Equazioni e disequazioni

FUNZIONE POLINOMIO

LA

Dati la

reali

1 0 funzione

con

numeri

n 7

ao an

91 an

R

definita in 8k Am

Ma X

apt t di

chiama coefficienti

di

funzione polinomio

si grado n

am

AL

o 1 R

ha alla

Se flat Axe ridate

o funzione

m si si

ao

costante ao

Per ha lineare

si funzione

1 una

me nullo

tutti di

nulli

Se parla polinomio

coefficienti sono si

i

Si del

chiama tipo

razionale f

funzione funzione

ogni pe

dove il secondo dei

polinomi quali

sono non

pa

pa e

identicamente denominatore

Se

nulla il di o

grado

è

la volta il

polinomio

è suo

f sua

funzione un

a e

R contrario

di

insieme è

definizione in in occorre

caso

del denominatore

escludere zeri

gli DI

POLINOMIO II GRADO

FUNZIONE

DELLA

STUDIO R

2 be

84 te E O

CON X

9 a

e

flat f batte

a

Riscriviamo la del

da

modo

l'equazione formula

in sfruttare

binomio

di patata

quadrato un app

g

p

consideriamo fiele bar

e a

togliamo

e

aggiungiamo g

fate EI

EI

ht completo

quadrato

firmano un ET

f ET

Ezy fà fata

ale HIHI

otteniamo gli bar E

E a

È

Et E E beige

a

ha

ba Gae si

le

poniamo L La

Lap

a x

discriminante 1

Formula il multiplo

il

qualora coefficiente

4 sia un

per

di blatta

x

a A ammette

10 be

O

Casa l'equazione

a o

ax te

distinte

due radici xp e

alle 7

f E gia o

0

TIE IN g ELIO

Fa

all I

La

EEE EEE

fa

b

4,2 2A

Inoltre bit

ah e randa

afraid

affatto _E E a

40

Con fa

b A a

raab A aah

fax t.FI b

Eafx

fa Y

TE

1x

aK b btY

a x e

x

a ale

Quindi bite o

Ed X

e

ax so Xl

possibile

è

questo se IIIIIII

aneanama xD AD X

X ta

O

stesso segno t

i L

I

ottiene

Con ragionamento si

analogo D

attbete

1 o o

o

a x

e

taxy

D

hate ED

0

2 SO ACO Xslt Cta

ax aetate D ED

3 O

O LYLE

Xp

O

a

betel A D

4 O

ALO XCX

al ex sta

O discriminante

il nullo

20 l'equazione

A è

o

caso se ER ammette sola radice

byte O O

al a una

eon e

Dimostriamo

reale 1

L'a f

La 0

poniamo

a

aletta

Ix FALDE

ED ED D

O

O O

x Molteplicità

_La Soluzione con

Xp 2

2 SOLUZIONI coincidenti

12

bet

ax e a K

attbete D

1 O O

O

O D Xp

a soluzione

be D O

0

2 XD

o al

te nessuna

ax be HER

ai A

3 O

O

D D

O

a

te D

bet

4 O

70 O

O

E D X

a XL

ax be soluzione

A

O d

O a

o

te a

5 nessuna

al Ke

be A O

ALO

6 LO XD

te Xs

ax A

bet

7 al D

IO O ED X

e a Xp

HER

A

be

8 ah 0

O Ed

O

te a discriminante

A A

il l'equazione

3 O

caso negativo

se è

ammette soluzioni

be Non

reali

O possibile

è

non

ax te

la bet

del nel

polinomio

fare scomposizione e

al come caso

1

del ha

0 però si

aetate EFELIDI A

D

a O

o

A

Dato che nella abbiamo

O quantità

parentesi quadra una

sicuramente positiva _A

5 O

the e

Lato ato 20

poi

NON POICHÉ

CI DEI

SOLUZIONI FATTORI

SONO UNO

SI DOVREBBE ANNULLARE del

di

Il araba identica quello

è coefficiente

a

te a

segno HER

O

A D

O

al O

be O

1 te a A soluzione

be a D

2 o

al o

so c

te nessuna

a soluzione

A

be

al

3 O so nessuna

o

o a

te a

arabe HER

A

4 e O O

O O

a D

Risultati arabe

le disequazioni

analoghi 0

valgono e

per

bite 0

ax E D O

A ALO

O 6

6 6

5 5

5 4

h

4 3 3

3

2 2 2

1

1 1

t t

i I

ho

o s o

3 a s

a

a a

1 1

1

2 7

flat 72

X fla 1

fa

3

4 1

ESEMPI

2 0

2

1 3 b 9 8 1

D Gae La

31 I x

1,2 DI

2 O

2 Sx O O S

K

5 te S o

U

C x

2

16 0

1

8

3 D b 64 0

Gae 64 soluzione

nessuna

I

2 O

Z

7 10

4 H 0

E

10

7

D 49 FEL

40 9 4,2 III

D

2 ES XE

EX 2,5

O

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Fissato MEN del tipo

espressioni Tel

TE Cale

ala

dove plx dicono Disequazioni

polinomi irrazionali

si

sono

e x

q crescente R In

strettamente

