione di x nell'intorno di un punto

Equazioni in P(x₀, y₀). Posto f(x,y) uguale R primo numero dell'equazione. Trovo la classe di insieme di definizione. Vedo se f(x₀, y₀) è diverso da zero. Calcolo le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y. Allora, per il teorema dei Dini, esistono un intorno X di x₀(0) e un intorno Y di y₀(0) tale che in X x Y l'equazione esprime y implicitamente e funziona di x. Se sì, calcolare y(x).

1. f(x,y) devono la stessa classe. Pongo punto y(x₀). Per calcolare y'(x₀) performa f(x) rispetto a y. Deriva rispetto a y, che il verso in un'unicità funzional funzioni. Sostituisco nel punto di f(x₀, x₀)=0 e f_eric_calmi_l'equazione di y(x₀).

2. Calcola il Limite lim_x→0 y(x)/x. Calcolare la funzione secondo Ultimo ancora fase.

Equazioni lineari del secondo ordine

Omogenea

Se y" + a y' + b y = 0 con a,b ∈ ℝ esiste l'equazione caratteristica con λ² + aλ + b = 0.

1. Δ = 0 λ₁ = λ₂ mista con x ε^λx

2. Δ > 0 λ₁ ≠ λ₂ con y₀(x) = c₁ε^λ₁x + c₂ε^λ₂x

3. Δ < 0 λ = α ± iβ a(t)(cosβx + senβx)

Risolvere l'equazione caratteristica e scrivere la soluzione generale. y" - 5y' + 4y = 0 λ² - 5λ + 4 = 0 y₀(x) = c₁ε^4x + c₂ε^1x

Sistemi Cauchy con omogenea

y'' + 2y' + 2y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 1

1. Consiste l'equazione caratteristica e scrivere le due cause. λ² + 2λ + 2 = 0 λ = -2 ÷ 2 → - 4 ÷ 8 ÷ 2=-4

y₀(x) = e^1x(c₁cosx + c₂senx) = e⁰cosx + c₂senx y'(0) = 1 {c₁ = 1 {c₁ + c₂ → c₂ = 2 y₀(x) = e^x(cosx + 2senx)

Equazioni lineari del II ordine

Caso 1

1. Calcolo l'omogenea associata e la sua equazione caratteristica. La risolvo come visto trovando v(x).

2. Considero un polinomio v(x) che sia una soluzione particolare.

3. Riscrivo y'' - 3y' - 2y = x² + x con le nuove Y', Y, Y''.

4. Rappresento coefficienti x², x, x⁰ pubblici del membro destro dell'equazione.

5. Eguaglio i coefficienti algebrici corrispondenti del membro sinistro e destro e impongo il sistema.

6. Risolvere v(x) con i nuovi coefficienti trovati. Subsolle le soluzioni.

Caso 2

Nel caso l'equazione si presenti nella forma y'' + a₁y' + a₀y = e^px(bx), procedo ...

Caso 3

Nel caso l'equazione si presenti nella forma y'' + a₁y' + a₀y = xⁿ(P(x)cosβx + Q(x)sinβx)

Differenziabilità di una funzione in un punto

f(x,y) m P(a,b) f(x,y) ≤≤ m P₀(a,b). Calcolo insieme di definizione. Verifico che funzione sia classe C → sì, ma non sempre bene! Se il punto P(a,b) ∩ in A, la funzione è differenziabile. Se P(a,b) non è in A, funzione f(b)f(o,o)e esiste la funzione ausiliaria: lim → f(x,y)-(x₀,y₀) = 0 (P_bar tolto) F = 0 se (x,y) ≠ (o,o). Calcolo le derivate nel caso L₁: matrice di figure numerate. L₂: col termine gradiente. Supponendo ↡ P₀(x₀,y...)