Esame fisica

GRANDEZZE

Definiamo ​ grandezze scalari quelle grandezze che, stabilita una unità di misura, sono completamente caratterizzate da

un numero che rappresenta il rapporto tra la grandezza considerata e l’unità di misura. Definiamo invece ​ grandezza

vettoriale una grandezza per definire la quale bisogna dare, oltre a un ​ numero (​

modulo del vettore​

), anche una

direzione e un ​ verso​

. Sono grandezze scalari, per esempio, il volume, la massa, l’energia; sono grandezze vettoriali lo

spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza e così via. Si pone a questo punto il problema della rappresentazione

matematica delle grandezze vettoriali. Una rappresentazione intuitivamente efficace è quella geometrica: essa consiste

nel rappresentare un vettore mediante un segmento orientato, la cui direzione e verso sono quelli della grandezza

vettoriale e la cui lunghezza è proporzionale al modulo del vettore.

Tramite questo si può fare la somma e la differenza tra vettori. Consideriamo due vettori aventi lo stesso punto di

applicazione (origine). Se i vettori non hanno la stessa origine, uno di essi (o entrambi) verrà trasportato parallelamente

a se stesso fino a che le origini coincidano. Dati i due vettori ​ v​

e ​ v​

, la loro somma è data dal vettore ​ v​

costruito dalla

1​ 2​ 3 ​

diagonale principale del parallelogramma che ha per lati v

​ ​

e ​ v​

.

1 ​ 2​

La somma dei due vettori con il metodo analitico: v

​ ​ =v​ +v​ , ​ v​ =v​ +v​

3x​ 1x​ 2x​ 3y​ 1y​ 2y

In generale nello spazio tridimensionale ha componenti: v​ =v​ +v​

3x​ 1x​ 2x

v​ =v​ +v​

3y​ 1y​ 2y

v​ =v​ +v​

3z​ 1z​ 1z

La differenza tra i vettori ​ v

​ e ​ v​ è data dal vettore ​ v​

. Il vettore differenza è rappresentato dall’altra diagonale del

1 2 3​

parallelogramma di lati ​ v

​ e v

​ ​

.

1​ 2​

Il prodotto di due vettori può venire definito in modo da dare luogo a una quantità scalare oppure ad una quantità

vettoriale. Nel primo caso il prodotto si dice ​ scalare ​

e nel secondo ​ vettoriale​

. Dati due vettori si definisce ​ prodotto

scalare dei due vettori la quantità scalare che si ottiene moltiplicando tra loro i moduli dei due vettori e moltiplicando

questo prodotto per il coseno dell’angolo formato dai due vettori: ​ v​ * v​

=​

v​ v​ cos(a)

1​ 2​ 1​ 2​

Un esempio di un prodotto scalare è il lavoro.

Il ​ prodotto vettoriale ​

dei due vettori ​ v​ e ​ v​ è un vettore ​ v​ così definito: il modulo di ​ v​ è dato dal prodotto dei

1 2 ​ 3 3

moduli dei vettori v

​ ​ e v

​ ​ per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori: ​ v​

=v​ v​ sen(a).

1​ 2​ 3​ 1​ 2​

CINEMATICA

La cinematica studia i moti (cioè una posizione che varia nel tempo) dei corpi indipendentemente dalle cause che li

generano. Viene utilizzato il concetto di ​ punto materiale​

, cioè un oggetto di dimensione molto piccole rispetto al

sistema. Detto questo si definisce ​ traiettoria del moto ​ la linea descritta dal punto durante il suo moto. Qualora la

traiettoria sia nota, per descrivere completamente il suo moto basta conoscere la posizione del punto lungo la traiettoria

in ogni istante. Se indichiamo con ​ s il tratto di traiettoria percorso dal punto P nel tempo ​ t

,

​ il moto è descritto quando

si conosca la relazione tra ​ s e

​ t

​ ​ , che prende il nome di l

​ egge oraria​

: ​ s=s(t)​ .

Se viceversa la traiettoria non è assegnata, per descrivere il moto del punto P bisogna indicare la sua posizione nello

spazio istante per istante. È, quindi, sufficiente conoscere le tre coordinate del punto P rispetto ad un sistema di assi

cartesiani assunto come fisso. Il moto in questo caso viene descritto mediante le tre funzioni del tempo: ​ x=x(t), y=y(t),

z=z(t)​ , che costituiscono la proiezione della legge oraria sui tre assi cartesiani. La conoscenza della legge oraria contiene

quindi in sé anche la conoscenza della traiettoria. Il tratto di traiettoria, o ​ spostamento s​

, è in generale una grandezza

vettoriale, cui pertanto si applicano le regole del calcolo vettoriale.

