Esercizi Analisi 1

Limiti e Derivate - Esercizi e Domande Teoriche

I. Dare la definizione di funzione f differenziabile in un punto x₀.

II. Dare la definizione di funzione f derivabile in un punto x₀.

III. Risolvere il seguente limite:

lim_x→0 [(3x² - x³)/(31 - e^x + sin(x) + 1 + x - cos(x))] / [(x + tan(x) + x cos(x) sin(x))/(2x⁴ + 5x²)]

IV. Risolvere il seguente limite:

lim_x→0 [(2x + x tan(x) sin(x))/(e^x - cos(x))] / [(log(1 + x))/(x + sin(x)²)]

V. Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicità del limite per le successioni.

VI. Siano f, g : [0,1] → R due funzioni continue. Dimostrare che se f(0) > g(0) e f(1) < g(1), allora esiste x (0, 1) tale che f(x) = g(x).

VII. Trovare il punto di massimo della funzione: f(x) = 5x³ - 3 sinh(1 + x) + 10

VIII. Determinare, se esistono, i punti di discontinuità della funzione: f(x) = 2x + 5

IX. Determinare, se esistono, i punti di discontinuità della funzione: f(x) = arctan(1/x)

x2 27 novembre 2019

F.L. Ferretti

Serie e successioni

Test preliminare +∞

1. Se an → 0 allora la serie converge.
2. Condizione necessaria per la convergenza della serie è che a → 0.
3. Se bn converge e an> bn, allora converge.
4. La serie converge. ( )
5. La serie converge.
6. La serie converge.
7. La serie converge.
8. La serie converge.
9. La serie converge.
10. La serie diverge.

n!n =11 27 novembre 2019

F.L. Ferretti

Serie e successioni

Domande teoriche

1. Dare la definizione di successione an convergente ad un limite l R. Fornire inoltre un’interpretazione grafica della definizione.
2. Sia an > 0. Dimostrare che se an → 0 allora → 1.
3. Dimostrare che se a è convergente,

Allora a è limitata. Vale l'opposto?

IV. Enunciare il criterio del rapporto per le serie, ed applicarlo per dimostrare la convergenza della serie fattoriale.

∞ 1∑ n!n =0

V. Determinare, al variare di α R, il carattere della serie: ∈[ ] log n( )n +11 + sin - 1+∞ 2n +2∑ [ ] α( )log n 2n =2

VI. Enunciare e dimostrare la condizione necessaria di convergenza per le serie.

VII. Enunciare i due criteri del confronto per le serie a termini positivi. Dimostrare la divergenza della serie armonica.

VIII.

IX. Dimostrare il carattere della serie: ( )+ ∞ n2∑ n sin e nn =1

X. Dimostrare il carattere e trovare la somma della serie:( )3n + 2+ ∞ 1∑ 3n =22