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3

mL

Trattandosi di un’ asta ( momento di inerzia baricentrico pari a ) si deduce che la

12

́

C Θ

=J

coppia di inerzia si può riscrivere come ¿ G

• Riassumendo le equazioni cardinali della dinamica ( principio di D’ Alembert ), le condizioni

necessarie affinchè il corpo rigido ( o sistema di corpi rigidi ) sia in equilibrio sono :

∑ F F ∑ P−O Λ F C ∑C

+∑ =0 ( ) +∑ + =0

¿

i ¿

i i

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

• Il principio dei lavori virtuali ( PLV ) è un’ alternativa alla scrittura dei bilanci delle forze

statiche per studiare l’ equilibrio di un corpo rigido.

n n GdL

• Si scrivono equazioni indipendenti a sistema dove è il numero dei del

sistema e tale scrittura viene annullata affinché sia verificato che il corpo sia in equilibrio

δl=F × δP δP

• La definizione di lavoro virtuale è la seguente con spostamento

infinitesimo del punto al quale è applicata la forza

• In generale si può scrivere:

n n

c

∑ ∑

δl= F × P

ij ij

i=1 j=1 x, y

Sia la forza che lo spostamento possono essere scomposti lungo ne deriva che

F F → P P

=F + =P +

ij i j i j ij i j i j

X Y X Y

n n

c

∑ ∑

δl= F × δ P F ×δ P

+

i j i j i j i j

X X Y Y

i=1 j=1

q , q , … , q

Siano i gradi di libertà del sistema ed essendo gli spostamenti dei punti

1 2 n P q , q , … , q

( )

=P

funzioni dei gradi di liberta ( ) per DIFFERENZIAZIONE è possibile

ij ij 1 2 n

riscrivere gli spostamenti come

δ P δP δP

ij X ijX ij X

∑δ P q q q

= ∗δ + ∗δ +…+ ∗δ

i j 1 2 n

δ q δ q δ q

X 1 2 n

E riscrivendo il lavoro ottengo

n

n n n

( )

δ P δ P

c

∑ ∑ ∑ ∑

ijX ijY

F F δ q Q δ q

+ =

i j i j k k

δ q δ q

X Y

k=1 i=1 j=1 k k k=1

Q k −esima

Dove è la LAGRANGIANA secondo la coordinata libera

• N.B. Ricorda sempre che il lavoro virtuale per le reazioni vincoli è NULLO in quanto i vincoli

sono fissi e gli spostamenti infinitesimi sono PARALLELI alle forze ( di reazione ).

• N.B. IMPORTANTISSIMO: LA LAGRANGIANA è sempre la forza moltiplicata per lo

k −esima

spostamento infinitesimo derivato per la coordinata libera.

PLV IN DINAMICA E BILANCIO DI

POTENZE

• Il principio dei lavori virtuali in problemi di dinamica si scrive passando per l’ equazione di D’

Alembert quindi facendo figurare le forze di inerzia tra quelle statiche

n n

n

c c ́

∑ ∑ ∑

δl= F × P a × δ G ω × δ θ

+ −m −J

ij ij i g i G i i

i i

i=1 j=1 i=1

Come nel caso dell’ equazione per la statica possiamo DIFFERENZIARE gli spostamenti e

x, y

scriverli in direzione sino ad ottenere un’ equazione del tipo

n n

∑ ∑

Q δ q Q δ q

+

K k K K

¿

k=1 k=1

• Un ulteriore strumento per lo studio della dinamica è IL BILANCIO DI POTENZE che ha il

grande limite di offrire una soluzione solo in caso di sistemi ad UN GRADO DI LIBERTA’ in

quanto consiste nello scrivere un’ equazione scalare in funzione della coordinata libera.

• Il bilancio di potenze sostiene che in ogni istante la sommatoria delle potenze attive e

reattive deve annullarsi

• L’ equazione discende dal metodo del PLV per la dinamica, basta semplicemente dividere

δx

δt =δv

per un infinitesimo lo spostamento virtuali sino ad ottenere una velocità ,

δt

P=Fv

ricordando che si può scrivere la potenza come si giunge all’ equazione

n n

δq δ q

δl ∑ ∑

k K

Q Q

= + =0

K K

δt δt δt

¿

k=1 k=1

In dettaglio osserviamo la componente della potenza legata alle inerzie

́

n

n δ q δ G δ θ

c

∑ ∑

K i i

Q a × ω × →W a v ω ω

= −m −J ́ =−m −J ́

K i g G i G G G

¿

δt δt δt

i i

¿

k=1 i=1 W +W =0

¿

• Ricorda che il discorso vale sia per forze che per COPPIE agenti, di inerzia e non.