Velocità (m/s)

Si definisce v

​ elocità scalare media​ nell’intervallo di tempo (​ delta)t=t​

-t​

:

2​ 1​

La ​ velocità scalare istantanea del del corpo in movimento si ottiene quando l’intervallo di tempo diventa molto

piccolo, al limite infinitesimo. Essendo un vettore, il modulo è data dalla legge descritta sopra, la direzione è quella della

tangente ​ alla traiettoria nel punto considerato e il verso è quello che segue la traiettoria. In forma vettoriale:

Accelerazione (m/s​

)

2​

È la variazione della velocità in un determinato istante di tempo e si definisce a

​ ccelerazione media​

:

Mentre l’​ accelerazione istantanea​

, quando l'intervallo di tempo è infinitesimo, è:

Se l’accelerazione è maggiore di zero, si avrà un’accelerazione, mentre se è minore di zero si avrà una decelerazione

(rallentamento).

Leggi orarie

Il moto rettilineo uniforme​

: quando un punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilinea con velocità

costante in modulo, verso e direzione. La sua legge oraria è data dalla formula:

Il moto rettilineo uniformemente accelerato​

: quando un punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilinea

con accelerazione costante in modulo, verso e direzione. La sua legge oraria è data dalla formula:

Graficamente è una parabola e la sua concavità è data dal modulo dell’accelerazione.

Il moto circolare uniforme​

: quando il punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare con velocità costante

in modulo, in verso (quello della traiettoria) e in direzione (tangente alla circonferenza). Possiamo definire la ​ velocità

angolare​ :

E l’​ accelerazione angolare​ :

LE FORZE E LE LEGGI DELLA DINAMICA

Le forze

Al concetto generale di ​ forza ​

si perviene mediante un processo di astrazione partendo dall’idea intuitiva di sforzo

muscolare. L’osservazione personale mostra che, ogni volta che interveniamo su un oggetto fermo mediante uno

sforzo, l’oggetto si mette in moto, oppure si deforma, se vincolato. E se l’oggetto è in moto, la sua velocità risulta

alterata nel valore o nella direzione o in entrambe. Riterremo che una forza, di qualsivoglia origine o natura, agisca ogni

volta che si assiste ad un cambiamento dello stato di moto di un corpo o ad una deformazione del corpo stesso. Tutte le

forze sono tipiche grandezze vettoriali, dato che la loro azione è legata anche ad una direzione ed un verso e quindi ad

esse si applicano le regole del calcolo vettoriale. Per quanto riguarda la misura delle forze è possibile procedere in due

modi: quello ​ statico​

, basato sulla deformazione prodotta su un corpo (per esempio l’allungamento di una molla);

quello ​ dinamico​ , basato sull’osservazione dei cambiamenti prodotti nello stato di moto di un corpo

I Principi della Dinamica

La Meccanica classica o Newtoniana è basata sui tre principi della dinamica:

I° principio o ​ principio d’inerzia​

: ogni corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché

forze esterne ad esso non intervengano a modificarne lo stato di moto. I sistemi in cui vale tale principio vengono

definiti s

​ istemi di riferimento inerziali​

: F

​ =0​

.

II° principio: l’accelerazione subita da un corpo è in ogni istante proporzionale alla forza agente su di esso. Tale

principio viene solitamente descritta come il prodotto tra un'accelerazione ed una massa, detta anche ​ massa inerziale e

rappresenta la quantità di materia presente nel corpo.

III° principio o ​ principio di azione e reazione​ : dati due corpi isolati A e B, se il corpo A esercita una forza ​ F sul corpo B,

il corpo B esercita su A la forza ​ -F​

, cioè una forza avente il modulo, la direzione nonché la retta di applicazione di ​ F​

, ma

con i verso opposto. Questo principio ha importanti conseguenze per lo studio dei moti dei sistemi costituiti da più

corpi. La conseguenza più diretta è il ​ teorema di conservazione della quantità di moto​ . Si definisce ​ quantità di moto ​ di

un corpo di massa ​ m​ che si muove con velocità v

​ ​ la grandezza vettoriale:

inoltre chiamiamo ​ sistema isolato ​ un sistema soggetto a sole forze interne. Il teorema di conservazione della quantità di

moto afferma che ​in un sistema isolato la quantità di moto totale del sistema si conserva​. Mostriamo come questo

teorema sia la conseguenza immediata del terzo principio della Dinamica. Consideriamo per semplicità un sistema

isolato costituito da due corpi puntiformi A e B.

