Equazioni e disequazioni elementari

Argomento 2 — Funzioni elementari e disequazioni

Applicazioni alla risoluzione di disequazioni

Disequazioni di I grado

Per la risoluzione delle disequazioni di primo grado per via algebrica, si veda Minimat - Lezione 3. Qui presentiamo il cosiddetto metodo "grafico". Nel caso di disequazioni di primo grado, ci si riduce a un'espressione del tipo: ax + c > 0 (oppure ≤, ≥, ax + c < 0, ≤ 0, ≥ 0, rispettivamente). Quindi il problema è determinare gli intervalli in cui la retta di equazione y = ax + c si trova nel semipiano positivo (oppure non negativo, e così via).

Risolvere la disequazione -x + 2 < 0.

Esempio 2.1

Disegnamo la retta y = -x + 2 nel piano cartesiano, e vediamo che essa sta nel semipiano negativo per ∀x > 2, quindi la soluzione è: x ∈ (2, +∞).

-x

y = -x + 2

Disequazioni di II grado

Sia ora da risolvere una disequazione di II grado, cioè un'espressione che, semplificata, si presenta nella forma: ax² + bx + c > 0 (analogo il procedimento nel caso ≤ 0, < 0, ≥ 0). Per risolverla dovremo studiare il segno della funzione, cioè stabilire in quali intervalli la parabola f(x) = ax² + bx + c si trova al di sopra dell'asse delle ascisse. Si presentano tre casi:

• Δ > 0: l'equazione ax² + bx + c = 0 ha due soluzioni reali e distinte: x₁ e x₂ e supponiamo che x₁ < x₂. Se a > 0, la parabola interseca l'asse x in due punti x₁ e x₂. Si vede che f(x) > 0 per x < x₁ e per x > x₂.
• Δ = 0: l'equazione ax² + bx + c = 0 ha una sola radice reale α (doppia). La parabola è tangente all'asse x nel punto di ascissa α. Un grafico possibile (per a > 0) è il seguente: ∀x la disequazione è soddisfatta x = α.
• Δ < 0: l'equazione ax² + bx + c = 0 non ha radici reali. La parabola giace completamente nel semipiano positivo (se a > 0). Una situazione possibile è la seguente: ∀x. Quindi la disequazione è soddisfatta.

In corrispondenza al caso del discriminante:

• Δ > 0: f(x) > 0 per ∀x ∈ ∪ ∀x ∈ (−∞, x₁), (x₂, +∞)
• Δ = 0: x = x₁ = x₂ per nessun valore di x
• Δ < 0: nessuna radice reale per nessun valore di x

Esempio 2.2

Risolvere la disequazione x² + 2x - 15 > 0. Poiché il coefficiente di x² è positivo, la parabola è convessa (rivolta verso l'alto). Inoltre, le soluzioni dell'equazione x² + 2x - 15 = 0 sono x₁ = -5 e x₂ = 3, e queste sono le intersezioni della parabola con l'asse delle ascisse. Non ci servono informazioni più dettagliate per risolvere la disequazione: infatti, un grafico accettabile è il seguente, che ci permette di concludere che la disequazione è verificata negli intervalli (−∞, -5) e (3, +∞).

Osservazione 2.1

Se la disequazione da risolvere fosse x² + 2x - 15 < 0, allora le soluzioni sarebbero tutti i valori di x ∈ (-5, 3).

Osservazione 2.2

Se il coefficiente del termine x² è negativo, conviene cambiare segno a tutti i termini della disequazione (ricordandosi di cambiare verso alla disuguaglianza).

Esempio 2.3

Sia da risolvere la disequazione -2x² + 5x - 3 > 0. Si considera la disequazione equivalente -2x² + 5x - 3 < 0 e si procede come detto prima. Diamo il grafico di entrambe le parabole:

Soluzione: ∀x ∈ (-3, 1/2).

Esempio 2.4

Sia da risolvere la disequazione 4x² - 4x + 1 ≤ 0. Le radici sono x_1,2 = 1/2. Come si vede dal grafico, la parabola non è mai nel semipiano negativo. L'unica soluzione è x = 1/2. Attenzione: 4x² - 4x + 1 < 0 ha soluzioni.

y = 4x² - 4x + 1