Formulario metodi di ottimizzazione, prof. Sergio Scarlatti - Metodi di ottimizzazione per il business e la finanza

Simplesso

1. Dove ci sono componenti zero, 0. Si che tra le due dividendo per il massimo dei due moduli. R_n+1 = R_q - k * R_t+1 R₁ = R₂ + max

N.B. con 3 righe: aumenta solo quest'ultima. Agire mediante entrate.

3. Rig. di due diviso vettore e moltiplica per R₁ nuovo + tutte le sue colonne

Doppio

• Max (p₁ y₁ + p₂ y₂ + ...)
• y₁ …
• Min (d₁ x₁ + d₂ x₂ + ...)
• x₁, x₂, …
• a₁ x₁, ... ≤ b
• x₁, x₂ ≥ 0

A = (a, b) A' = (b, a)

Probabilità

P(A) = n° degli esiti favorevoli su tutti i casi possibili. Se A e B sono eventi disgiunti ovvero non possono esistere in comune (A ∩ B = ∅), P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Presenza: P(A ⋂ B) e P(A ⋂ B') = P(A) - P(A ⋂ B). P(A ⋂ B) = P(B ⋂ A) = P(B ⋃ A). P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Eventi indipendenti

P(A ⋂ B) = P(A) * P(B) se P(A|B) = P(A), ovvero esiste: B = P(A|B). P(A ⋂ B) = P(B|A) = P(A) e P(A|B) = P(A ⋂ A).

P(A ⋂ B ⋂ C) = P(A) ⋂ P(B) ⋂ P(C) ∀ e P(A ⋂ B ⋂ C) BU con i A, B = P(A ⋂ B) per tutti e i bombole esiti.

P(A') = 1 - P(A). P(A ⋃ B) = P(A ⋂ B') + P(A ⋂ B²) + P(A ⋂ C').

B₁,...,B_n partizione di Sσ(n). P(B(n)) = P(B)P(E|A) + P(B|A) = P(B) e P(E|S). ∑ (x * P(x)) v.a. discreta.

E (y' a) ∫ xφ(x) dx v.a. continua.

Bayes

P(A|B) = P(B|A)P(A) / (P(A)P(B|A)P(B|B)/(P(A)))P(senza il 1) PER N. C_nk = n | x!/(n-x)!- P(B|A) = 1-P(A|B).

Simplesso

1. Dove ci sono componenti > 0.
2. ES: R(i) = Riga di entrata, R(o) = Riga di uscita_{Suddividere per valori di c(x) a b}
3. Riga di uscita: valore uguale tra -R(i) nuova e il valore di uscita della variabile

N.B. Uso 3 righe mumble tale quota: A. Due variabili di entrata. Dualità. A^T = (2, 1)

Probabilità

P(A) = numero dei casi favorevoli B* casi possibili. Se A e B sono eventi disgiunti ovvero non possono esistere in comune (A ∩ B = ∅), P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

P(A ∩ B) = P(A) * P(B). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(B). Se sono eventi indipendenti, P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). P(B ∩ A) = P(A) * P(B | A).

P(A ˄ C) = P(C ∩ A | B) = P(A | C) * P(B) – Base congiunta. P(A | B) = P(A | B). P(A ∩ B) / P(B) = - P(A ∩ B) / P(A) = P(B).

Se sono eventi incompatibili ovvero non possono esistere in comune: P(A̅B). P(A ∪ A ') = P(A) + P(B) – P(A' ∩ B). P(A ' ∪ B) = P(A) + P(B).

Si chiama partizione di S. P(A) = P(B ∩ A) + P(A ∩ B₂) + P(A ∩ B₃) + ... + P(A ∩ B₄). B₁, ..., Bₙ = partizione di S_–.

Es.: P(Rosso) (P(rosso 2 rossi 1) + P(Rosso nere)). E[x] = ∑ x_i * P(x = x_i) se V.A. discreta. E l’integrale se E [x] = vendo x * P(x)x_i * P(x) dx.

- Bayes: P(A | B) = P(A) * P(B | A) / P(B) / (P(B | A) * P(A) + P(B | A̅) * P(A̅)). P(B = P(A)) – P(B); (P(A | B̅))

P(A | B') = C_kⁿ = fonda x! / k! (n – k)! _–. P(F | B) = 1 - P(A | B).

Ottimizzazione libera

Derivate prime uguali a 0 è lavoro di alcune condizioni Hessian. Derivate seconde e la det coincidenza: Se det = 0 guardo f₃(x,y). Se det > 0 pt. di minimi. Se det > 0 pt. di max...

Max. con vincoli di uguaglianza

Alternativo ad un metodo base ed ex si trovano solo unicità o minimi...

Problema di Markowitz

u_k = Σ ⁱ w_i WKT

2 vincoli

1. λ ₁ > 0
2. λ ₂ > 0

3 vincoli

1. λ ₁, λ ₂, λ ₃ > 0, > 0, > 0

corr(X,Y), cov(X,Y)...