Equazioni e Disequazioni di ogni genere: Appunti Completi

Equazioni e disequazioni

1. Eq. polinomiali

a) Grado 1

ax = b

• se a ≠ 0 ⇒ x = b/a
• se a = 0 ⇒ indeterminata (ha ∞ sol.) se b = 0
• se a = 0, b ≠ 0 ⇒ impossibili

b) Grado 2

ax² + bx + c = 0

• Δ = b² - 4ac
• se Δ < 0 ⇒ no soluzioni
• se Δ ≥ 0 ⇒ sol x = (-b ± √Δ) / 2a

c) Grado ≥ 3

Per eq. di 3º e 4º grado ∃ formule risolutive note. ∄ formule per eq. di grado ≥ 5 TEOREMA di ABEL

• In Analisi 1: ↘ scomporre in fattori di grado 1 e 2
• Scomposizione di P(x) ↘ coeff. reali:
  • 1° grado i riducibili
  • 2° grado exam. con Δ ≥ 0
  • grado ≥ 3 SEMPRE decomponibili

2. Diseq. di 1° e 2° grado

a) Diseq. 1° grado

ax > b

• se a > 0 ⇒ x > b/a
• se a < 0 ⇒ x < b/a (sempr verificato (0 x > 5)
• se a = 0 mai verificato (0 x > 5)

b) Diseq. 2° grado

ax² + bx + c ≰ 0

• se Δ ≥ 0 duplica "DICE":
  • Discreti ↘ interni
  • Concordi ↘ esterni
  • sempre verificato
• se Δ < 0 mai verificato

Sist. determina sostituendo m x a ciasc.

A Equazioni e disequazioni

1. Eq. polinomiali

   • a) Grado 1

   ax = b

   • se a ≠ 0 ⇒ x = b/a
   • se a = 0 ⇒ indeterminata (ha ∞ sol.) se b = 0
   • se a = 0, b ≠ 0 ⇒ impossibili
   • b) Grado 2

   ax² + bx + c = 0

   • Δ = b² - 4ac
   • se Δ < 0 ⇒ no soluzioni
   • se Δ ≥ 0 ⇒ sol x = (-b ± √Δ) / 2a
   • c) Grado ≥ 3

   Per eq. di 3°, o 4° grado ∃ formule risolutive non.

   ≠ formule per eq. di grado ≥ 5TEOREMA di ABEL

   In analisi: 1. Scomporre in fattori di grado 1 e 2.Scompon.izza di P(x) o coeff. reali:- 1° grado i √difficili:- 2° grado scom. tenen Δ ≥ 0- gradi ≥ 2 SEMPRE scomponibili

2. Diseq. di 1° e 2° grado

   • a) Diseq. 1° grado

   ax ＞ b

   • se a ＞ 0 ⇒ x ＞ b/a
   • se a ＜ 0 ⇒ x ＜ b/a (semre verificata: 0 x > 5)
   • se a = 0 mai verificata 0 x > 5
   • b) Diseq. 2° grado

   ax² + bx + c ≷ 0

   • se Δ ≥ 0 dupblica "dice":
   • - discordi ⇒ internis
   • - concordi ⇒ estermis
   • Δ ＞ 0 sempre verificata mai verificata

3) Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Definizione: |A| =

• A se A ≥ 0
• -A se A < 0

• |A| è sempre ≥ 0
• |A| · |B| = |A · B|
• |A / B| = |A| / |B|
• |A + B| ≠ |A| + |B|
• |A| = |-A|

Tipologie

• |A| = B → A = ±B (con B ≥ 0)
• |A| < B →
  • B > 0
  • -B < A < B
• |A| > B → A < -B _U A > B
• |A| = |B| → A = ±B
• Altri casi → Applico la definizione

2. Risolvere:

1. (1-√2) x² + x - 1 - √2 ≤ 0
2. (1-k) x² + x + 1 = 0 S al variare di k
3. |x²-1| > x - x² + 6
4. (x+4)² / x+2 ≥ 0

a) - Dis. di 2° grado

- Calcolare il Δ = 1 - a(1-√2)(1-√2) = 1 + 4(1-√2)(1+√2)= -3 < 0

- Prova con x=0 → 0 + 0 - 1 - √2 ≤ 0 → SEMPRE VERIFICATA La diseq è verif. ∀x ∈ ℝ

b) - Eq. norm. di 1° grado

- Studi:

• =0 (quindi eq di 2° grado) se k ≠ 1 a = -1 k
• =0 (quindi eq di 1° grado) se k = 1

- Studies:

Δ = 1-4(1-k) = 4k - 3

• Δ ≥ 0 per k ≥ 3/4
• Δ < 0 per k < 3/4

- Risposte:

