Esame di Meccanica Applicata, Zasso

X X Y Y

i=1 j=1

q , q , … , q

Siano i gradi di libertà del sistema ed essendo gli spostamenti dei punti

1 2 n P q , q , … , q

( )

=P

funzioni dei gradi di liberta ( ) per DIFFERENZIAZIONE è possibile

ij ij 1 2 n

riscrivere gli spostamenti come

δ P δP δP

ij X ijX ij X

∑δ P q q q

= ∗δ + ∗δ +…+ ∗δ

i j 1 2 n

δ q δ q δ q

X 1 2 n

E riscrivendo il lavoro ottengo

n

n n n

( )

δ P δ P

c

∑ ∑ ∑ ∑

ijX ijY

F F δ q Q δ q

+ =

i j i j k k

δ q δ q

X Y

k=1 i=1 j=1 k k k=1

Q k −esima

Dove è la LAGRANGIANA secondo la coordinata libera

• N.B. Ricorda sempre che il lavoro virtuale per le reazioni vincoli è NULLO in quanto i vincoli

sono fissi e gli spostamenti infinitesimi sono PARALLELI alle forze ( di reazione ).

• N.B. IMPORTANTISSIMO: LA LAGRANGIANA è sempre la forza moltiplicata per lo

k −esima

spostamento infinitesimo derivato per la coordinata libera.

PLV IN DINAMICA E BILANCIO DI

POTENZE

• Il principio dei lavori virtuali in problemi di dinamica si scrive passando per l’ equazione di D’

Alembert quindi facendo figurare le forze di inerzia tra quelle statiche

n n

n

c c ́

∑ ∑ ∑

δl= F × P a × δ G ω × δ θ

+ −m −J

ij ij i g i G i i

i i

i=1 j=1 i=1

Come nel caso dell’ equazione per la statica possiamo DIFFERENZIARE gli spostamenti e

x, y

scriverli in direzione sino ad ottenere un’ equazione del tipo

n n

∑ ∑

Q δ q Q δ q

+

K k K K

¿

k=1 k=1

• Un ulteriore strumento per lo studio della dinamica è IL BILANCIO DI POTENZE che ha il

grande limite di offrire una soluzione solo in caso di sistemi ad UN GRADO DI LIBERTA’ in

quanto consiste nello scrivere un’ equazione scalare in funzione della coordinata libera.

• Il bilancio di potenze sostiene che in ogni istante la sommatoria delle potenze attive e

reattive deve annullarsi

• L’ equazione discende dal metodo del PLV per la dinamica, basta semplicemente dividere

δx

δt =δv

per un infinitesimo lo spostamento virtuali sino ad ottenere una velocità ,

δt

P=Fv

ricordando che si può scrivere la potenza come si giunge all’ equazione

n n

δq δ q

δl ∑ ∑

k K

Q Q

= + =0

K K

δt δt δt

¿

k=1 k=1

In dettaglio osserviamo la componente della potenza legata alle inerzie

́

n

n δ q δ G δ θ

c

∑ ∑

K i i

Q a × ω × →W a v ω ω

= −m −J ́ =−m −J ́

K i g G i G G G

¿

δt δt δt

i i

¿

k=1 i=1 W +W =0

¿

• Ricorda che il discorso vale sia per forze che per COPPIE agenti, di inerzia e non.

ENERGIA CINETICA DI UN CORPO

• L’ energia cinetica di un corpo di scrive sfruttando la scrittura di Rivals rispetto il baricentro

1 1

2

∫ ∫

E V ρδV V V ρδV

= =

K P P P

2 2 ⋀

V V P−G

( )

=V +ω

Riscrivendo rispetto il baricentro si ha che

P P G

1 12

( )

∫ ⋀ ⋀

E V P−G V ω P−G ρδV

( )( )

( ) ( )

= +ω + =

K G G

2 ∫ ∫ ∫ ∫

⋀ ⋀ ⋀ ⋀

V ×V ρδV V × V P−G ρδV ω P−G × V ρδV ω P−G × ω P−G ρδ

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ +ω + +

G G G G G

Il secondo ed il terzo termine sono nulli in quanto l’ integrale corrisponde al momento

statico di inerzia rispetto il baricentro ( nulli per definizione )

Inoltre si può notare che l’ ultimo integrale corrisponde al momento di inerzia baricentrico

Riscriviamo l’ energia cinetica come segue

1 1

2 2

E V m+ J ω

=

K G G

2 2

TEOREMA DELL’ ENERGIA

CINETICA

• Il teorema dell’ energia cinetica discende dal BILANCIO DI POTENZE in quanto si può

esprimere la potenza legata alle forze di inerzia come derivata dell’ energia cinetica nel

tempo 1 1 1 1

2 2

E V m+ J ω V × V J ω ×ω

= = +

K G G G G G

2 2 2 2

Derivando rispetto al tempo si ha

δ E 1 1

K m a V a J ω ω+ ω ω a J ω ω=−W

( ) ́ ́ ́

( )

= +V + =mV + ¿

G G G g G G G G

δt 2 2

• Si conclude che è possibile riscrivere il bilancio di potenze come

δ E K

W − =0

δt

• Il bilancio scritto in questo modo fa notare come istante per istante la somma delle potenze

agenti sia uguale alla derivata dell’ energia cinetica, se fosse positiva anche la variazione di

energia cinetica lo sarebbe. Le inerzie si “caricano“ quando sul sistema agisce una potenza

positiva e si “scaricano” quando sul sistema agisce una potenza negativa ( l’ energia che

liberano scaricandosi la cedono al sistema, ecco che nasce il volano dell’ automobile )

EQUAZIONI DI LAGRANGE

• L’ equazione di Lagrange permette di riscrivere il principio dei lavori virtuali in funzioni delle

grandezze energetiche : Energia cinetica, Potenziale, Funzione dissipativa

• Ricordiamo che per quelle forze definite conservative vale la scrittura del lavoro come

differenza di potenziale o per meglio dire il lavoro compiuto da una forza conservativa da

A →B equivale alla differenza di potenziale tra i due estremi.