Per il terzo principio, se ​ F

​ è la risultante delle forze che B esercita su A, ​ F

​ = -F​ è la risultante delle forze che A

AB BA ​ AB

esercita su B. Dal secondo principio della dinamica e dalla definizione di accelerazione abbiamo che:

Teorema dell’impulso

Definiamo innanzitutto la grandezza vettoriale ​ impulso di una forza che agisce costante nel tempo; nel S.I. L’impulso

si misura in N s (Newton per secondo). Tenendo conto di questo, della definizione del II principio della Dinamica e

della definizione di accelerazione possiamo ottenere il teorema dell’impulso

Il teorema dell’impulso viene annunciato affermando che ​un impulso ​ I ​ applicato a un corpo provoca una variazione di

quantità di moto pari all’impulso applicato​.

Massa, peso e densità

Mentre la massa è una proprietà intrinseca di un corpo che non varia nello spazio e nel tempo, il peso è una proprietà

dei corpi che dipende dalla posizione del corpo rispetto al centro della Terra. Infatti, il peso non è altro che la forza con

cui una massa ​ m ​ viene attirata dalla massa terrestre per effetto della gravitazione. È chiaro pertanto che la massa e peso

sono due grandezze fisiche ​ diverse​

, legate fra loro dalla reazione:

detta ​ forza peso​

, che è un caso particolare del secondo principio della Dinamica quando per l’accelerazione generica ​ a

si prenda in considerazione l’accelerazione di gravità ​ g (​ g=9,81 m/s​ ). Invece, la massa ​ m è una massa (o quantità di

2​

materia) che risente della, o provoca la, forza di gravità che quindi chiamiamo m

​ assa gravitazionale​

.

Dovendo caratterizzare un mezzo omogeneo e continuo (solido, liquido o gassoso) è in generale preferibile conoscere la

sua densità. Si definisce dunque ​ densità assoluta d di un corpo il rapporto tra la massa del corpo e il volume

occupato V:

La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è il k

​ g/m​ .

3​

DALLA FORZA ALLA LEGGE ORARIA

Le leggi della Dinamica, introducendo il concetto di forza, stabiliscono una connessione di tipo causale tra il moto di

un corpo e le forze che su di esso agiscono. In questa relazione causale interviene una costante ​ m

,

​ che rappresenta

l’inerzia del corpo ad essere messo in movimento per effetto delle forze esterne.

Si vuole illustrare il procedimento formale con cui si può arrivare a calcolare l’espressione esplicita della legge oraria

seguita da un corpo che si trova soggetto alle forze del campo.

Moto in presenza di una forza costante: sia la forza costante in modulo, direzione e verso in tutti i punti dello spazio

considerato. Per semplicità si sceglie un sistema di assi i modo tale che il piano ​ x-y contenga la direzione di ​ F (asse y) ​

e

della velocità iniziale (asse x). Supponiamo di avere un corpo puntiforme posto ad un’altezza h dal suolo, che, pertanto,

subisce l’azione di una forza peso e che possiede una velocità iniziale del quale si vuole trovare lo spostamento

(traiettoria).

Pertanto il corpo seguirà una traiettoria parabolica data dalla legge scritta sopra.

Moto in presenza di una forza non costante: supponiamo di considerare un campo di forze definito in una direzione

spaziale (asse x) tale per cui la componente della forza nella direzione x sia espressa dalla ​ forza elastica data dal

prodotto negativo tra la costante ​ k (costante di forza della molla) e uno spostamento “​

x” e rappresenta la forza di

reazione che un corpo elastico esercita quando viene deformato di un tratto x

​ ​ dalla condizione di riposo.

