Equazioni differenziali e serie numeriche: Appunti di Analisi

Equazioni Differenziali

• Equazione: uguaglianza con almeno un'incognita
• Risoluzione: valore per cui l'equazione è risolta (l'equazione diventa un'identità)

Equazione differenziale: è un'equazione caratterizzata dal fatto che l'incognita sia una funzione → possano apparire nell’equazione anche le derivate di x.

Equazioni differenziali del primo ordine

Consideriamo le equazioni del tipo

F(t, y, y') = 0

Ad esempio, la ricerca delle primitive di una funzione f continua su I equivale a risolvere l'equazione differenziale di primo ordine.

y(t) = f(t)

che ha infinite soluzioni del tipo:

y(t) = ∫f(t) dt + C,   C ∈ ℝ

Si dimostra poi che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine è costituito da una famiglia di funzioni dipendente da un parametro C: t → y(t; C); tale famiglia prende il nome di integrale generale dell'equazione (ma non è necessario fare l'integrale per risolverla)

La condizione supplementare

y(t₀) = y₀

permette, in generale, di selezionare una soluzione particolare.

Se il problema di risolvere le equazioni:

• y'(t) = f(t, y(t))
• y(t₀) = y₀

(in generale esiste un'unica soluzione)

Prende il nome di Problema di Cauchy.

Quando si parla di soluzione di Cauchy si intende sempre una funzione che:

1. È definita su un intervallo I, contenente il punto t₀ in cui è assegnata la condizione iniziale;
2. È ottenibile su tutto I e soddisfa l'equazione in tutto I.

Esempio: modello di Malthus forma N'(t) = ε · N(t)

Si considera una popolazione che evolve isolata e i cui unici fattori di evoluzione sono fertilità e mortalità. Indicheremo con N(t) il numero di individui presenti al tempo t, con λ il numero medio di nuovi nati e con μ il numero medio di nuovi morti per individuo nell’unità di tempo, cosicché in un tempo molto piccolo h, il numero di nuovi nati sarà λhN(t) e di morti sarà μhN(t).

Perciò la variazione del numero di individui in un tempo h sarà:

N(t+h) - N(t) = λhN(t) - μhN(t)

> N(t+h) - N(t) = 2N(t) - μN(t) per h -> 0

> N'(t) = (λ - μ) N(t) => N'(t) = ε·N(t)

> ε = N'(t)/N(t) = costante (γ N(t) ≠ 0)

ma questa può essere scritta come:

d/dt (ln|N(t)|) = ε => ln|N(t)| = εt + C₁

> 1/N(t) = e^C₁ · ε^t = k² · ε^t (γ k² = e^C₁)

e quindi infine:

N(t) = ± k²e^εt => N(t) = C e^εt (γ C = costante arbitraria)

soluzione generale delle equazioni differenziali o INTEGRALE GENERALE

Esempio: modello di Malthus forma y' = a(t) · b(y) (variabili separabili)

{ a continua in I ⊂ ℝ

b continua in J ⊂ ℝ

Se y₁ = soluzione di b(y) allora y(t₁) = y₁ ed è soluzione dell’equazione differenziale => b(y) ≠ 0

Se b(y) ≠ 0 allora:

y'/b(y(t)) = a(t) => ∫ y'/b(y(t)) dt = ∫ a(t) dt

Cambiamo la variabile y= y(t), dy= y'(t) dt al primo membro

→ Sol (y'' - 2y' - 8y = 0) = { C₁ e^4x + C₂ e^-2x | C₁, C₂ ∈ ℝ }

Se dobbiamo risolvere anche un p.d.c. (Problema di Cauchy):

y(1) = 4 ; y'(1) = 2 ; y'(1) = 0

∫ C₁ e^4t + C₂ e^-2t

2 C₁ e⁴ + 2 C₂ e^-2

→ 2 C₁ e⁴ - 2 C₂ e^-1 = 0

→ C₂ = 2 C₁ e⁶

C₁ = ¹/_3e⁴

la sostituisco nell'eq. di C₂

C₂ = ^{2 e6}/_{3 e⁴} = ²/₃ e²

→ Risolvo la soluzione del problema di Cauchy:

e^-2 [ y(x) + ⁴/₃ e^4x-4 + ²/₃ e^2x ]

Esempio soluzioni coincidenti:

