Equazioni e disequazioni elementari

Disequazioni razionali

L’unica soluzione è x = . Attenzione: 4x 4x + 1 < 0 ha soluzioni.non3210-1 1 2 3x-1 2 −y = 4x 4x + 12 ≥+ 3x + 7 0.Sia da risolvere la disequazione xEsempio 2.5Abbiamo il grafico: 1098765-3 -2 -1 0 1 2x 2y = x + 2x + 72 ≤∀ + 3x + 7 0 ha soluzioni.e quindi la disequazione è verificata x. Attenzione: x nonDisequazioni razionali a(x) si dice seSiano date due funzioni a(x) e b(x). Una disequazione del tipo razionale frattab(x)l’incognita compare al denominatore. 3−3 5x3x + 5 < è una disequazione razionale fratta, mentre lo èQuindi la disequazione non28 6−3x + 5 3 5x< .2x 6Per quanto riguarda la teoria e i metodi di soluzione si veda Minimat - Lezione in cui sono trattate4,le disequazioni e i sistemi lineari.Qui affronteremo varie altre situazioni, a cominciare dal caso in cui il numeratore e/o il denominatorehanno grado maggiore di 1. 3x + 5 ≥Si debba risolvere la disequazione 0.Esempio 2.6 2−(x 4)(x + 1)53 6≥ ≥

• − , D > 0 per x > 4 (comprende anche la condizione di esistenza x = 4,
• Si ha: N > 0 per x^2 + 1) è sempre > 0).
• Le soluzioni sono l’unione delle soluzioni dei due sistemi mentre il fattore (x½ ½ ½ ½53 53≥ ≤ ≥ − ≤ −N 0 N 0 x x 53 ∪∈ −e cioè ) (4, +∞).
• e e quindi tutti gli x (−∞,D< 0 D> 0 x> 4 x< 4
• Si può ottenere il risultato usando lo schema introdotto in Minimat - Lezione e precisamente
• 4−5/3 4–––––p–––––––p–––––– x− − − − •–––––––––––––—N(x) − − − − − − − −− − − −◦––––––—D(x) −N(x)/D(x) + +2 + 6x + 5x ≤
• Si debba risolvere la

disequazione 0.

Esempio 2.7 x +3≥ ≤ −5 ≥ −1. −3.

Si ha: N 0 per x e per x Inoltre D > 0 per x > Dunque½ ½≤ −5 ≥ −1 −5 −1x e x < x < ∈ −5] ∪ ≤ −1].e , da cui si ottiene x (−∞, (−3 < x−3. −3.x < x >−5 − −13––––––p–––––––—p––––p––––— x− − − − − − − − − − − •–––––—N (x)–––––––—•− − − − − − − −− − − − − ◦––––––––––—D(x) − −N (x)/D(x) + +Disequazioni irrazionaliSi dice una

disequazione in cui l'incognita x compare, almeno una volta, sotto il segno irrazionale di radice. √ -1 x < x.

Sia da risolvere la seguente disequazione irrazionale:

Esempio 2.8 √ - - ≥

Per prima cosa osserviamo che 1 x è definita solo per l'argomento 1 x 0 (trattandosi di radice di indice pari) e quindi per x 1. Inoltre, sempre perché si tratta di radice di indice pari, la quantità 1 x è sempre 0. Quindi se il secondo membro è negativo non ci sono soluzioni. Se invece il secondo membro è anch'esso non negativo bisogna procedere per decidere quando è soddisfatta la disequazione. In questo caso si possono elevare al quadrato entrambi i membri della disuguaglianza e si ottiene una disuguaglianza equivalente alla data; nel nostro caso otteniamo il sistema:

4





2 2

- -1 x < x + x 1 > 0

x



 ≥



 ≤

x 1

x 1

√

^√(-1-5-1+5)² = , x = , le radici dell'equazione x + x¹ = 0), e quindi (essendo x¹ = 22² le soluzioni saranno i valori di x che soddisfano contemporaneamente le tre condizioni:

1. √(-1-5-1+5)² < x
2. x > 2²
3. x ≥ 0

Poiché tali valori devono essere compresi nell'intervallo (0, 1], scartiamo perché è negativo. 2^√(-1+5) ∈ Concludiamo che la disequazione data è soddisfatta per ogni x (0, 1]. In generale vale il seguente schema di risoluzione di disequazioni irrazionali: radicale di indice 2np2n a(x) < b(x) I caso:

1. ≥ a(x) 0 (condizione di realtà)
2. ≥ b(x) 0
3. 2na(x) < [b(x)]

Le eventuali soluzioni saranno i valori di x che soddisfano le tre contemporaneamente. Ribadiamo che, come nell'esempio precedente, se b(x) < 0, non ci sono soluzioni perché a(x) 0 e non potrà mai essere minore di una quantità.

negativa.p2n a(x) > b(x). In questo caso le soluzioni saranno l’unione delle soluzioni di ciascuno deiII casoseguenti sistemi:

1. ½≥a(x) 0 (condizione di realtà)
2. ≥a(x) 0 (condizione di realtà)≥b(x) 0
3. b(x) < 0

2na(x) > [b(x)]

Se i radicali sono piú d’uno, le disequazioni si trattano in modo analogo, ancheOsservazione 2.3se i calcoli possono diventare molto complicati.