Sia Nol formule

è su

me y XI

ED

X

Xp C

Xp particolare

invertibile l'asse reale anche

tutto ed

è in

su Te strettamente crescente

la è

inversa in

sua funzione

R

tutto cioè Te E

ED

Cla

1

In tali Nol

irrazionali

base le disequazioni

proprietà me

a con

entrambi

elevando alla

risolvono i

potenza

si esima

n

Quindi

membri xD

Fple la

ale plx

o a xD

la

E glx plx

o D

ESEMPIO

TE 3 DAX

1 E

2 K 37

DX 1

1 D

X

1 1 1 3X

2

D 1 0

44

3 5

4 Igt Soluzioni 1

XC U x

4,2 a

Sia crescente

Np 0

è

ne g per

xè

XD

O E CI c

Xp Xp E

TE

0 E XD

Xp 2 elevato alla

ho potenza esima

n

III

TE ale pl

1 D

o

a o

Fple 94

sale al

ed co o

a U

PG plx

O a x

le

Risolvere irrazionali

disequazioni

ESERCIZI seguenti

II

sesso e Lux I

I Igf

X 3 2

2

312

2 LA 1

4 9

1

4 6

2 6

3 O

10 t

t

te 25

6

4,2 6 It BY

D

6

FCX

1 1

C EI

TI

1 th E

I p devo

sistema quindi

è un le soluzioni

prendere comuni

5 0

soluzioni

sono

ci

non

2K 1

2

2 U

1 a

4 o

co

ex 2

a 1

2 2

o

2

f E

E u 2

TE

E E 4

2 1

4

E 2

5 4 1 O

E CI SI 1

4

EX LO E

P

GIF 1

X

I

4,2 e 1

E EX Er

Soluzione V

finale XLI XE

E 1

O

ESPONENZIALE

LA FUNZIONE

Dato AER

O

a R chiama

definita

fa funzione di

esponenziale

in si base

a a

KER costante

la è

1 L

D funzione

a a e delle

le proprietà

1 potenze qualunque sia

7

a

supponiamo per

R ha

E si

4 E

1

gia

atta

ah

ah strettamente

Dati R dato che è

E

2 2

con

y y ed

crescente valore 1

1

o assume

in too per ad al

Nel ha 1

1 si

raso ne

a a segue

ha

Nel 1

1 si a

a ca

c

caso a ne

a segue

Pertanto fix a

strettamente crescente

è 1

se a Fa la invertibile

funzione è

strettamente decrescente

è 1

se a positivi il codominio

valori

solo

La assume

funzione e tool

Io

base

della l'intervallo

di 1

funzione è

a ossia per

ammette

nell'incognita

l'equazione

o x

a y

y

ogni

soluzione ha

OSSERVAZIONE la

particolare importanza funzione

base il dato

di

la Nepero

esponenziale cui numero

è

da 2 718281828459045

e base chiama

di

La esponenziale funzione

funzione si

e

Dato che

denota è il

1

ESPONENZIALE si e diagramma

con

e nel

della rientra

esponenziale 1

funzione caso a

s

s i 1

si 1

is i JK I

è

fa 1

1 ac

a

FUNZIONE

LA LOGARITMO l'equazione

071 0

o e

se per

a a

ogni y y

soluzione

ammette sola

ed

nell'incognita una una

soluzione della

l'unica

Per chiama

si

o a

ogni y

y denota loga

DI IN si

LOGARITMO BASE e con

Y a 9

di

base di

la logaritmo

il

Se 1 numero

è

a un

maggiore

di positivo il di

logaritmo

1 è un minore

numero

maggiore

di è

1 negativo

la di di

base il logaritmo

Se 1

è un

minore

a numero

di il di

logaritmo

negativo

1 è un minore

numero

maggiore

di positivo

è

1 risulta

base

la logan

loga

Qualunque 1 1

0

sia a diverso

positivo

Dato il da la funzione

1

a

numero e

logan

fa definita

è in 0

o

chiama Funzione Di

si Base

Logaritmo a

di

di

Per logaritmo

la definizione a

un numero xe o

se

sussiste

ER l'equivalenza loga a

e x

y y

base

la la

di

esponenziale

funzione

quindi funzione

e

e a

l'una

base

di dell'altra

l'inversa

logaritmo a soma

Se dire

calcoliamo di

il base dal

logaritmo 0,00

a e numero

di ritrova

base

ottenuto calcoliamo l'esponenziale a si

base

di R

calcoliamo di

l'esponenziale

se E

viceversa a ottenuto

base

il logaritmo di del si

e poi a numero

ritrova In simboli alga Wert

KER

logorò X

La base che

di

logaritmo definita in

è

funzione a

essendo della di

esponenziale

a funzione

inversa

o

base R strettamente

ed crescente

todominio

ha è

a per decrescente

strettamente 1

1

se a a

se

Alcune proprietà Ki

loga

log logan

1 o