Esame di Meccanica Applicata, Zasso

Principio di D’Alembert

Il principio di D’Alembert consente di riscrivere un problema di dinamica in uno di statica equivalente grazie all’introduzione di una forza fittizia, detta forza di inerzia.

Dal secondo principio della dinamica (Newton) si può legare l’accelerazione di un corpo F = ma alla sua massa ed alla forza che vi si applica F_a = −m.

Segue la scrittura della forza di inerzia come ¿

L’equilibrio corrispondente di forze statiche di un problema di dinamica vale ΣF + ΣF_i = 0 ¿

D’Alembert applicato ad un corpo rigido

Presa come esempio l’asta vincolata a terra che ruota attorno ad un suo estremo e ξ definendo la coordinata parallela all’asta possiamo scrivere:

ä_t = ξ Θ̈    a_n = ξ Θ̇²

Segue che la forze di inerzia corrispondenti valgono:

dF_t = −m da_t = −m ξ Θ̈ / L

dF_n = −m da_n = −m ξ Θ̇² / L

Integrando sulla lunghezza dell’asta si ottiene:

∫₀^LdF_t = −∫₀^L(m/L) Θ̈ ξ dξ = −mL Θ̈ / 2

∫₀^LdF_n = −∫₀^L(m/L) Θ̇² ξ dξ = −mL Θ̇² / 2

In conclusione la forza di inerzia si può scrivere come l’accelerazione del baricentro cambiata di segno per la massa del corpo rigido.

Stesso discorso si può fare per la coppia di inerzia:

C_P−G = −∫₀^Lξ dF = −∫₀^L(m/L) Θ̈ ξ²dξ = −mL² Θ̈ / 3 ¿

Trattandosi di un’asta (momento di inerzia baricentrico pari a mL²/12) si deduce che la coppia di inerzia si può riscrivere come −J_G Θ̈ ¿

Riassumendo le equazioni cardinali della dinamica (principio di D’Alembert), le condizioni necessarie affinché il corpo rigido (o sistema di corpi rigidi) sia in equilibrio sono:

ΣF + ΣF_i = 0    ΣC_P−O + ΣΛ_F + ΣC_i = 0 ¿

Principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali (PLV) è un’alternativa alla scrittura dei bilanci delle forze statiche per studiare l’equilibrio di un corpo rigido.

Si scrivono n equazioni indipendenti a sistema dove n è il numero dei GdL del sistema e tale scrittura viene annullata affinché sia verificato che il corpo sia in equilibrio.

La definizione di lavoro virtuale è la seguente: δl = F × δP, con δP spostamento infinitesimo del punto al quale è applicata la forza.

In generale si può scrivere:

δl = Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^n_cF_ij × δP_ij

Sia la forza che lo spostamento possono essere scomposti lungo x, y; ne deriva che F_ij = F_iX + F_jY e P_ij = P_iX + P_jY.

δl = Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^n_cF_ijX × δP_ijX + F_ijY × δP_ijY

Siano q₁, q₂, …, q_n i gradi di libertà del sistema ed essendo gli spostamenti dei punti P_ij funzioni dei gradi di libertà (q₁, q₂, …, q_n), per differenziazione è possibile riscrivere gli spostamenti come:

δP_ijX = (δP_ijX/δq₁) × δq₁ + (δP_ijX/δq₂) × δq₂ + … + (δP_ijX/δq_n) × δq_n

E riscrivendo il lavoro ottengono:

Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^n_cF_ijX(δP_ijX/δq_k)δq_k + F_ijY(δP_ijY/δq_k)δq_k = Σ_k=1ⁿQ_kδq_k

Dove Q_k è la lagrangiana secondo la coordinata libera k-esima.

N.B. Ricorda sempre che il lavoro virtuale per le reazioni vincoli è nullo in quanto i vincoli sono fissi e gli spostamenti infinitesimi sono paralleli alle forze (di reazione).

N.B. Importantissimo: la lagrangiana è sempre la forza moltiplicata per lo spostamento infinitesimo derivato per la coordinata libera k-esima.

PLV in dinamica e bilancio di potenze

Il principio dei lavori virtuali in problemi di dinamica si scrive passando per l’equazione di D’Alembert, quindi facendo figurare le forze di inerzia tra quelle statiche.

δl = Σ_i=1ⁿ Σ_j=1^n_cF_ij × δP_ij − Σ_i=1^n_cm_ia_gi × δG_i − J_Giω̇_i × δθ_i

Come nel caso dell’equazione per la statica possiamo differenziare gli spostamenti e scriverli in direzione x, y sino ad ottenere un’equazione del tipo:

Σ_k=1ⁿQ_kδq_k + Σ_k=1ⁿQ_Kδq_K ¿

Un ulteriore strumento per lo studio della dinamica è il bilancio di potenze che ha il grande limite di offrire una soluzione solo in caso di sistemi ad un grado di libertà in quanto consiste nello scrivere un’equazione scalare in funzione della coordinata libera.

Il bilancio di potenze sostiene che in ogni istante la sommatoria delle potenze attive e reattive deve annullarsi.

L’equazione discende dal metodo del PLV per la dinamica, basta semplicemente dividere per un infinitesimo δt lo spostamento virtuale sino ad ottenere una velocità, δx/δt = δv, ricordando che si può scrivere la potenza come P = Fv; si giunge all’equazione:

δl/δt = Σ_k=1ⁿQ_kδq_k/δt + Σ_k=1ⁿQ_Kδq_K/δt = 0 ¿

In dettaglio osserviamo la componente della potenza legata alle inerzie:

Σ_k=1ⁿQ_Kδq_k/δt = −Σ_i=1ⁿm_ia_gi × δG_i/δt − J_Giω̇_i × δθ_i/δt → W_i = −m a_Gv_G − J_Gω̇_Gω_G ¿

W + W_i = 0 ¿

Ricorda che il discorso vale sia per forze che per coppie agenti, di inerzia e non.

