Equazioni disequazioni e sistemi

equazioni,disequazioni e sistemi

Equazioni, disequazioni e sistemi

Esercizi sulle equazioni e disequazioni e sistemi di 1° e 2° grado

Risolvere un'equazione, una disequazione o un sistema significa determinare il sottoinsieme di R (se in una dimensione) o di Rⁿ (se in n dimensioni) di numeri che trasformano l'equazione in delle identità tipo 0=0 e soddisfacano le disequaglianze.

Un'equazione è un'espressione algebrica utile alla rappresentazione di un insieme numerico che è l'insieme delle soluzioni. Generalmente è espressa nella forma:

_{incognite parametri}

f(x,y,z,_a,b,c) = 0

Dove x,y,z sono denominate incognite e costituiscono la struttura della soluzione (se esiste), a, b, c sono delle quantità note dette parametri.

Il numero di incognite n costituisce la dimensione dell'insieme delle soluzioni, ovvero indica se la soluzione è un numero singolo o una n-upla.

Equazioni polinomiali

Dicasi equazione polinomiale un'equazione dove f è un polinomio delle incognite. Il grado del polinomio prende il nome di grado dell'equazione e notevoli sono da applicarsi nel caso del primo e secondo grado in un'incognita.

Equazioni di 1° grado ad un'incognita

_ax+_b=0

1. a≠0 b≠0

Una soluzione   x_b= -_b/_a       dim a( _a/(_b) + _b) -_b + ₀

-_b + ₀ --_b + ₀

2. a=0

0×b=0  (Non esiste) →   S = Ø      

3. a=0

0×0=0  

∀x∈R                0 : 0         S = R l'equazione indeterminata

Equazioni di 2^o grado

ax²+bx+c=0Δ=b²-4ac

1. Δ=0
   • x₁=x₂= -b/2a
2. Δ>0
   • x₁/x₂= (-b±√Δ)/2a     →     x₁/x₂= -b±√Δ/2a
3. Δ 0
4. ax+b → x > -b/a     → a > 0
5. ax+b → x < -b/a     → a < 0

Disequazioni di 2^o grado

• ax²+bx+c > 0
  • a > 0
    • Δ < 0 ➡️ ∀ x ∈ ℝ
    • Δ = 0 ➡️ x ₁
    • Δ > 0 ➡️ x ₁ ∧ x ₂
  • a < 0
    • Δ < 0 ➡️ ∅
    • Δ = 0 ➡️ x ₁
    • Δ > 0 ➡️ x ₁ ∧ x ₂

Equazioni Razionali

• P(x)/Q(x) = 0
• S_P e Insiemi delle Soluzioni P(x)=0
• S_Q e Insiemi delle Soluzioni Q(x)≠0
• S₂=S_P[]S_Q

Disequazioni Razionali

• P(x)/Q(x)   > 0   →   P(x),   Q(x)   polinomi
• P(x)/Q(x)
  • P(x) > 0 ⟶ S₁
  • Q(x) > 0⟶ S₂
  • P(x) < 0 ⟶ S₁
  • Q(x) < 0 ⟶ S₂
• S₁ ∪ S₂