LAVORO, ENERGIA, POTENZA E RENDIMENTO

I concetti di lavoro ed energia vengono introdotti in Meccanica, dato che, mediante il loro impiego, si possono

discutere e risolvere in modo efficace molte situazioni complesse. In generale si dice che una forza compie lavoro

quando il punto di applicazione della forza si sposta. Se la forza ​ F è costante in modulo, direzione e verso e il suo punto

di applicazione P si sposta di un tratto rettilineo ​ s

,

​ formante un angolo con la direzione di ​ F

,

​ si definisce ​ lavoro L​

,

compiuta dalla forza F

​ ,

​

il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento:

Come si vede subito il lavoro può essere sia ​ positivo (o ​ motore​ ) oppure ​ negativo ​ (o ​ resistente) a seconda che,

rispettivamente l’angolo sia minore 90° o maggiore di 90°, oppure nullo se è uguale a 90°. Nel caso in cui la forza non

sia uguale in ogni punto del campo, oppure che lo spostamento della forza avvenga lungo una traiettoria non rettilinea,

si definisce il lavoro compiuto da una forza ​ F nello spostamento dalla posizione iniziale A alla posizione finale B, lungo

il cammino ​ l​

, la somma di tantissimi lavori elementari eseguiti, avendo suddiviso il cammino in brevissimi tratti

rettilinei lungo ognuno dei quali la forza rimane praticamente costante. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura

del lavoro è il j

​ oule ​

(​

J

)

​

.

Inoltre abbiamo il concetto di energia: si parla di ​ energia ​

di un corpo o di un sistema quando si allude alla ​ capacità

che esso ha di compiere lavoro​

. Energia e lavoro sono grandezze omogenee e si misurano con la stessa unità. Esistono

varie forme di energia, come per esempio se un corpo, avente una certa massa ​ m​

, si muove con un certa velocità ​ v​

,

questo corpo possiede, in virtù del suo moto, una ​ capacità di compiere lavoro o energia cinetica​ , tanto è vero che per

fermare il corpo bisogna compiere lavoro meccanico.

Le varie forme di energia si manifestano o compiendo lavoro meccanico o nell’atto di trasformarsi da una forma di

energia ad un’altra. Gran parte della fisica consiste proprio nello studio delle modalità e delle leggi che regolano queste

trasformazioni, alla base delle quali sta il ​ principio di conservazione dell’energia​

. Questo principio stabilisce che, ​ in

qualsiasi fenomeno fisico in cui vi sia una trasformazione di una forma di energia ad un’altr​a (attraverso

l’esecuzione o meno di lavoro meccanico), l

​ ’energia totale si conserva sempre​

.

Forme di energia:

Energia cinetica​ : un corpo di massa ​ m

,

​ che si muove con velocità ​ v possiede una certa energia cinetica E​ . Questa è

K​

legata alla massa e al modulo della velocità del corpo con la seguente formula:

Consideriamo un corpo puntiforme di massa ​ m inizialmente fermo. Supponiamo che al corpo sia applicata una forza

F​

, costante in modulo, direzione e verso. Sotto l'azione della forza il corpo si muove nella direzione della forza con

un'accelerazione costante ​ a=​

F

/

​

​

m​

. Pertanto il corpo acquista velocità e, quindi, energia cinetica. Per il principio

generale di conservazione dell’energia, l’energia cinetica che il corpo acquista con l’aumento di velocità deve essere

uguale al lavoro compiuto dalla forza, che è responsabile del moto.

L’uguaglianza esprime il ​ teorema dell’energia cinetica​

. Si vuole dimostrare che il teorema dell’energia cinetica

discende dal 2° principio della Dinamica e dall’espressione dell’energia cinetica; per semplicità la dimostreremo nel caso

in cui il corpo si muova di m

​ oto rettilineo uniformemente accelerato​

.

Precisazione: se le forze sono di natura tale per cui ​ il lavoro non dipende dal percorso eseguito, ma solo dalla posizione dei

punti iniziale A e finale B​ , allora si dice che le forze sono conservative​

, viceversa, cioè se ​ se le forze dipendono dal

percorso eseguito ​ allora si dice che le forze sono d

​ issipative​

.

Energia potenziale​ : per un campo conservativo, essendo il lavoro compiuto per andare dal punto A al punto B una

quantità che dipende solo dagli estremi A e B della traiettoria, si può introdurre una funzione ​ U

,

​ tale per cui il lavoro si

può esprimere come differenza dei valori assunti dalla funzione ​ U​ nei punti A e B:

​

La funzione ​ U prende il nome di ​ energia potenziale​

. Se le forze che fanno muovere un corpo sono tutte conservative,

per cui si può definire un’energia potenziale, allora abbiamo che:

Abbiamo trovato dunque che la somma dell’energia cinetica più l’energia potenziale di un corpo che si muove in un

campo di forze conservative è costante. Quest’ultima formula prende il nome di ​ teorema di conservazione<