• se k=1 ⇒ x=-1
• se k < 3/4 ⇒ 7 soluzioni
• se k > 3/4 ⇒ 2 soluzioni : x = (-1-√1) / 2(1-k) ∪ x = (-1+√k-3) / 2(1-k)
• se k = 3/4 ⇒ x=-2 (2 sol coincidenti)

c)

|x²-10x| > x- x²+6

A<-B ∪ A>B

con A = x²-10x e B = x- x²+6

x²-10x < -x + x²-6 ∪ x²-10x > x- x²+6

-9x < -6 ∪ 2x²-11x-6 >0

9x > 6 ∪ x²-11x-6 >0

x > ²/₃ ∪ x- ¹/₂ ∪ x > 6

x < -¹/₂ ∪ x > ²/₃

d)

(x-1)²

x+2

(x-1)² ≥ 0 → x ≥1 ∪ x = 0

x+2 ≥0 → x>-2

S: x=0 ∪ x<-2 ∪ x ≥1

Sol.

- Diseg. fratta

- Studiogni fattore (quando x =0 e quando >0?)

• (x-1) ≤ 0 se x≤1

≥ 0 per x≥1

• x ≤ 0 per x≤0

≥ 0 se x ≠ 0

• x+2 ≥ 0 per x>-2

Metodo che funziona SEMPRE

∴ S: x<-2 ∪ x=0 ∪ x ≥1

Equazioni e disequazioni 2^a parte

1. Eq. e diseq. irrazionali

• Definizione di RADICE: si definisce radice m-esima del numero x

  • se m è pari e x ≥ 0 ⇒ ∃ l'unico numero non negativo y | y^m = x
  • se m è pari e x < 0 ⇒ ∄ radice
  • se m è dispari ⇒ è quel numero y | y^m = x

• Proprietà delle RADICI

  • √a esiste solo se a ≥ 0 con m pari
  • √a esiste sempre con m dispari
  • √a è sempre ≥ 0
  • √a · √b = √ab; √(a/b) = √a / √b
  • √a + √b ≠ √(a+b)
  • (√a)² = a
  • √a² = |a| = {a se a ≥ 0 | -a se a < 0}
• Eq. e diseq. irrazionali

• √A = B ⇒ {B ≥ 0 | A = B²}
• √A < B ⇒ {A ≥ 0 | B ≥ 0 | A < B²}
• √A > B ⇒ {B > 0 | A > B²} ∪ {B < 0 | A ≥ 0}
• √A ≠ √B ⇒ {A ≥ 0 | B ≥ 0 | A ≠ B}
• Radice con m > 2 ⇒ se m pari, vale quanto sopra se m dispari posso elevare ambo i membri senza porre condizioni di realtà

2) Eq di grado ≥3

• a) Si scompone
• b) Equazioni binomie:
  • xⁿ + a = 0
  • x⁴ - 81 = 0 ⇒ le soluzioni sono x = -3 ∪ x = 3
  • x⁴ + 81 = 0 ⇒ non ha soluzioni
  • x⁵ - 32 = 0 ⇒ x = 2
  • x⁵ + 32 = 0 ⇒ x = -2
• c) Eq. biquadratica:
  • ax⁶ + bx³ + c = 0
  • t = x³
  • at² + bt + c = 0

Esercizi proposti 3

1. x + 4 < √x + 7
2. x⁸ - 13x⁴ - 48 = 0
3. |3x - 12 - x| ≤ 2
4. • x² - 9y³ = 0
   • y₀ - x² - x = 0

Equazioni e disequazioni III

• Domini di una funzione
  • 1/A → A ≠ 0
  • ^√A → A ≥ 0
  • logA → A > 0
  • A^B dove sia a che b dipendono da x → trasformare in e^B•lnA → A > 0
  • tgA → A ≠ π/2 + kπ
  • ctgA → A ≠ 0 + kπ
  • arcsinA → ∀x∈ℝ
  • arccosA → -1 ≤ A ≤ 1
  • arcsenA → -1 ≤ A ≤ 1
• Equazioni e disequazioni esponenziali
  1. a^A = b
     • quando b ≤ 0 → IMPOSSIBILE
     • quando b > 0 → A = log_ab
  2. a^A > b
     • se a > 1
       • se b ≤ 0 → SEMPRE VERA
       • se b > 0 → A > log_ab
     • se 0 < a < 1
       • se b ≤ 0 → SEMPRE VERA
       • se b > 0 → A < log_ab
  3. a^A < b
     • se a > 1
       • se b ≤ 0 → IMPOSSIBILE
       • se b > 0 → A < log_ab
     • se 0 < a < 1
       • se b ≤ 0 → IMPOSSIBILE
       • se b > 0 → A > log_ab