ENERGIA CINETICA DI UN CORPO

• L’ energia cinetica di un corpo di scrive sfruttando la scrittura di Rivals rispetto il baricentro

1 1

2

∫ ∫

E V ρδV V V ρδV

= =

K P P P

2 2 ⋀

V V P−G

( )

=V +ω

Riscrivendo rispetto il baricentro si ha che

P P G

1 12

( )

∫ ⋀ ⋀

E V P−G V ω P−G ρδV

( )( )

( ) ( )

= +ω + =

K G G

2 ∫ ∫ ∫ ∫

⋀ ⋀ ⋀ ⋀

V ×V ρδV V × V P−G ρδV ω P−G × V ρδV ω P−G × ω P−G ρδ

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ +ω + +

G G G G G

Il secondo ed il terzo termine sono nulli in quanto l’ integrale corrisponde al momento

statico di inerzia rispetto il baricentro ( nulli per definizione )

Inoltre si può notare che l’ ultimo integrale corrisponde al momento di inerzia baricentrico

Riscriviamo l’ energia cinetica come segue

1 1

2 2

E V m+ J ω

=

K G G

2 2

TEOREMA DELL’ ENERGIA

CINETICA

• Il teorema dell’ energia cinetica discende dal BILANCIO DI POTENZE in quanto si può

esprimere la potenza legata alle forze di inerzia come derivata dell’ energia cinetica nel

tempo 1 1 1 1

2 2

E V m+ J ω V × V J ω ×ω

= = +

K G G G G G

2 2 2 2

Derivando rispetto al tempo si ha

δ E 1 1

K m a V a J ω ω+ ω ω a J ω ω=−W

( ) ́ ́ ́

( )

= +V + =mV + ¿

G G G g G G G G

δt 2 2

• Si conclude che è possibile riscrivere il bilancio di potenze come

δ E K

W − =0

δt

• Il bilancio scritto in questo modo fa notare come istante per istante la somma delle potenze

agenti sia uguale alla derivata dell’ energia cinetica, se fosse positiva anche la variazione di

energia cinetica lo sarebbe. Le inerzie si “caricano“ quando sul sistema agisce una potenza

positiva e si “scaricano” quando sul sistema agisce una potenza negativa ( l’ energia che

liberano scaricandosi la cedono al sistema, ecco che nasce il volano dell’ automobile )

EQUAZIONI DI LAGRANGE

• L’ equazione di Lagrange permette di riscrivere il principio dei lavori virtuali in funzioni delle

grandezze energetiche : Energia cinetica, Potenziale, Funzione dissipativa

• Ricordiamo che per quelle forze definite conservative vale la scrittura del lavoro come

differenza di potenziale o per meglio dire il lavoro compiuto da una forza conservativa da

A →B equivale alla differenza di potenziale tra i due estremi.

F

Ipotizzando che sia conservativa vale la scrittura

δU δU

δl=F × δP=δ U = +

δx δy

• I potenziali che ci interessano sono quelli gravitazionale ed elastico, il primo si può

L xδx=−mgh

= −mg

esprimere come integrale del lavoro della forza peso N.B. il

g

segno meno c’è perché la forza peso si OPPONE all’ incremento di quota

δU =−mgh

Possiamo scrivere quindi

Il lavoro della forza elastica si ottiene dalla definizione di forza elastica

−1 2

L k L

= −kxδx= , il motivo del segno meno è lo stesso del potenziale

K 2

gravitazionale −1 2

δU k L

=

Possiamo scrivere quindi 2 F=−r x

́

• La funzione dissipativa è legata agli smorzatori per i quali vale la relazione ed

1 2

D= r x

́

andando a scriverne la funzione si ottiene 2

U V

• N.B. Sostituiamo il potenziale con l’ ENERGIA POTENZIALE ricordando la

V =−U

relazione δU −δV

F F

= =

Quindi se prima ora si ha che

x x

δx δx

• Sia che si tratti di potenziale elastico o gravitazionale potremo scrivere la LAGRANGIANA

δV δx δV δy δx δy

Q = + =−F −F

rispetto il generico grado di libertà come K X Y

δx δ q δy δ q δ q δ q

POT k k k k

• Tirando le somme è possibile scrivere

δ E δ E

( )

δ δV δD

K K

− + + =Q K

δt δ q δq δq δ q

́ ́

La LAGRANGIANA che rimane a destra dell’ uguale è legata alle forze tempo varianti in

quanto a sinistra dell’ uguale sono stati inserite le lagrangiane di : energia potenziale,

funzione dissipativa, energia cinetica.

