Equazioni differenziali e problema di Cauchy

Equazioni Differenziali Ordinarie / Problema di Cauchy

Teorema (Esistenza e Unicità)

Hp.: Data l'eq. differenziale: y'(x) = f(x, y(x)) se Ω ∈ R nel quale si ha che:

• f funzione e continua in Ω
• ∂f/∂y esiste

(CONTINUA IN Ω)

Th. Allora (, y_o) ∈ Ω e R il problema di Cauchy

y'(x) = f(x,y)

y(x_o) = y_o

ammette un'unica solizione locale, ossia:

intervallo aperto con x_o ∈ I y: I → R y(x) = f(x,y) è verificato ∀ x ∈ I

Es.

Es.1) f(x,y) = 1 → Ω = R x ]-1,1[

1-y²

Es.2) f(x,y) = x² → Ω = R²

Es.3) f(x,y) =

→ Ω = {(x,y) ∈ R²| x,y≠ ± √2

f-y²-x²

∴ y'(x) = f(x,y) → y'(x) = -

• 1-y²-x²

Def.: Equazioni Differenziali Autonome:

Si tratta di equazioni in cui:

f(t,y) = ¹/_g(t) Es. _y’ = ay

y(0) = y₀ →

y(t) = y₀ e^at definita       ∀t ∈ ℜ

y₀ costanti

Se y_z è soluzione di Y(s) = ay(s)  ∀s ∈ I (incognita), allora:

Y’(s)   _Y(s)

Y(0) Y(s)

_Y(t)∫_Y(s)  ∫_s  1

  _Y(s) ds = t s      ds

d_s = dt Y(s) dx _s =

*) = &log;_{Y(t) Y(0)} = at → Y(t)

Osservazione:

Se f(t,y) Y(t) = y₀ e^at

*) = log (Y(t)) + log (Y(0)) = at → Y(t)

Osservazione: Se f(t, y) dipende solo da y, si può scrivere:

f(t, y) = h(y) h(Y)

_{Y(t, y)}= g₁(t) = y^-1(t) y(t) = (y^-t)(y^e)

= log (y(t)) - log 1 + t . 0 = y'(t) = e^t2

∫₀^t y^'(s)/y(s) ds = ∫₀^t 2 s: ds = t² (log(y(s))) |_0^t

Def.:

Diciamo che f è localmente lipschitziana (loc. lip.) se:

&forall I = [t_o - h, t_o + h] . x [y_o - k, y_o + k] ∃ 1 λ o

| f(t, y₁) - f(t, y₂) | ≤ λ | y₁ - y₂ |

&forall t ε [t_o - h, t + h ]

&forall y₁, y₂ ε [ y_o - k, y_o + k ]

Osservazione:

∂f/∂y ε C(Ω) ⇒ f è loc. lip.

Dim.:

► per il Teor. di Lagrange sia: ∀ y₁ , y₂ ε [y_o - k, y_o + k] , y₄ ≠ y₂

| f (t, y₁) - f(t, y₂) / y₁ - y₂ | = | ∂f/∂y (ξ) < max ∂F/∂z |

[t_o - h, t + h] ∃ per Weierstrass

per un opportuno ξ compreso tra y₁ e y₂.

y^''(t) - 2 c₁ e^2t - 3 c₁ e^-3t

Dunque risolvo il sistema

• y(0) = c₁ + c₂ = 2
• y(0) - 2 c₁ - 3 c₃ 5

c₁ = c₂ = 1

A • (1 -2 / c₁ -5) = c A • (1 1 / ) = c -2 3

• det A = 3t2 - 1 ≠ 0 ⬅ = INDP

CASO GENERALE:

Date: a,b,t0,y₀,y₁ Costanti Reali Cerchiamo la soluzione di:

• y^''(t₀) - y₀
• y^''(t₀) - y₁

Nelia forma seguente:

Y(T) = e₁ y₁(t) + e₂ y₁(t)

CONI: y₁(t) = e^λ_lt

y₂(t) = e^λ_2t

Determiniamo in modo che: u(t) e^t sin soluzione di:

• u''(t) = λ²e^λt; u(t)=e^λt

u'+ a u'+ b u = 0 e^λt (λ² + a λ + b):

Se λ ₁,λ₂ Radici dei Polinomio: λ²+aλ+b

• y₁(t) = e^λ_it
• y₂(t) = e^λ_2t

Y(t) = e₁ e^{λ_t + e₂ eλ_2+it:}

y'₁ = V¹ e_{λ^i1t λ}

Determiniamo e¹,e₂ conjunctione condizioni iniciali, e_efλet λte e_2fλ 2e_eλ 2x _{FO 1 = (0+c0) => c0=1}