Equazioni differenziali e problema di Cauchy

Equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy

Teorema di esistenza e unicità

Ipotesi: Data l'equazione differenziale: \(y'(x)=f(x,y(x))\) se \(\Omega \in \mathbb{R}\) nel quale si ha che:

• La funzione \(f\) è continua in \(\Omega\).
• \(\forall (x,y) \in \Omega\), \(\exists \frac{\partial f}{\partial y} \in C^{0}(\Omega)\) (continua in \(\Omega\)).

Teorema: Allora \(\forall (x_{0}, y_{0}) \in \Omega\), esiste \(\mathbb{R}\) il problema di Cauchy

• \(y'(x)=f(x,y)\)
• \(y(x_{0})=y_{0}\)

Ammette un'unica soluzione locale, ossia:

• \(\exists I\) intervallo aperto con \(x_{0} \in I\).
• \(\exists ! y: I \rightarrow \mathbb{R}\).
• \(y'(x)=f(x,y)\) e verificata \(\forall x \in I\).

Esempi

• Es. 1: \(f(x,y)=\frac{1}{1+y^{2}}\Rightarrow \Omega=\mathbb{R} \times ]-1,1[\)
• Es. 2: \(f(x,y)=\frac{1}{x^{2}} \Rightarrow \Omega=\mathbb{R}^{2}\)
• Es. 3: \(f(x,y)=\frac{1}{x-y}\Rightarrow \Omega=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}\} \backslash \{x=y\}\)

\(\Rightarrow\) \(y'(x)+f(x,y) \rightarrow y'(x)=-\frac{1}{1-y^{2}-x^{2}}\)

Equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy

Teorema di esistenza e unicità

Ipotesi: Data l'equazione differenziale: \(y'(x) = f(x, y(x))\), se \(\Omega \subset \mathbb{R}^{2}\) nel quale si ha che:

• La funzione \(f\) è continua in \(\Omega\).
• \(\forall(x,y) \in \Omega\), \(\exists \partial f \in C^{0}(\Omega)\) = (continua in \(\Omega\)) \(\partial y\).

Teorema: Allora \(\forall(x_{0}, y_{0}) \in \Omega\) il problema di Cauchy:

• \(y'(x) = f(x, y)\)
• \(y(x_{0}) = y_{0}\)

Ammette un'unica soluzione locale, ossia:

• \(\exists I\) intervallo aperto con \(x_{0} \in I\).
• \(\exists y : I \rightarrow \mathbb{R}\).
• \(y'(x) = f(x, y)\) è verificato \(\forall x \in I\).

Esempi

• Es. 1: \(f(x, y) = \frac{1}{1 - x} \Rightarrow \Omega = \mathbb{R}_{x} \setminus \{1\}\)
• Es. 2: \(f(x, y) = x^{2} \Rightarrow \Omega = \mathbb{R}^{2}\)
• Es. 3: \(f(x, y) = \frac{x}{-y^{2} - x^{2}} \Rightarrow \Omega = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x \neq y \neq 0\}\)

\(\Rightarrow y'(x) + f(x, y) \Rightarrow y'(x) = \frac{-1}{1 - y^{2} - x^{2}}\)

Definizione: Equazioni differenziali autonome

Si tratta di equazioni in cui: \( f(t, y) = \frac{1}{g(t)} \)

Esempio

\( y' = a y \)
\( y(c) = y_0 \)
\( y(t) = y_0 e^{a t} \) definita \(\forall t \in \mathbb{R}\)

Se \( y_t \) è soluzione di \( y'(s) = a y(s) \), \(\forall s \in I\) (incognita) allora:

• \(\frac{y'(s)}{y(s)} = a, \ \forall s \in I\)
• \(\int_{y(c)}^{y(t)} \frac{y'(s)}{y(s)} ds = \int_c^t a ds = a t\)
• \(= \int_c^t d [\log y (=)]_{y(c)}^{y(t)}\)
• \(x = y(t)\)
• \(x = y(c)\)
• \(\Rightarrow\) Pongo: \(x = y(s) = \frac{d x}{y(s)} ds \) \(ds = \frac{d x}{y(x)}\)

\((*) =\) \(\log(y(t)) - \log(y(c)) = at \Rightarrow y(t) = y(c) e^{at} \Rightarrow\)

\(y(t) = y_0 e^{at}\)

Osservazione

Se \( f(t, y) \) dipende solo da \( y \), si può scrivere: \( f(t, y) = b(y) \) con \( b(y_0) = 0 \)

• \(y''(t) = h(y(t))\)
• E ha come soluzione: \(y(t) = y_0\)
• \(y(c) = y_0\)

Esempio

\(y' = 1 + y^2\)
\(y(0) = 0\)

Procedo come prima: \(\forall s \in I \subseteq \mathbb{R}, \ y'(s) = 1 + y(s), \ \exists t \ni\) sia ancora: \(z = y(s)\)

• \(\int_0^t \frac{y'(s)}{1 + y^2(s)} ds = \int_{y(c)}^{y(t)} \frac{dz}{1 + z^2} = \arctan y(t) - \arctan g(y(c)) =\)
• \(\Rightarrow y(t) = \tan g(t)\)

In generale si ha: dato

• \(y' = 1/g(y) \ (y(t_{0}) = y_{0}) \ si \ ha, \forall s \in I\)
• \(g(y(s)) \cdot y'(s) = 1\)
• \(\int_{t_{0}}^{t} (g(y(s)) \cdot y'(s)) ds = \int_{t_{0}}^{t} ds = t - t_{0}\)
• Se \(G\) è una primitiva di \(g\):
• \(G(y(t)) - G(y(t_{0})) = t - t_{0}\)

Vale "il contrario"? \(y(t) ? = G^{-1} (G(y(t_{0})) + t - t_{0})\). Sì.

Infatti esiste: \(G^{-1} \in C^{1}\) in un intervallo di \(y_{g}\).

• Se \(y' = h(y)\) \((y(t_{0}) = y_{0}, \ h(y_{0}) = 0\Rightarrow\) \(y(t) = y_{0}\) è soluzione.

Esercizio

\(y' = 2\sqrt{y}\)
\(y(4) = 1\)

Prendiamo \(\Omega = \mathbb{R} \times ]0,+\infty[\Rightarrow y(t) \in I\)

Osservazione: \(y' = 2\sqrt{|y|}\)
\(y(1) = 1\)
\(\Omega = \mathbb{R}^{2}\)
\(f \in C(\mathbb{R}^{1})\)
\(y(t) = 0 \Rightarrow\)

• Qundi: \(y_{1}(t) = t^{2}\)
• \(y_{2}(t) = 0\)
• Sono entrambe soluzioni di \((*)\) per \(t \in ]0,+\infty[\)

Riepilogo

\(\Omega \subset \mathbb{R}^{2}\) aperto, \(f \in C(\Omega, \mathbb{R})\), \((t, y) \in \Omega\),

Diciamo che...