MODELLI DI ATTRITO

• L’ attrito è una forza di contatto DISSIPATIVA che si oppone all’ insorgere del moto relativo

tra due corpi.

• Qualora la velocità relativa tra due corpi a contatto fosse nulla il modello di attrito di

interesse è quello statico; il modello Coulombiano lo descrive con una DISUGUAGLIANZA

F ≤ μ N

a s

• NON è un’ equazione, il che suggerisce che per il calcolo della forza di attrito sarà

necessario scrivere un bilancio all’ equilibrio, infatti il verso della forza di attrito statico si

definisce dall’equilibrio. f N

• Il valore massimo coincide con s

• Superato il valore di attrito statico è necessario definire

un nuovo modello, detto di attrito DINAMICO o

Coulombiano di attrito dinamico. In questo caso esiste

un moto relativo tra i due corpi a contatto e per l’

appunto l’espressione della forza di attrito è figlia della

velocità relativa.

V 2−1

∣ ∣

F N

d d 1 ∣ ∣

V

1 2−1

Si nota innanzitutto che la forza è descritta da un’ EQUAZIONE inoltre che il verso e la

V

direzione della forza di attrito dipendono dalla velocità relativa 2−1

V −V

Tale velocità si può definire come ossia come la velocità PERCEPITA da un

2 1

1

osservatore a cavallo del corpo . Per definizione di reazioni vincolari dovranno valere

le seguenti equazioni di equilibrio

T ; N

=−T =N

2 1 2 1

• Riassumendo, la forza di attrito dinamico ha come modulo una frazione della reazione

normale al contatto e come direzione/verso quello dettato dalla velocità relativa

V F μ N

=0

• Ipotizzando che il corpo 2 fosse fermo ( ) la varrebbe e sarebbe

2 d d 1

V

opposta al verso di 1

V =0

• Nel caso in cui notiamo che la forza di attrito avrebbe il compito di TRASCINARE

1

1 2

il corpo sul V 0

−V >o<

• Negli altri casi si potrà avere 2 1

• La potenza della forza di attrito sarà SEMPRE NEGATIVA in quanto verrà dissipata e si può

scrivere come ∣ ∣

W ×V ×V × V V →−μ N V

( ) ( )

=T +T =−T −V =−T

ATTRITO 1 1 2 2 1 2 1 1 2−1 d 1 2−1

• N.B. Il modello di attrito dinamico si basa su un’ ipotesi abbastanza forte, ossia che la

f

velocità relativa non assuma valori bassi in quanto l’ andamento di in funzione di

d

V 0

dimostra che nell’ intorno dello l’ andamento è tutt’ altro che costante. In quell’

2−1

intorno, infatti, piccole variazioni di velocità relativa causano enormi variazioni della forza di

contatto.

• Esiste un ulteriore modello di attrito, definito come RESITENZA AL ROTOLAMENTO o

attrito volvente che insorge qualora si presenti un contatto ruota-via infatti si dimostra che

eliminando qualsiasi altra forma di resistenza esiste una forza dissipativa che ostacola il

rotolamento

• Il senso fisico di ciò sarebbe da studiare in parallelo con la deformabilità del materiale e

criteri molto complessi, in via semplificata si attribuisce il tutto al ciclo di isteresi che subisce

il materiale al contatto.

Si abbatte dunque l’ ipotesi di NON deformabilità e si ammette che il punto di contatto

collassi in una superfice ( approssimabile ad un rettangolo )

Prendendo spunto dagli studi di Hertz ( andamento parabolico di pressione e deformazione

per un corpo in QUIETE caricato da una forza verticale ) si impone un moto di rotolamento

senza strisciamento e ci si accorge che per quanto riguarda la deformazione è valido il

modello parabolico mentre le pressioni non risultano più simmetriche rispetto l’ asse della

ruota.

Causa dell’ assenza di simmetria è il comportamento isteretico del materiale che in fase di

carico ( parte anteriore dell’ impronta di contatto ) presenta un andamento della pressione

mentre in fase di scarico ne ha un altro l quale a sforzi corrispondenti misura pressioni

minori Come si evince dal grafico la pressione in fase di carico

sarà sempre maggiore di quella in fase di scarico in quanto l’

area interna alla curva corrisponde all’ energia/potenza entrante

nel materiale e per definizione non può essere negativa.

