Esercitazioni-Idrologia

Tabella 7: dati per rappresentazione su carta probabilistica doppio esponenziale 11

2. ESERCITAZIONE n.2 TESTO

a) Per ciascuna delle serie storiche dei massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24

ore registrate dal pluviografo di Chiaravalle Centrale (Tabella 1)

• si stimino i parametri della distribuzione di Gumbel con il metodo dei momenti;

• si rappresenti su carta probabilistica doppio esponenziale la CDF teorica ottenuta per la coppia di

parametri stimata e la CDF campionaria calcolata secondo la formula di Weibull;

• per almeno una serie (quella relativa ad una durata di 3 ore) stimare i parametri della distribuzione di

Gumbel con il metodo della massima verosimiglianza.

b) Si adatti al campione il modello TCEV al 2° livello, seguendo le procedure previste dal metodo del valore

indice, e si riportino su carta probabilistica doppio esponenziale le CDF teoriche individuate e la CDF

campionaria calcolato sempre secondo la formula di Weibull.

La sottozona idrometrica omogenea in cui ricade la stazione di Chiaravalle Centrale è quella Centrale.

c) Si costruiscano le curve di possibilità pluviometrica per i tempi di ritorno 50, 100, 200 anni, impiegando sia il

modello probabilistico di Gumbel che il modello TCEV.

Tab 1. SERIE DEI MASSIMI ANNUALI STAZIONE “CHIARAVALLE CENTRALE" 12

2.1 Stima parametri della distribuzione di Gumbel con il metodo dei momenti

Nel presente paragrafo viene effettuata la stima dei parametri della distribuzione di Gumbel con il metodo dei momenti,

riferiti a ciascuna delle serie storiche dei massimi annuali delle altezze di precipitazione di durata 1, 3, 6, 12, 24 ore

registrate dal pluviografo di Chiaravalle Centrale (dati dalla Tabella 1).

Con il metodo dei momenti calcoliamo:

dove s e x sono rispettivamente la media campionaria e lo scarto quadratico medio campionario.

Tabella 1: stima parametri col metodo dei momenti

2.2 CDF teorica – CDF campionaria su carta probabilistica doppio esponenziale

Si esegue lo stesso procedimento per le piogge di durate 1h, 3h, 6h, 12h, 24h .

Tabella 2: dati per rappresentazione su carta probabilistica doppio esponenziale

Nella prima colonna si riportano i valori di pioggia ordinati in maniera crescente, nella seconda colonna la

numerazione degli stessi, nella terza colonna si calcola la PP (plotting position) con la formula di Weibull:

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dove i è il numero corrispondente allo specifico valore di pioggia (seconda colonna) e n è il numero di dati

(in questo caso 40). Per rappresentare su carta probabilistica doppio esponenziale, si procede come segue:

In maniera analoga alla carta probabilistica normale si procede riportando sulle ordinate i valori delle Y

(variabile ridotta) a scala lineare e si determinano i valori assunti da tale variabile in corrispondenza di

assegnati valori di F (y):

Y

F (y)=0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 …. 0,998 ; 0,999

Y

Nella quarta colonna è riportato il valore –ln(-ln (Ppi)).

La parte di tabella in blu serve per la costruzione della carta probabilistica.

Successivamente nella successiva colonna si riportano i valori xi (piogge in esame) non ordinate in maniera

crescente ma riportata nell’ordine come essa sono state fornite (cronologicamente, per anno) e nella

colonna adiacente la variabile standardizzata Y= α(X-ε).

A questo punto è possibile effettivamente riportare su carta probabilistica doppio esponenziale la CDF

teorica ottenuta per la coppia di parametri stimata e la cdf campionaria calcolata secondo la formula di

Weibull.. Pertanto di seguito si riportano i confronti su carta probabilistica doppio esponenziale tra la CDF

teorica e la frequenza cumulata campionaria per la serie dei massimi annuali delle altezze di precipitazione

di durata 3,6,12,24 h. Confronto CDF teorica con CDF campionaria 5

4

0,999 3

0,998

0,99 Y

0,98 2 di

0,95 Valore

0,9 1

0,8

0,7

0,6 0

0

0,4

0,3

0,2 -1

0,1 -2

0 20 40 60 80 100

Pioggia (mm)

Figura 1: confronto CDF teorica con CDF campionaria

Per la serie plotting position (CDF campionaria calcolata secondo la formula di Weibull) si utilizzano come

valori x i valori delle piogge ordinati in maniera crescente e come valori y –ln(-ln(Ppi). 14

Per la serie CDF teorica ottenuta per la coppia di parametri stimata come valori x i valori delle piogge non

ordinati (cronologicamente) e come valori y i valori della variabile standardizzata.

Si utilizza lo stesso procedimento per i valori di pioggia relativi a 3h, 6h, 12h, 24h, ottenendo:

3h 5

4

0,999 3

0,998 Y

0,99

0,98 di

2

0,95 Valore

0,9 1

0,8

0,7

0,6 0

0

0,4

0,3

0,2 -1

0,1 -2

0 50 100 150 200

Pioggia (mm)

Figura 2: confronto CDF teorica con CDF campionaria per valori di pioggia relativi a 3h

6h 5

4

0,999 3

0,998

0,99 Y

0,98 2 di

0,95 Valore

0,9 1

0,8

0,7

0,6 0

0

0,4

0,3

0,2 -1

0,1 -2

0 50 100 150 200 250

Pioggia (mm)

Figura 3: confronto CDF teorica con CDF campionaria per valori di pioggia relativi a 6h

12h 5

4

0,999 3

0,998

0,99 Y

0,98 2 di

0,95 Valore

0,9 1

0,8

0,7

0,6 0

0

0,4

0,3

0,2 -1

0,1 -2

0 50 100 150 200 250 300 350

Pioggia (mm)

Figura 4: confronto CDF teorica con CDF campionaria per valori di pioggia relativi a 12h 15

24h 6

5

4

0,999 Y

3

0,998 di

0,99

0,98 2 Valore

0,95

0,9 1

0,8

0,7

0,6 0

0

0,4

0,3

0,2 -1

0,1 -2

Pioggia (mm)

0 100 200 300 400 500 600

Figura 5: confronto CDF teorica con CDF campionaria per valori di pioggia relativi a 24h

2.3 Stima parametri della distribuzione di Gumbel con il metodo della massima

verosimiglianza

Per una serie (quella relativa ad una durata di 3 ore) si sono stimati i parametri della distribuzione

utilizzano il metodo della massima verosimiglianza (si utilizza la macro fornita), ottenendo:

α ε

0,0212 107,55

Alternativamente, poiché il parametro α compare sia nel termine a destra che in quello a sinistra della prima

equazione del sistema è necessario risolvere l’espressione in maniera iterativa.

Come valori iniziali del parametro si consideri quello stimato con il metodo dei momenti:

α1 =0,039

Sostituendo nel termine a destra si ottiene un nuovo valore per α

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