Equazioni goniometriche, equazione elementare nel seno, equazione quadratica

Equazioni goniometriche

Un’equazione si dice goniometrica quando tra le sue incognite compaiono angoli e funzioni goniometriche ad essi associate. Mostriamo alcuni esempi di ciò che intendiamo:

senx = 1; tan x + 3tanx + 1 = 0; senx = 3tanx

Ovviamente le equazioni goniometriche possono assumere le forme più svariate e il loro range di soluzioni può andare da nessuna a infinite.

Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono equazioni in cui appare una sola funzione goniometrica, non compare il suo argomento come incognita libera ed è richiesta l'uguaglianza ad una costante. Esempi sono:

• senx = a  −1 ≤ a ≤ 1
• cosx = b  −1 ≤ b ≤ 1
• tanx = c

Si noti che per la periodictà delle funzioni goniometriche, la generica equazione elementare ammette infinite soluzioni che si ripetono periodicamente.

Eq. Elementare nel seno

Risolvere la seguente equazione: √3 2sen(x − π/6) = √3

Svolgimento:

L’equazione proposta equivale all’equazione: sen(x − π/6) = √3/2. L’angolo α nel primo quadrante che verifica questa relazione è:

α = x − π/6 = π/3

E dunque per la periodicità (T = 2π) del seno una soluzione più generale è:

x − π/6 = π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ

Si consideri ora, però, che vale:

sin(π − α) = sin(α)

Dunque l’angolo π − π/3 ha lo stesso seno dell’angolo π/3 e va incluso nella soluzione. Considerato dunque la periodicità si ha, dunque, l’ulteriore soluzione:

x − π/6 = 2/3π + 2hπ, h ∈ ℤ

La soluzione finale è dunque:

• x = π/2 + 2kπ
• x = 5/6π + 2kπ, k ∈ ℤ

Equazioni quadratiche in una funzione goniometrica

Questa sezione riguarda equazioni goniometriche in cui compare una sola funzione goniometrica al quadrato, la funzione stessa e non il suo argomento come incognita libera. Ovvero si riferisce ad equazioni del tipo (sia α il generico argomento):

2agonio(α) + bgonio(α) + c = 0

dove con gonio(α) abbiamo indicato la generica funzione goniometrica di variabile α. Queste equazioni possono essere riportate alla forma di equazioni elementare tramite un cambio di variabile e la risoluzione di una semplice equazione algebrica.

Il seguente esempio percorre tutti i passaggi della risoluzione e può considerarsi come modello per qualsiasi esercizio di questo tipo o riducibile a questo tipo:

Sia data l’equazione:

22 sen x + 3 senx + 1 = 0, ponendo: t = senx

L’equazione si riduce a:

22t + 3t + 1 = 0