Si può affermare che l’ andamento sarà fortemente

crescente prima dell’ asse della ruota e decrescente con minore

pendenza nel tratto di scarico il che porta ad un ragionevole

spostamento in avanti della reazione normale ( valore massimo dell’

N

¿

andamento delle pressioni )

u=f R

• Quanto detto fin’ ora per definire la quantità della quale la reazione si sposta

v

rispetto l’ asse della ruota.

N

• N.B. La si sposta sempre in modo tale da creare una coppia resistente OPPOSTA al

verso di rotazione della ruota.

• La forza tangente al contatto può essere anche nulla e la si ricava da considerazioni sull’

equilibrio delle forze agenti sulla ruota

• La potenza dissipata dall’ attrito volvente vale

V

∣ ∣

W N V N u N u Θ

∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

=−f =− =−

ATTRITO v R

MOTORE-TRASMISSIONE-

UTILIZZATORE

• All’ interno del motore avviene la trasformazioni di potenza di diversa natura in potenza

meccanica all’ albero, tale potenza si può intendere derivante da numerose forze agenti su

organi in movimento ( alcune generano potenza, altre la dissipano

espansione/aspirazione motore termico ).

• Per semplificare lo studio del motore si suppone che l’ insieme di forze descritto sopra si

possa ricondurre ad un MOMENTO MOTORE EQUIVALENTE

W ω

=M

m m m

• Esistono diversi tipi di motore, il più comune è quello TERMICO ossia che trasforma

ENERGIA CHIMICA in MECCANICA tramite la combustione, la sua caratteristica è legata

γ

al grado di ammissione ossia il parametro che regola l’ apertura della valvola di

immissione della miscela:

M M ω 1−γ M

( )

( )

=γ + (ω )

m mMAX m m MIN m

Segue il motore ELETTRICO A CORRENTE CONTINUA CON MAGNETI PERMANENTI

costituito da uno statore nel quale si genera il flusso magnetico ( magneti permanenti ) ed

V

un’ armatura che vi ruota attorno alimentata da una tensione

Si ha anche un tipo di motore elettrico ASINCRONO TRIFASE costituito da uno statore

( esterno ) ed un rotore ( interno ) sui quali trovano posto degli avvolgimenti trifase. In

particolare l’ avvolgimento posto sullo statore detto INDUTTORE è alimentato da una

tensione alternata trifase che genera un campo magnetico rotante con velocità

2π f a f p

ω = con frequenza della tensione di alimentazione e numero di coppie

a

s p

di poli dello statore.Tale velocità è definita come velocità DI SINCRONISMO ed è il valore

per il quale la coppia motore si annulla, in altre parole se il rotore dovesse girare con

ω=ω i due componenti sarebbero SINCRONIZZATI e la coppia sarebbe nulla.

s

Il campo magnetico dello statore genera una FORZA ELETTROMOTRICE nel rotore

dipendente dalla sua stessa velocità di rotazione ed è grazie a tale forza che si ha un

momento motore. Caratteristica motore asincrono trifase

MTU

• Generalmente lo studio di si divide in due casi: il primo corrisponde ad un

problema in cui l’ ACCELERAZIONE è NOTA e di conseguenza sarà semplice trovare un

legame tra la velocità/accelerazione di rotazione del motore e quella dell’ utilizzatore

( passando per la trasmissione ); il secondo invece si riferisce a quei problemi in cui l’

ACCELERAZIONE è INCOGNITA e di conseguenza non è possibile definire il TIPO DI

MOTO a priori, si farà un IPOTESI di moto diretto o retrogrado e alla fine si verificherà tale

ipotesi dai segni delle potenze.

SISTEMI PER LA TRASMISSIONE

DI POTENZA

• RUOTE DI FRIZIONE: Si impiegano per basse potenze in quanto fanno affidamento sul

solo attrito per la trasmissione inoltre non garantiscono un rapporto di trasmissione

costante al variare del carico. ω 2

τ =

Si definisce rapporto di trasmissione e si ha che la massima coppia trasmettibile

ω 1

vale

C R=μ PR

=T

MAX MAX s

P

Con forza perpendicolare al profilo di contatto.

• RUOTA DENTATA: Sicuramente meglio delle ruote di frizione, largamente impiegata in

molti settori, ne esistono a denti dritti ( evolvente di cerchio ) e denti elicoidali.

