Equazioni e Disequazioni di ogni genere: Appunti Completi

A

Equazioni e disequazioni

1. Eq. polinomiali

   • Grado 1

     ax = b

     • se a ≠ 0 ⇒ x = b/a
     • se a = 0 ⇒ indeterminata (ha ∞ sol.) se b = 0
     • se a = 0, (b ≠ 0) impossibili

   • Grado 2

     ax² + bx + c = 0

     • Δ = b² - 4ac
     • se Δ < 0 ⇒ no soluzioni
     • se Δ ≥ 0 ⇒ sol x = (-b ± √Δ)/2a

   • Grado ≥ 3

     Per eq. di 3^o, 4^o grado ∃ formule risolutive (no)

     # formule per eq. di grado ≥5

     TEOREMA di ABEL

     • In Analisi 1: scomposizione in fattori di grado ≤ 2
     • Scomponibilità (P.G.) o coeff. reali:
       • 1^o grado unico/ibili
       • 2^o grado scomp. se Δ ≥ 0
       • grado ≥ 3 SEMPRE decomponibili

2. Diseq. di 1^o e 2^o grado

   • Diseq. 1^o grado

     ax > b

     • se a > 0 ⇒ x > b/a
     • se a < 0 ⇒ x < b/a sempre verificate (0 x → 5)
     • se a = 0 mai verificate (0 x > 5)

   • Diseq. 2^o grado

     ax² + bx + c ≷ 0

     • se Δ ≥ 0 duplica "Dise":
       • Discordi → interna
       • Concordi → esterna sempre verificate (0 x > 5)
     • Sistema me sostituendo un x all’altra

Eq e diseq con valori assoluti

Definizione:

|A| = { A se A ≥ 0             -A se A < 0

|A| è sempre ≥ 0

|A| · |B| = |A · B|

• |A| / |B| = |A / B|

|A + B| ≠ |A + B|

|A| = |-A|

Trilogie

• |A| = B ⇒ A = ±B   (con B ≥ 0)
• |A| < B ⇒ { B ≥ 0     -B < A < B
• |A| > B ⇒ A < -B ∪ A > B
• |A| = |B| ⇒ A = ±B
• Altri casi ⇒ Amplio la definizione

2)

Eq di gradi ≥3

1. Si scompone
2. Equazioni lineari: x^m + a = 0
   • x⁴ - 81 = 0 ⇒ le soluzioni sono x = -3 ⋃ x = 3
   • x⁴ + 81 = 0 ⇒ non ha soluzioni
   • x⁵ - 32 = 0 ⇒ x = 2
   • x⁵ + 32 = 0 ⇒ x = -2
3. Eq biquadratiche: ax⁶ + bx³ + c = 0
   • t ⇒ x³
   • at² + bt + c = 0

Esercizi proposti

1. x + 4 < √x + 7
2. x⁸ - 13x⁴ - 48 = 0
3. |3x - 12 - x| ≤ 2
4. • x² - 9y² = 0
   • y - x² - x = 0