Esercizi Analisi 1

3 dicembre 2019 - F.L. Ferretti - Limiti e derivate

Test preliminare

1. Se f : [a, b] → R è continua allora è derivabile in [a, b]

2. Calcolare la derivata della funzione: f(x) = sin(log(32x)) + e

3. Calcolare la derivata della funzione: f(x) = x + 1

4. Dare la definizione di punto di massimo locale per una funzione.

5. Se f : [a, b] → R è derivabile allora è continua su [a, b].

6. Calcolare la derivata della funzione: f(x) = log(sin²(x) + e)

7. Calcolare la derivata della funzione: f(x) = x(log(x) + e) + 1

8. Se f’ è derivabile in un punto x allora f’ è continua in x.

9. Calcolare la derivata della funzione: f(x) = cosh(log(3x² + arctan(x) + 1))

3 dicembre 2019 - F.L. Ferretti - Limiti e derivate

Esercizi e domande teoriche

I. Dare la definizione di funzione f differenziabile in un punto x₀.

II. Dare la definizione di funzione f derivabile in un punto x₀.

III. Risolvere il seguente limite:

lim_{x→ 0} (x³ - x² - e³ + sin(x) + x - cos(x) + x²) / (x + tan(x) + x²cos(x)sin(x))

IV. Risolvere il seguente limite:

lim_{x→ 0} (2x² + 3x tan(x) sin(x) e - cos(x)) / (log(1 + x) (x² + sin(x²)))

V. Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicità del limite per le successioni.

VI. Siano f, g : [0,1] → R due funzioni continue. Dimostrare che se f(0) > g(0) e f(1) < g(1), allora esiste x ∈ (0, 1) tale che f(x) = g(x).

VII. Trovare il punto di massimo della funzione: f(x) = 5x³ + 1 - 3 sinh(x + 10)

VIII. Determinare, se esistono, i punti di discontinuità della funzione: f(x) = 2x + 5

IX. Determinare, se esistono, i punti di discontinuità della funzione: f(x) = arctan(x)²

27 novembre 2019 - F.L. Ferretti - Serie e successioni

Test preliminare

• 1. Se a_n → 0 allora la serie converge.
• 2. Condizione necessaria per la convergenza della serie è che a_n → 0.
• 3. Se b_n converge e a_n > b_n, allora a_n converge.
• 4. La serie ∑_n=2^+∞ (2n log n) converge.
• 5. La serie ∑_n=1^+∞ (2n + sin n) / (n + 1) converge.
• 6. La serie ∑_n=1^+∞ (n + cos n) / (n + n - 1) converge.