Esercizi di Analisi 2 prof. Toscano

Stabilire se un'equazione definisce implicitamente y in funzione di x nell'intorno di un punto

Equazioni in P₀(x₀, y₀)

1. Posto P₀ in un numero della equazione

2. Trovo le derivate all'esterno di P usando il Y' ...

3. Vedo se è nulla in P la zero

4. Calcolo le derivate parziali rispetto le nel punto

• ^#AS

5. Allora più le termine del... esistono intorno X di x₀ e un intorno Y di y₀ t.c... nel piano X, Y

Se si, calcolare Y'(x)

1. F(x₀) ... lo stesso esiste

2. Campo quindi sempre y'(x)=f(x)

3. Po calcolo Y' nel ... e a y

4. Definito il posto e n che e uno qui un... limite ... funzioni

5. Sostituisco nel del posto di x

(y=0, x=0) a P esito uno, ricordando che y'(x)=0

Calcolo il limite

1. Calcola lo funzione semplifica ancora fare

1. Riscrivi il calcolo il limite... continuo il formula il termine numeratore

2. Se non... y(p) e calcola l'^{termine sopra} y

Equazioni lineari del secondo ordine

Omogenea

y'' + 4y' + 4y = 0

y(x) = e^λx con λ ∈ ℝ

Costruire l'equazione caratteristica

A = 1, B = 4, C = 4

y'' - 5y' + 4y = 0

λ² - 5λ + 4 = 0

A = 1, B = -5, C = 4

Δ = 25 - 16

λ = 5 _- 3₂ / 2

λ = 5 ₊ 1

λ = 4

λ = 1

y(x) = c₁e^x + c₂e^2x

Sistema d'cauchy con omogenea

y'' + 2y' + 2y = 0

y(0) = 1

y'(0) = 1

λ² + 2λ + 2 = 0

A = 2, B = 4, C = 9

A = 4, B = 8, C = 16

1. Costruire l'equazione caratteristica e considerare le radici come scrivete la soluzione generale
2. Adorate le condizioni, la calcola, sia dentro le trattie
3. Considerando le condizioni iniziali, il problema di cauchy ϕ'(cos x) - ϕ(cos x) = b
4. A questo punto tornate codi elevazioni di ϕ, sostituite i risultati ϕ e i triadi

y(x) = e^x(c₁e^{cos x} + c₂sen x) ⇒

e^xcos x + c₂sen x

y'(x) = ϕ'(e^x(c₁cos x + c₂sen x)) = e^xsen x + c₂cos x

y(0) = 1 ⇒ (ϕ(0) = e^-b(c₁cos x + c₂sen x)) = c₁ + c₂ = 1

{ C₁ = 1 C₂ = 0

y(x) = e^x(e^{cos x} + 2 sen x)

Equazioni Lineari del II Ordine

CASO 1

F(x) = 0

1. Calcolo l'unghie ausiliaria e le sue quazi costruzioni.
2. Curvo en primaria: v(x), Otimuzzo le variazioni: v(x), Otimuzzo le variazioni: v(x), acordato, moltiplication d = a e^{to}, indownavia vazero l unghie o nuovo scon questi Ormai esquena adi miudao
3. Passino Y'' - 3Y' + 2Y = Y'' + 3Y = 2 = 0, Y'' + 3Y = 2 = 0
4. Riminto Y'' + 3Y' + 2 = 0
5. Razzini Y'' + 3Y = 0 -> Y'' = Y' + 3Y = 0

CASO 2

Nel caso l'equazione si presenti nella forma: Y'' + p(x) Y' + q(x) Y = F Nel caso di polinomi difettivi

Se A sono 1 soluzione dell'equazione -> V(x) = = Xn (a + b)e^tx

Se X è 2 soluzioni del log delle vardazione -> V(x) = (ae ato)x + am x

CASO 3

Nel caso l'equazione si presenti nella forma Y'' + p(x), q(x), x^(age in alto)

x^(seylyu) = TV(TOTOT-TO

Integrale curvilineo di f lungo γ

Si ϕ

Determina le curve ϕ(t) = {x(t), y(t)} t∈[a, b]

• x(t) = cost
• y(t) = sint

|ϕ'| = √(sen²t+cos²t) = √1 = 1

∫₀^π/2 sen t cos² t dt =...

Integrale curvilineo di una forma differenziale

Nel caso una curva...

Essendo γ regolare a tratti..., se z = x(t)

• ∫_ϕ Wds = ∫ c t² dt

Stabilisci il segno derivati al...

STUDIO di SERIE di POTENZE

∑_m=0^∞ a_m(x-x₀)^m

Calcolo raggio di convergenza: x₀ ± r

Calcolo r_esp: r = 1/lim_m→∞sup |a_m|^1/m ≥ 1/lim_m→∞ |a_m|^1/m = λ → r = λ

Intervallo di convergenza: ]x₀ - r, x₀ + r[ = ]a, b[

⌂ La serie converge totalmente in ogni punto c interno ]a, b[.

Analogo di estremi:

Per x = a: ∑_m=0^∞ a_m(c-x₀)^m → Converge

Per x = b: ∑_m=0^∞ a_m(x-x₀)^m → Converge

Per x = 0 ∑_m=0^∞ 1/m⁴ → Converge assolutamente

Per x = a: ∑_m=0^∞ a/m⁴ → Converge assolutamente

Se la serie converge sugli estremi, allora essa converge totalmente in [a, b]

[Se r = 0 la serie converge solo in x₀. La serie converge uniformemente in R. Se r = +∞ la serie converge per valori reali di x esenti x₀ - r, x₀ + r.]

Sistema in R³, _y,z R

(x,y,z) m funzione di x

(x) + y⁴ + z³ - 2 = 0

x² + 3y_z + 4z = 0

m = P₀(2,1,1)

f₁ = x + y⁴ + z³ - 2

f₂ = x² + 3y_z + 4z² + x

d(x,y,z)= | 2y 3z²1 |

| 6y 8z 1 |

= -16 y² - 18 y z - 34 0 ≠ 0

1. Scelgo la carta (y,z)
2. Posto f_i = 0, ⁰dopo aver sostituito x
3. Vedo se non per funzioni (f_i, f_j) nel punto P₀
4. Faccio il determinante eccetera rispetto alle variabili cercate (y,z) nel punto
5. Sostituisco x, f_y, f_z

1. ¹d(t) nel punto P.

2. ²d(t) equivale a ψ(x), z(x)₁