Equazioni e teoremi per un elemento

DINAMICA

Qualunque sia il movimento si ha che il prodotto della massa di un elemento E per la sua accelerazione è uguale alla forza totale agente su di esso data dalla somma delle forze effettive di quelle apparenti (nel non inerziale) e delle reaz. vincolari.

\[\vec{F} = m\vec{a}\]

Se la legge della forza totale è nota, si ottiene la

\[\vec{f}(\vec{OP}, \vec{v}; t) = m\vec{a}\]

La soluzione di tale eq diff vett del 2° ordine è la funzione vettoriale \(\vec{OP}(t)\) che rappresenta tutti i moti compatibili con la legge di forza assegnata. Tramite le condizioni iniziali ricavo la soluzione particolare. La legge di forza totale è nota solo se le reazioni vincolari, che sono, possono essere complessivamente incognite, saranno assenti, ossia se l'elem. è libero (esente da vincoli). In tal caso l’eq * diventa legge fondamentale della dinamica degli elem. libero. Le incognite di tale eq sono solo cinematiche. Proiettando la * su Rc si ottiene

\[ \begin{cases} m\ddot{x} = \phi_x ( x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t ) \\ m\ddot{y} = \phi_y ( x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t ) \\ m\ddot{z} = \phi_z ( x, y, z; \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}; t ) \end{cases} \]

che è un sistema, in forma normale, risolto rispetto alle derivate di ordine massimo, compatto (le incognite che compaiono in esso e sono le incognite cinematiche) e puro (contiene solo incognite cinematiche).

La soluzione generale di tre sistema è data da

x = x(t; c₁, ... c₆) y = y(t; c₁, ... c₆) * z = z(t; c₁, ... c₆)

ẋ = ẋ(t; c₁, ... c₆) ẏ = ẏ(t; c₁, ... c₆) * ż = ż(t; c₁, ... c₆)

Per determinare le 6 costanti si fa uso dell corrispondenza alle 3 condizioni l'intenici da velocità e la pos dell elemento all'ist momento e posn relativa a p intento per internecar articatoste del particolari.

Se per t=0 P_o ≡ (x_o, y_o, z_o) per determinare le 6 costanti del * si sostituisce x_o, y_o, z_o a x,y,z e si pone t=0 e si sostituisce ẋ, ẏ, ż nel sist * ponendo t=0. Si ottiene un sist di 6 eq in 6 inc.

È possibile esprimere la forza attiva vista prima in funzione del solo tempo. Sostituendo nella (ôP(t); v(t); t) al posto di v(t), oP(t) ottenendo (ôP(t); ôP(t); t). Analogamente si può esprimere la forza attiva anche in funi(i) della sala val. o della sala pos. Ma solo se vi è una corrsp biuniivoca tra la pos e t e tra la vel e t.

Nota la forza ho trovato i moti con essa => PROBLEMA DINAMICO DIRETTO

- Se il vincolo è privo di attrito _Tx e _Ty sono nulli

e dalla prima e dalla seconda eq del sist* si ha

_mx^.. = f_x(x, y, x^., y^., t) _my^.. = f_y(x, y, x^., y^., t)

che è in forma normale e pone la cui soluzione generale è data da

_x = f(t; c₁...c₄) _y = f(t; c₁...c₄)

In corrispondenza alle oo² scelte per t = 0 di x_o, y_o e alle oo¹ scelta di x_o, y_o si hanno oo³ moti particolari. Se per t = 0 P_o = (x_o, y_o) e P_o= P(X_o ,Y_o) le 4 constanti c₁ - c₄ si ottengono dal sistema:

_x(t)= x[0; (c₁-c₄)] _y(t)= y[0; (c₁-c₄)] _x^.(t)= x[0; (c₁-c₄)] _y^.(t)= y[0; (c₁-c₄)]

Note le constanti microsi x(t) e y(t) da essi ottengo

x^.(t) e y^.(t) e dalla 3 eq del sist ottengo Z_t - Se l’attrito non è trascurabile Pⁿ = Z_t dato che