F

Ipotizzando che sia conservativa vale la scrittura

δU δU

δl=F × δP=δ U = +

δx δy

• I potenziali che ci interessano sono quelli gravitazionale ed elastico, il primo si può

∫

L xδx=−mgh

= −mg

esprimere come integrale del lavoro della forza peso N.B. il

g

segno meno c’è perché la forza peso si OPPONE all’ incremento di quota

δU =−mgh

Possiamo scrivere quindi

Il lavoro della forza elastica si ottiene dalla definizione di forza elastica

−1 2

∫

L k L

= −kxδx= , il motivo del segno meno è lo stesso del potenziale

K 2

gravitazionale −1 2

δU k L

=

Possiamo scrivere quindi 2 F=−r x

́

• La funzione dissipativa è legata agli smorzatori per i quali vale la relazione ed

1 2

D= r x

́

andando a scriverne la funzione si ottiene 2

U V

• N.B. Sostituiamo il potenziale con l’ ENERGIA POTENZIALE ricordando la

V =−U

relazione δU −δV

F F

= =

Quindi se prima ora si ha che

x x

δx δx

• Sia che si tratti di potenziale elastico o gravitazionale potremo scrivere la LAGRANGIANA

δV δx δV δy δx δy

Q = + =−F −F

rispetto il generico grado di libertà come K X Y

δx δ q δy δ q δ q δ q

POT k k k k

• Tirando le somme è possibile scrivere

δ E δ E

( )

δ δV δD

K K

− + + =Q K

δt δ q δq δq δ q

́ ́

La LAGRANGIANA che rimane a destra dell’ uguale è legata alle forze tempo varianti in

quanto a sinistra dell’ uguale sono stati inserite le lagrangiane di : energia potenziale,

funzione dissipativa, energia cinetica.

MODELLI DI ATTRITO

• L’ attrito è una forza di contatto DISSIPATIVA che si oppone all’ insorgere del moto relativo

tra due corpi.

• Qualora la velocità relativa tra due corpi a contatto fosse nulla il modello di attrito di

interesse è quello statico; il modello Coulombiano lo descrive con una DISUGUAGLIANZA

F ≤ μ N

a s

• NON è un’ equazione, il che suggerisce che per il calcolo della forza di attrito sarà

necessario scrivere un bilancio all’ equilibrio, infatti il verso della forza di attrito statico si

definisce dall’equilibrio. f N

• Il valore massimo coincide con s

• Superato il valore di attrito statico è necessario definire

un nuovo modello, detto di attrito DINAMICO o

Coulombiano di attrito dinamico. In questo caso esiste

un moto relativo tra i due corpi a contatto e per l’

appunto l’espressione della forza di attrito è figlia della

velocità relativa.

V 2−1

∣ ∣

F N

=μ

d d 1 ∣ ∣

V

1 2−1

Si nota innanzitutto che la forza è descritta da un’ EQUAZIONE inoltre che il verso e la

V

direzione della forza di attrito dipendono dalla velocità relativa 2−1

V −V

Tale velocità si può definire come ossia come la velocità PERCEPITA da un

2 1

1

osservatore a cavallo del corpo . Per definizione di reazioni vincolari dovranno valere

le seguenti equazioni di equilibrio

T ; N

=−T =N

2 1 2 1

• Riassumendo, la forza di attrito dinamico ha come modulo una frazione della reazione

normale al contatto e come direzione/verso quello dettato dalla velocità relativa

V F μ N

=0

• Ipotizzando che il corpo 2 fosse fermo ( ) la varrebbe e sarebbe

2 d d 1

V

opposta al verso di 1

V =0

• Nel caso in cui notiamo che la forza di attrito avrebbe il compito di TRASCINARE

1

1 2

il corpo sul V 0

−V >o<

• Negli altri casi si potrà avere 2 1

• La potenza della forza di attrito sarà SEMPRE NEGATIVA in quanto verrà dissipata e si può

scrivere come ∣ ∣

W ×V ×V × V V →−μ N V

( ) ( )

=T +T =−T −V =−T

ATTRITO 1 1 2 2 1 2 1 1 2−1 d 1 2−1

• N.B. Il modello di attrito dinamico si basa su un’ ipotesi abbastanza forte, ossia che la

f

velocità relativa non assuma valori bassi in quanto l’ andamento di in funzione di

d

V 0

dimostra che nell’ intorno dello l’ andamento è tutt’ altro che costante. In quell’

2−1

intorno, infatti, piccole variazioni di velocità relativa causano enormi variazioni della forza di

contatto.

• Esiste un ulteriore modello di attrito, definito come RESITENZA AL