Energia cinetica di un corpo

L’energia cinetica di un corpo si scrive sfruttando la scrittura di Rivals rispetto il baricentro:

E_K = 1/2 ∫_VV_P × V_PρδV

V_P = V_G + ω × (P−G)

Riscrivendo rispetto il baricentro si ha che:

E_K = 1/2 ∫_V[V_G + ω × (P−G)][V_G + ω × (P−G)]ρδV =

1/2 ∫_VV_G × V_GρδV + ∫_VV_G × [ω × (P−G)]ρδV + ∫_V[ω × (P−G)] × V_GρδV + 1/2 ∫_V[ω × (P−G)] × [ω × (P−G)]ρδV

Il secondo ed il terzo termine sono nulli in quanto l’integrale corrisponde al momento statico di inerzia rispetto il baricentro (nulli per definizione).

Inoltre si può notare che l’ultimo integrale corrisponde al momento di inerzia baricentrico.

Riscriviamo l’energia cinetica come segue:

E_K = 1/2 mV_G² + 1/2 J_Gω_G²

Teorema dell’energia cinetica

Il teorema dell’energia cinetica discende dal bilancio di potenze in quanto si può esprimere la potenza legata alle forze di inerzia come derivata dell’energia cinetica nel tempo.

E_K = 1/2 mV_G² + 1/2 J_Gω_G² = 1/2 mV_G × V_G + 1/2 J_Gω_G × ω_G

Derivando rispetto al tempo si ha:

δE_K/δt = m a_GV_G + J_Gω̇_Gω_G = −W_i

Si conclude che è possibile riscrivere il bilancio di potenze come:

W − δE_K/δt = 0

Il bilancio scritto in questo modo fa notare come istante per istante la somma delle potenze agenti sia uguale alla derivata dell’energia cinetica, se fosse positiva anche la variazione di energia cinetica lo sarebbe. Le inerzie si “caricano” quando sul sistema agisce una potenza positiva e si “scaricano” quando sul sistema agisce una potenza negativa (l’energia che liberano scaricandosi la cedono al sistema, ecco che nasce il volano dell’automobile).

Equazioni di Lagrange

L’equazione di Lagrange permette di riscrivere il principio dei lavori virtuali in funzioni delle grandezze energetiche: energia cinetica, potenziale, funzione dissipativa.

Ricordiamo che per quelle forze definite conservative vale la scrittura del lavoro come differenza di potenziale o per meglio dire il lavoro compiuto da una forza conservativa da A → B equivale alla differenza di potenziale tra i due estremi.

Ipotizzando che F_I sia conservativa vale la scrittura:

δl = F × δP = δU = (δU/δx)δx + (δU/δy)δy

I potenziali che ci interessano sono quelli gravitazionale ed elastico, il primo si può esprimere come integrale del lavoro della forza peso:

L_g = ∫−mgδx = −mgh

N.B. Il segno meno c’è perché la forza peso si oppone all’incremento di quota.

Possiamo scrivere quindi δU = −mgh.

Il lavoro della forza elastica si ottiene dalla definizione di forza elastica:

L_K = ∫−kxδx = −1/2 kL², il motivo del segno meno è lo stesso del potenziale gravitazionale.

Possiamo scrivere quindi δU = −1/2 kL².

F = −rẋ

La funzione dissipativa è legata agli smorzatori per i quali vale la relazione ed andando a scriverne la funzione si ottiene:

D = 1/2 rẋ²

N.B. Sostituiamo il potenziale con l’energia potenziale ricordando la relazione V = −U.

Quindi se prima F = δU/δx ora si ha che F = −δV/δx.

Sia che si tratti di potenziale elastico o gravitazionale potremo scrivere la lagrangiana rispetto il generico grado di libertà come:

Q_POT = (δV/δx)(δx/δq_k) + (δV/δy)(δy/δq_k) = −F_X(δx/δq_k) − F_Y(δy/δq_k)

Tirando le somme è possibile scrivere:

Q_K = δE_K/δq̇ − δE_K/δq + δV/δq + δD/δq̇

La lagrangiana che rimane a destra dell’uguale è legata alle forze tempo varianti in quanto a sinistra dell’uguale sono state inserite le lagrangiane di: energia potenziale, funzione dissipativa, energia cinetica.

Modelli di attrito

L’attrito è una forza di contatto dissipativa che si oppone all’insorgere del moto relativo tra due corpi.

Qualora la velocità relativa tra due corpi a contatto fosse nulla il modello di attrito di interesse è quello statico; il modello Coulombiano lo descrive con una disuguaglianza:

F_a ≤ μ_sN

Non è un’equazione, il che suggerisce che per il calcolo della forza di attrito sarà necessario scrivere un bilancio all’equilibrio, infatti il verso della forza di attrito statico si definisce dall’equilibrio.

Il valore massimo coincide con f_sN.

Superato il valore di attrito statico è necessario definire un nuovo modello, detto di attrito dinamico o Coulombiano di attrito dinamico. In questo caso esiste un moto relativo tra i due corpi a contatto e per l’appunto l’espressione della forza di attrito è figlia della velocità relativa.

F = μ_dN (V₂₋₁/|V₂₋₁|)

Si nota innanzitutto che la forza è descritta da un’equazione inoltre che il verso e la direzione della forza di attrito dipendono dalla velocità relativa V₂₋₁.

Tale velocità si può definire come V₂ − V₁ ossia come la vel