T_x = -Φ d Lⁿ vers X

T_y = -Φ d Lⁿ vers Y

elemento incidente ad una curva

proiettando l'equazione

$\vec{T}$ = $-\hat{T}$($s$;$0$) sulla terna intrinseca, si ottiene

se $l$ urto è privo di attrito la prima del sist. diventa

$0 = -$\latex{f^{a}_{T}}($s$;$0$)

le cui soluzioni individurano le posizione di eq. Se sostituendo $s_{N}$ nella seconda e nella terza si ottengono

le componenti $N$ e $B$

$Se \hat{T}$ non si trascurabile della

• $|\hat{T}| \le \sigma \sqrt{\rho_{B}^{2} + \rho_{N}^{2}}$

e dal sist * si ricava

• $|\hat{f^{a}_{T}}($s$;$0$) \le \sigma \sqrt{\rho_{N}^{a^{2}} + \rho_{B}^{a^{2}}}$

che individua le positioni di eq. se note le quali si possono ricavare le componenti di $\hat{f}$

L

t = ∫₀^t [{x x ∙ + y y ∙ + z z ∙} dt = ∫₀^t f ∙ s dt

Nel caso in cui f sia vettorialmente costante il suo lavoro e' uguale al prodotto scalare della forza per lo spostamento dell'Elemento nell'intervallo di tempo finito. Nel S.l. illustrato di misura del lavoro ** il Joule (J) che è il lavoro compiuto da una forza costante vettorialmente di intensità 1N quando lo spostamento ha lunghezza 1 m ed e' secondo con essa. Nell'interna pratica l'unità di misura del lavoro e' il kilogrammetro (kg - m) ed è il lavoro compiuto da una forza vettorialmente costante di intensità 1 kg-peso quando lo spostamento secondo con essa e ha lung. 1 m.

La potenza di una forza f ** su un elemento con velocità v e' la grandezza scalare individuata da f ∙ v, ha dim [ML²T^-3] e la sua misura relative cambia segno se si punta e v. La potenza e' cosi la derivata rispetto a t del lavoro. Come il lavoro, anche la potenza dipende dal riferimento e in particolare la pot assoluta e' uguale alla somma di quella relative e di quella traslamento: f ∙ v_A = f ∙ v_f + f ∙ v₀

• I forze di pot afflitte sono si positivi
• le forze si chiamano motrici o resistenti a seconda che la loro pot afflitte sia positiva o negativa

Quando la forza e' ortogonale alla velocità la sua potenza e' nulla (come il lavoro). Si dice attiva forza e dissapativa se la sua potenza e' respect a nulla.

- le sup. equipotenziali hanno eq ρ=cost e sono sfere aventi il centro in O

- per la forza newtoniana se U(ρ_o)=0 , ρ_o=∞ e φ(ρ)= - G μM/ρ² U(ρ) = ∫_∞^ρ - G μM/ρ'² dρ' = G μM/ρ + c

- per la forza coulombiana il potenziale si ottiene dalla relazione di prima substituendo a G, k e a μM -qQ ( perchè la forza tra due cariche dello stesso segno è repulsiva ). Si ha quindi U(ρ) = - k qQ/ρ + c

- per la forza elastica sostituendo a φ(ρ), kρ e considerando ρ_o = 0 e U(ρ_o)= 0 si ha U(ρ) = ∫₀^ρ - kρ'dρ' = -1/2kρ² + c = -1/2k ( x² + y² + z² ) + c

Forza Centrifuga

Consideriamo un riferimento R(ξ, η, ζ) il quale ruoti con vel. angolare costante ω_R attorno a un asse fisso rispetto a un rif inerziale. In tal caso la forza di traslazione si riduce alla forza centrifuga. Rispetto a R la forza centrifuga in un punto P = (ξ, η, ζ) ha componenti mω_R²ξ,mω_R²η,0.