La caratteristica geometrica principale è senza dubbio la CIRCONFERENZA PRIMITIVA

legata al passo dalla relazione

π D =PZ

P P

Con pari al passo ( distanza tra due punti corrispondenti di denti consecutivi ) e

D uguale al diametro PRIMITIVO

p m=πP

Si “costruiscono” infine i denti definendo un MODULO dal quale dipendono m

ADDENDUM e DEDENDUM ossia un quota in aggiunta al diametro primitivo ( pari a )

1,25 m

ed una sottratta al diametro primitivo ( pari a )

N.B. L’ EVOLVENTE DI CERCHIO è la curva descritta da una corda tesa che volge sulla

circonferenza primitiva

Il rapporto di trasmissione si definisce a partire dall’ ipotesi di velocità di trascinamento

ω R

2 1

φ R R → → ω R R → τ

=φ =ω = = =¿

nulla al punto di contatto derivando

1 1 2 2 1 1 2 2 ω R

1 2

Z m Z

1 1

¿ =

sfrutto la definizione di modulo Z m Z

2 2

Viene definito TRENO un insieme di ruote dentate calettate ognuna sul proprio albero, è

importante ricordarsi che il rapporto di trasmissione totale non dipende dalle ruote

intermedie che vengono per l’ appunto definite OZIOSE

ROTISMO EPICICLOIDALE: Consiste in un treno di ruote in cui almeno un asse è MOBILE, i suoi

ω 2 o 3

costituenti sono: Una RUOTA CENTRALE con velocità angolare , SATELLITI

CENTRALE

( ruote dentate più piccole della precedente che si muovono su di essa ), un PORTATRENO dotato

Ω

di velocità che consiste nell’ asta rigida che conduce il moto degli assi dei satelliti, una

CORONA ossia una ruota con dentatura interna che racchiude gli altri componenti con velocità

ω

CORONA

Dalla formula di Willis è possibile ricavare il rapporto di

ω −Ω

CORONA

τ =

trasmissione dalla quale si deduce che

0 ω −Ω

CENTRALE

in caso di portatreno fermo si avrà

−ω −Z

CORONA CENTRALE

τ = = con il meno che sta ad indicare

0 ω Z

CENTRALE CORONA

che corona e centrale ruotano in senso opposto. ( la ruota

satellite costituisce la ruota OZIOSA, praticamente si

analizza il rotismo come un treno semplice )

Una delle configurazioni più utilizzate prevede il

BLOCCAGGIO della corona esterna con conseguente movimento di

portatreno, centrale e satelliti. In questo caso il rapporto di trasmissione ( formula di Willis )

ω −Ω −Ω

CORONA

τ = =

vale e tale scrittura può essere uguagliata a quella

0 ω ω

−Ω −Ω

CENTRALE CENTRALE

che approssima il rotismo ad un treno semplice ( si basa sulla stessa ipotesi di corona fissa

) Z

−Z

–Ω CENTRALE CENTRALE

→ Ω= ω

= CENTRALE

ω Z Z Z

−Ω +

CENTRALE CORONA CENTRALE CORONA

Il rotismo epicicloidale è largamente utilizzato nei differenziali automobilistici

Immaginando un’automobile in curva la ruota esterna avrà una velocità maggiore ( in

quanto dovrà percorrere un arco maggiore ) il che porta necessariamente a slittamenti

perché l’ albero di trasmissione impone la stessa velocità ad entrambe le ruote.

Inserendo un rotismo epicicloidale la corona il portatreno viene collegato all’ albero e

movimenta gli assi dei satelliti, in moto rettilineo le due ruote hanno medesima velocità ed il

centrale non ammette nessuna rotazione intorno al proprio asse MENTRE in curva le ruote

hanno differente velocità e la rotazione dei satelliti consente al centrare di sottrarre velocità

alla ruota interna per fornirla a quella esterna. PSM

• CINCHIE TRAPEIZOIDALI: Si fanno le stesse considerazioni fatte a , si distingue

un ramo teso ed uno lasco in base al senso di rotazione delle ruote e da li si possono

T

calcolare le forte della cinghia.

La cinghia NON si troverà mai in condizioni di totale aderenza, esistono dei microslittamenti

dovuti alla deformabilità della cinghia stessa.

VIBRAZIONI

• L’ approccio che adoperiamo per lo studio di sistemi vibranti si dice a PARAMETRI

CONCENTRATI o per meglio dire è una semplificazione di tale approccio nel caso di una

sola coordinata libera.

Le ipotesi alla base sono:

1. Masse puntiformi che determinano le forze inerziali

2. Corpi elastici di massa trascurabile


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SCARMAN

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher SCARMAN di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica applicata alle macchine e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Zasso Alberto.

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