SOL COINCIDENTI

y'' + y' + y/4 = 0

λ = ^-1/₂

Sol (y'' + y' + y/4 = 0) =→ { C₁ e^{1/4 x} + C₂ x e^{1/4 x} | C₁, C₂ ∈ ℝ }

Esempio soluzioni complesse:

SOL COMPLESSE (C)

Eq della molla: mx'' = -μx' - kx

mx'' + μx' + kx = 0

m λ₁,λ₂ = -μ ± √(μ² - 4km) / 2m

m = μ = k = 1 (posto in precedenza)

→ √(-3) / 2 = ^±i√3/₂

e^{(−1/2 + i√3/2) t} = e^{−1/2 t} [e^i√3/2

e^{(−1/2 − i√3/2) t} = e^{−1/2 t} [e^−i√3/2

e^θ = cosθ + i sinθ (formula di Eulero per i complessi)

eq. forzata/completa

y = Bx e^3x perché B e^3x è già soluzione dell'equazione omogenea

y' = 3Bx e^3x + B(1 + 3x) e^3x

y' = 3Bx e^3x + 3B(1 + 3x) e^3x = 3B(2 + 3x) e^3x

Sostituisco all'equazione di partenza: 3B(2 + 3x) e^2x - 3B(1 + 3x) e^x + 15Be^2xe^2x

= 6B + 3B·3x = 6B - 2B5x + 45B = 2

2B = 2 → B = 1

quindi la soluzione della forzante è:

y_f = -xe^3x

quindi la soluzione completa risulta essere:

Sol (y''' - 9y'' + 45y') =: C₁e^5x + C₂e^3x - xe^3x

SISTEMI EQ. DIFFERENZIALI I ORDINE (2.2): LINEARI A COEFF. COSTANTI

esempio:

X' = ax + by

y' = cx + dy

X = [ x ]

Y = [ y ]

r' = A·n

r' = A·h

A = [ a b ]

d c

Soluzioni del tipo

h e^λt

h e^λt

determine h e^λt = Ah e^λt ∀t

λ è autovalore di A e h il corrispondente autovettore

Se gli autovalori sono tutte regolari m possono costruire n soluzioni

Linearmente indipendenti di tipo: h₁ e^λ₁t, h₂ e^λ₂t ⋯ h_n e^λ_nt e la soluzione generale è la combinazione lineare di queste

x(t) = C₁ h₁ e^λ₁t + C₂ h₂ e^λ₂t ⋯ C_n h_n e^λ_nt

CASO 1: SEMPLICE → La matrice è diagonalizzabile in ℝ

• X'(t) = 3X(t) - 2y(t)
• y'(t) = 2x(t) - 2y(t)

X(t) = [ x(t) ]

y(t)

v(t) = [ v(t) ]

v(t)

v'(t) = A·v(t)

autovalori di A:

• 3 - λ - 2
• 2 -2 - λ

= -6 - 3λ + 2λ + λ² + 6

= λ² - 2 - 2

λ₁, λ₂ =

• 2
• 1

La soluzione delle due è una "successione"

Cioè: Una successione è una funzione con dominio

{a_n}, n ∈ ℕ --> ℝ

OUTPUT CUMULATIVO: Somma di tali g/l elementi

Successione argomento {a_n}

= a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆

=> a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ …

Successione parziale {S_N}

S_N = ∑_n=0^N ( a_n ) ∧ lim S_N = …

1) Una successione converge se converge la successione delle somme parziali.

2) Una successione diverge a +∞ se la successione delle somme parziali tendono a +∞.

3) Se una successione non converge e non diverge (cioè è oscillante all'infinito) allora la successione delle somme parziali diverge.

SERIE GEOMETRICA (di ragione q)

∑_n=0^∞ qⁿ = q⁰ + q¹ + q² + q³ + …

S_N = ∑_n=0^N qⁿ = q⁰ + q¹ + q² + q³ + … + q^N

facendo q · S_N = q¹ + q² + q³ + … + q^N+1

e poi S_N - q · S_N = q^N+1 - q⁰ => S_m ( q - 1 ) = q^N+1 - q⁰

=> S_N = ^{1 - qN+1}/_{1 - q}

p⁵ facendo: lim S_N = lim_{N → +∞} ^{1 - qN+1}/_{1 - q} = ¹/_{1 - q} sdose 1 < q < 1

OSS:

q ≠ 1 perché ho diviso (se q = 1 la serie diverge cioè va a +∞)

Se -1 < q < 1 la serie geometrica converge a ¹/_{1 - q} (come nell'esempio)