Equazioni differenziali, Meccanica razionale

Equazioni differenziali

Perlustrati da questo ragionamento poiché lo scopo di questa lezione è trovare un modello matematico che descriva il sistema e più precisamente un sistema di equazioni differenziali. Calcolando che una equazione differenziale sopravvivesse, porterebbe molti dati del sistema fisico. Ricordiamo che una equazione differenziale è un'equazione che ha per incognita funzioni.

1° esempio: palso di massa vincolato a una molla

Il nostro scopo è risolvere le equazioni differenziali del moto. Scriviamo la II equazione di Newton:

m OP = RFO + mg + Fp risulta essere un'equazione vettoriale forza d'attrito

RFO - R(O-P) = -h xcp perché x = 0

Eseguo un'equazione vettoriale, la proiettiamo lungo gli assi, ma l'unico asse dove esercita il moto è l'asse x, perciò estraiamo lungo x:

• OP = x(t)
• OP = x(t) relazione di P lungo x
• OP = x(t) accelerazione di P lungo x

Da questo risulta la I legge di Newton e la seguente:

• x: m x(t) = - h x(t)
• y: 0 = 0
• z: 0 = 0 + 0

Fpy = mg

Fpy = 0

Questo è un caso semplice per capire cosa succede fuori.

Equazioni differenziali

Partiamo da questo argomento perché lo scopo di questa lezione è trovare un modello matematico che si sostanzia in un'equazione alle derivate ordinarie, che giustifica che le soluzioni delle equazioni differenziali supponiamo il periodo, moti del sistema fisico. Ricordiamo che una equazione alle derivate ordinarie è un'equazione che ha per incognite funzioni.

1° esempio: pulire di moto vincolato a una molla

Il nostro scopo è fissare le equazioni differenziali del moto. Scriviamo la II equazione di Newton:

mò = ΣF est

mò = R + mg + F

Risulta avere un'equazione vettoriale. fk è la costante elastica della molla, mentre parlerà della forza di richiamo:

R (0-P) = -h (K – x) -h kc x perché K=0

Essendo un'equazione vettoriale, la proiettiamo lungo gli assi, ma l'unico che deve eseguire il moto è l'asse x, perciò proietto lungo K:

ΟΡ = K(Η) x

velocità di P lungo ΚΟΡ = K(Η) x

accelerazione di P lungo K

Proietta l'asse la I legge di Newton da la seguente:

• x: mò = -h K(Η)

Equazione del moto:

• y: 0 = -mg + F pesi
• z: 0 = 0 + F pezzi

Questo è un caso semplice per capire cosa significa fare.

Audiamo ora a risolvere le ED del moto:

m x_c(t) = -b v_c(t) -> ẍ_c(t) + _b⁄_m ẋ_c(t) = 0

dove _b⁄_m = ω² ω costante = ω

L'ω è un ED di 2° ordine LINEARE, ciò significa che le derivate compaiono al 1° grado LINEARE VEDERE

Il concetto di lineare deriva dalla somma e sottrazione, il produttore di derivate e somme soluzioni, quindi per la somma di due soluzioni si ottiene soluzioni. L'ordine della ED (in questo caso) mi indica quant'è la dimensione dello spazio delle soluzioni ed esso è uno spazio di funzioni. Per risolvere la ED di 2° ordine attivo 2 soluzioni indipendenti allora nel solo delle ED diventa che la combinazione lineare di quelle due soluzioni prende uno spazio di dimensione 2 di funzioni. Per risolverla cerco delle soluzioni di tipo esponenziale -> x(t) = e^λt con λ ∈ C cerco allora in questo caso (-1) -> Desoluzione di ¹:

λ² + ω² = 0 -> ω sostituito &frac;b⁄_m = ω²

ED OMONOGENA

Faccio la derivata di e^λt

ẋ = λ e^λt

ẍ = λ² e^λt

Sostituisco in (1):

λ² e^λt + ω² e^λt = 0

e^{λ (2 + ω2)} = 0 poiché e^{λt 0} ottengo 1² + ω² = 0

ED CARATTERISTICA DELLA (1)

Sollevare dell'eq caratteristica:

λ² + -ω² -> λ₂ = ±i ω

Dunque posso dire che e^{A t} ed e^{λ t} sono soluzioni di (1). Ora, senza dimostranza che le 2 soluzioni sono linearmente indipendenti prodotto le soluzioni speciale:

K = d_e ^{λ t} + d₂ e^{λ x}

h. Se d. d_e e R sono delle costanti reali x_c(t) = C₁ cos(ωt) + C₂ sin(ωt) 5 questo è quello che mi interessa

Cosa c'entra il moto circolare uniforme?

P si muove di moto armonico lungo x

x = C₁ cos(ωt) + C₂ sen(ωt)

dove αt è l’angolo spazzato al raggio OQ. Se il raggio è 1 → OQ = 1 e il ha coordinate: Q (cosαt, senαt)

Nuova situazione: punto non vincolato sugli assi

Per la 2^a legge di Newton:

1. m a = k R̅O + m g̅
2. dove m g̅ = m g k̂

O̅P = x î + y ĵ + z k̂

accelerazione: ÖP = ẍ î + ÿ ĵ + z̈ k̂

Proietto (1) sugli assi:

1. x: m ẍ = – h ẋ
2. y: m ÿ = – h ẏ
3. z: m z̈ = – h ż – m g

ED del moto

ẍ + h_x/m ẋ = 0

ÿ + h_y/m ẏ = 0

z̈ + h_z/m ż = g = 0

Risolvendo queste ultime tre ED, ottengo soluzioni generali:

x = C₁ cos(ωt) + C₂ sen(ωt)

y = d₁ cos(ωt) + d₂ sen(ωt)

z = e₁ cos(ωt) + e₂ sen(ωt) + ф(t) dove ω² = b/m = √(h/m) ф(t)