Equazioni goniometriche, equazione elementare nel seno, equazione quadratica

∈Z

k

Si consideri ora, però,che vale:

sin(π−α) = sin(α)

dunque l’angolo π−π/3 ha lo stesso seno dell’angolo π/3 e va incluso nella soluzione. Considerato

dunque la periodicità si ha,dunque,l’ulteriore soluzione:

x−π/ 6=2 /3 π + 2hπ h∈Z

La soluzione finale é dunque:

∨

x =π/ 2+ 2kπ x =5/ 6π + 2kπ

∈Z

k

Equazioni quadratiche in una funzione

goniometrica

Questa sezione riguarda equazioni goniometriche in cui compare una sola funzione goniometrica

al quadrato, la funzione stessa e non il suo argomento come incognita libera. Ovvero si riferisce ad

equazioni del tipo (sia α il generico argomento):

2

agonio (α) + bgonio(α) + c = 0

dove con gonio(α) abbiamo indicato la generica funzione goniometrica di variabile α.

Queste equazioni possono essere riportate alla forma di equazioni elementare tramite un cambio

di variabile e la risoluzione di una semplice equazione algebrica.

Il seguente esempio percorre tutti i passaggi della risoluzione e può considerarsi come modello

per qualsiasi esercizio di questo tipo o riducibile a questo tipo:

Sia data l’equazione:

2

2 sen x + 3 senx + 1 = 0,

ponendo:

t = senx

l’equazione si riduce a:

2

2t + 3t + 1 = 0 √ 2

−b −4

± b ac

che é una equazione algebrica. Le sue soluzioni applicando t = sono:

1.2 2 a

√

−3 ± 9−8

t =

1,2 4

Quindi eseguendo i calcoli:

t = −1/2

1

t = −1

2

Dunque,dato che t = senx,

la nostra equazione originale si riduce a due equazioni di tipo elementare, ovvero:

senx = t = −1/2 senx = t =−1

1 2

le cui soluzioni sono:

∧ ∈Z

x = −π/6 + 2kπ x =−5/6π + 2kπ k ∈Z

x =−π/2 + 2kπ k

Equazioni con più funzioni goniometriche

Sono equazioni che contengono più funzioni goniometriche e non una sola come nel caso

precedente. La risoluzione si basa sull’esprimere le varie funzioni goniometriche in funzione di una

sola per poi ricondurci a casi di cui sia nota la risoluzione. Un esempio di tale tipo di risoluzione è

riportato qu idi seguito:

Sia data l’equazione: 3cos2 x−4sinx = 4

Dalla relazione fondamentale della trigonometria,si ha:

cos2 x = 1−sin2 x

per cui la nostra equazione diventa:

3(1−sin2 x)−4sinx = 4

Svolgendo i conti e semplificando si ottiene:

3sin2 x + 4sinx + 1 = 0

che è un’equazione quadratica. Pongo dunque:

t = senx

e ho l’equazione algebrica ausiliaria:

2

3t + 4t + 1 = 0 √ 2

−b −4

± b ac

x=

Eseguendo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado nella

2 a

2

generica forma ax +bc+c=0 . √

−2 ± 4−3

Si ha nel nostro caso t 1,2= 3

Le cui soluzioni sono:

senx = t =−1 sinx = t = −1/ 3

1 2

Per esprimere nella variabile x la soluzione ottenuta devo risolvere queste due equazioni

goniometriche elementari.

Le soluzioni sono: ∈Z

x = −π 2 + 2kπ k

∧ ∈Z

x ≡0,34 + 2kπ x ≡3,48 + 2kπ k

Equazioni lineari in seno e coseno

Un’ equazione lineare in seno e coseno è un’equazione della forma:

∈R

asenx + bcosx + c = 0 a, b, c

in particolare se c = 0 l’equazione prende il nome di equazione lineare omogenea e si scrive:

asenx + bcosx = 0

ponendo il caso a≠ 0 e b≠ 0, altrimenti ci ridurremmo alla forma di equazione elementare,

l’equazione è presto risolta riducendola a un’equazione nella sola tanx.

Per la sopracitata riduzione basta dividere ambo i membri per cosx ottenendo così la seguente

equazione elementare:

atanx + b = 0 → tanx =−b/a

la divisione per il coseno è in generale non sempre fattibile, ma nel nostro caso sempre valida;

infatti valori della variabile indipendente tali per cui cosx = 0 non possono essere soluzione della

nostra equazione.

Dimostrazione:

Procedendo per assurdo. Sia cosx = 0 soluzione per la nostra equazione data una particolare x.

Dalla relazione fondamentale della trigonometria si ha: cosx = 0 → senx = 1 per cui l’equazione

omogenea asenx + bcosx = 0 mi dá come unica scelta: a = 0 che va contro la nostra tesi iniziale.

Risolviamo l’equazione:

senx− √3cosx = 0.

Dividendo ambo i membri per cosx si ha: tanx− √3 = 0 → tanx = √3

∈Z

Equazione la cui soluzione è nota ed è: x = π/3 + kπ k Le equazioni lineari non omogenee

sono meno intuitive nella loro risoluzione.

.

Equazioni lineari non omogenee

Le equazioni lineari non omogenee sono equazioni del tipo:

∈R

asenx + bcosx + c = 0 a, b, c

in cui per ipotesi è c ≠ 0.

I metodi di risoluzioni per questo tipo di equazioni possono essere molteplici:

1. esprimere il seno in funzione del coseno o viceversa.