Il caso in cui compaiono radicali di indice è più semplice in quanto non ci sono limitazioni al dominio (dovute alla presenza della radice).

Consideriamo soltanto due situazioni:

1. La disequazione contiene una sola radice cioè è del tipo: p2k+1 a(x) > b(x); 2k+1 in tal caso possiamo risolvere la disequazione equivalente a(x) > [b(x)].
2. Si devono confrontare due radici di indice diverso (entrambe dispari): p p2k+1 2h+1a(x) > b(x) In questo caso, detto t = m.c.m.(2k + 1, 2h + 1) si ottiene q qt t t tt ta(x) > b(x)

Quindi la disequazione equivalente a(x) > b(x) è: a(x) > b(x) Si risolva la disuguaglianza x(x + 1) > x(1). Esempio 2.9: 3x + 3x - 1 > 0 Essa è equivalente alla disequazione: x^2 - 1 > 0, da cui si ottiene 3x - 4x + 2 > 0, che è soddisfatta per ogni valore di x in R. Risolvere la disequazione seguente: x - 2/x + 2 < 0. Esempio 2.10: (x - 1)(x - 2)/(x - 1)(x + 2) < 0 Poiché i denominatori devono essere diversi da zero, si ha la condizione x ≠ 2. Elevando a potenza si ottiene: (x - 1)(x - 2) < 0 Risolvendo l'equazione si ottiene x < 2 e x > -2. Poiché x = 2 e x = -2 sono soluzioni che rendono il denominatore uguale a zero, si possono semplificare dei fattori nelle frazioni e risulta: 1/2 < x < 6

3−− < (x 1)(x 1) 6

Se x = 1, la seconda espressione non è verificata. Se invece x = 1, si può semplificare ottenendo2 2 2− − − −(x 1) < 1 e quindi x 2x + 1 < 1 cioè x 2x = x(x 2) < 0.∀x ∈ ∪Soluzione: (0, 1) (1, 2).

Disequazioni esponenziali e logaritmiche

Vediamo ora alcune applicazioni delle funzioni esponenziali e logaritmiche allo studio delle dise-quazioni. 5x+8 x+1> 9 .

Sia da risolvere la disequazione 3Esempio 2.11 2

Per le proprietà delle potenze si ha che 9 = 3 : quindi la disequazione diventa5x+8 2 x+1 5x+8 2(x+1) 2x+23 > (3 ) =⇒ 3 > 3 = 3 .

Poichè la funzione f (x) = 3 crescente x è monotòna (perchè la base è > 1), la disequazione diPartenza è equivalente alla disequazione 5x + 8 > 2x + 2−2.

Che ha soluzioni: x > f (x) g(x)

In generale se si deve risolvere la disequazione a > a , per la monotonia dellaCriterio 2.1funzione esponenziale, le soluzioni saranno tutti e soli

I valori di x che soddisfano la disequazione f(x) > g(x) sono quelli in cui a > 1; mentre saranno tutti e soli i valori di x che soddisfano la disequazione f(x) < g(x) se a < 1.

Sia da risolvere la disequazione > .

Esempio 2.12 8 2212 12 123(2x+1) x −1) > ( ) da cui si ottiene ( poichè < 1) la disequazione:

Essa è equivalente a: ( √ √2 − ∈ − ∪6x + 3 < x 1, che è verificata per x (−∞, 3 13) (3 + 13, +∞).

Data una funzione reale di variabile reale F , sia da risolvere una disequazione del Criterio 2.2 tipo: x ∈ F (a ) > k, ove k .

R6 ½ F (t) > kx

In questo caso si pone a = t e si risolve il sistema equivalente di disequazioni .

t> 0

Risolvere la disequazione Esempio 2.13 2x x −+ 2 2 < 0. (i)

2x = t. La disequazione si trasforma nel sistema:

Poniamo 2 ½ 2 −t + t 2 < 0. (ii)

t> 0

Le radici dell’equazione associata

t + t^2 = 0) sono t = t = 1.1 2Quindi (ii) è soddisfatto per i valori 0 < t < 1. ½ x0 < 2x < 1, che è equivalente al sistemaSostituendo si ottiene: 0 < 2 .x^2 < 1.x è sempre positiva, la prima disequazione è verificata per ogni valore diPoichè la funzione f (x) = 2x e quindi resta da risolvere la seconda. Si ottiene così x < 0.Risolvere la disequazioneEsempio 2.14 2x x− ·3 5 3 + 6 > 0. (i)x = t. La disequazione equivale al sistemaPoniamo 3 ½ 2 −t 5t + 6 > 0. (ii)t> 02 − 5t + 6 = 0) sono t = 2, t = 3.Le radici dell’equazione associata (t 1 2Quindi (ii) è soddisfatto per i valori t < 2, t > 3.x xSostituendo, si ottiene: 3 < 2 oppure 3 > 3. x xPoichè 3 > 1, la funzione f (x) = log x è crescente; quindi si ottiene log 3 < log 2, log 3 > log 3,3 3 3 3 3da cui x < log 2, x > 1.