Equazioni della fisica matematica, lezioni

Equazioni della Fisica Matematica

• Appunti alla lavagna pare (web)
• Appunti completi (web)
• Dispense (Bernelli + Gianni)

40% equazioni e sistemi del primo ordine (ai cui: propagazione (ecologia flussi), dinamica delle popolazioni, sistemi periodici, shallow water)

20% equazioni del secondo ordine (economia - bassa schiera, probabilità) calore propagazione e diffusione

10 % Laplace, probabilità

10 % filtri per immagini

Notazione:

• \[\ddot{x} + w^2 x = 0\] \[x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = v_0\] oscillatore armonico

• \[ x : T \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \quad F(t, x, \dot{x}, \ddot{x}) = 0 \]

se un incognito dipendono in generale anche dallo spazio \(u = u(x, t)\)

Quindi come notazione usiamo

U = \(\left(x_1, x_2, ..., x_n\right) \in \Omega \in \mathbb{R}^n, \Omega\) dominio di \(\mathbb{R}^n\) aperto con bordo sufficientemente regolare (escludiamo cose tipo i coni, supponiamo che la superficie sia elastica)

u : \(\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : (x, t) \rightarrow u(x, t)\)

26 Febbraio 2018

Le derivate parziali le indichiamo con

∂y/∂x

∂xu; ∂xu; ∂xu

Alcune operazioni differenziali consideriamo

assumendo che u sia c₁ e c₂

con u:Ω ⊂ R^m → R

(funzione di n variabili)

1. ∇u = {∂u/ ∂x_n, ..., ∂u/ ∂x_m}

gradiente

2. ∂w = ∂u: ∂¹ + ∂u: ∂_m

divergenza

Il gradiente da una funzione

associa un campo vettoriale, mentre

la divergenza ad un campo vettoriale associa

una funzione

3. Δu = div ∇u = ∂²u/ ∂:₂ + ∂²u/ ∂x_m

laplaciano

TEOREMA della DIVERGENZA

∂ D ⊂ R^m e

altrimenti

∫_ω div w dv = ∫_∂ω w·n da

dove dv = elemento volume ω ∈ R^m

e da = elemento volume ∂ω ⊂ Ω

n_m = normale esterna al 3D

Voglio dimostrare che \(\psi(z,t) = 0\)

per ogni \((z,t_0) \in I \times T\) tale che

\(\psi(z,t_0) = 0\) ma \(\psi\) è continua e quindi

\(= u(z_0)\) tale che \(\psi(z,t_0) > 0 \forall z \in L(u(z_0))\)

e avevamo scelto proprio \(0 = u(z_0)\)

\(\implies \int_0^t \psi(z,t_0) dt = \int_{L(u(z_0))} \psi(z,t_0) dt \leq 0\)

Il traverso è ovvio.

Bilancio della massa in forma locale

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div} (h - I) = 0\)

Nome una PDE non po aumenta se

adesso approssimazioni "relazioni costitutive"

in base al

\(\text{che non può } |h(x,t)| < u, \nabla u, D_{m_i} = - \)

Parleremo del flusso (ci poniamo nel caso 1 sola sub e zero.)

Trasporto passivo/avventivo

h = c(x,t)u → h e' proporzionale a \(u\) e \(c\)

\(A\) rimane in un

alla \(c\) \(= oxi i\) \(\Rightarrow \)pm e la velocità au

\(\Rightarrow \) flusso minimo

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div }c + \nabla\psi\ = 0\)

\(\uparrow\)

questo e quindi un'azione rimane

\(\text{div } = \sum_{i} \frac{\partial u_i}{\partial x_i} ; \sum_{i} \frac{\partial u_i}{\partial x_{i}} c_i; =\sum_{i} \frac{\partial u_i}{\partial x_{i}} \nabla \rho u_i \cdot u_i \cdot \text{div }c_i\)

Quindi le sue cimonei del primo aumme prenno sempre

essere separata & se trasporto passivo

• Convezione

h = h(u)u = c(u)u → relazioni al trasporto operce della massa

\(\Rightarrow \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div } (c[h]u + c[u]), u \nabla, u \nabla \le 0\)

\(\approx\) qua e rimane

OSSERVAZIONE 1

Posso sempre invertire x = c(t, 3, t) e trovare 3 = 3(t, x, t)? NO

ẋ = c(x, t)

x(0) = 3

x per (x, t) e tale che esistono due caratteristiche che passano per (x, t) avrei 2 soluzioni

OSSERVAZIONE 2

per ogni num (unica soluzione di *) posso assegnare la u(x; t1) ai num qualsiasi. dunque i num caratteristici cioe non tangenti ai caratteristiche in alcun punto

Trasporto di inquinante fiume

• bilancio massa
• trasporto passivo
• degradazione autocatalitica

fiume R → modello 1 dimensione spaziale

ut + hx - ru = 0

h = cu

a = costante velocità dell'acqua del fiume maggiore o meno nota e fissata

r = -mu

μ = tasso di degradazione > 0 e noto e fissato

û = ku → u = u₀ e^kt

• tasso di crescita x > 0
• tasso di decrescita x < 0

quindi il tasso di degradazione è in base ai decrescita

e abbiamo

u_t + ku - n = 0

Tempo di osservazione

a → x = età degli individui

u = u(a,t) = # individui di età a al tempo t

Consideriamo una densità di popolazione

su età a al tempo t

a = 0

D = [a₀, a₁]

a ∈ R⁺

x = fasci di età

d/dt ∫_D u(a,t) da = ∫_∂D μ(a,t)n(a,t) da - ∫_D μ(a)n(a,t) da

• flusso di trasporto passato con velocità 1 (u = x)

• Furono gli individui che entrano ad uscire dal fascio di età per invecchiamento
• Individui che muoiono negli stanti → nella fascia di età [0,1]

varominio nel tempo di individui nella

fascia di età D = [a₀, a₁]

u_t + n_a + μu = 0

dove u = u(a,t)

a ∈ (0, t_∞) e t ∈ (0, t_∞)

b~

nome di una caratteristica

a

conoscendo immesso

RICORDA CHE

u_t + n_a + μu = 0 da a

u(0, t) = β(t)

per t ∈ (0, t_∞)

u(a, 0) = u₀(a) a ∈ (0, x)

b = l'integrale dei

• # individui morti del defameta t fa consesso

dove

β(t) = ∫₀^t_∞ β_t(a)u(a,t) da

dove β_t(a) tasso di mortalità

Abitiamo un problema imporà in cui le condizioni

||f|| = sup_{t ∈ [0, T]} |f(t)| e^δt e δ ∈ R⁺

Abbiamo che e^{[0, T]} con ||f||_∞ = sup_{t ∈ [0, T]} |f(t)|

è Banach mis. ||.||_∞ è equivalmente a ||.||_∞

perche e^-δt ||f||_∞ ≤ ||f|| ≤ ||f||_∞

⇒ e^{[0, T]} con ||.|| è Banach e verifico che

posso scegliere δ in modo che valga una

contrazione

Siano f ∈ C e G ∈ e^{[0, T]} e t ∈ [0, T]

allora

|L(f)(t) - L(G)(t)| = |∫₀^t k(t-a) (F(a) - G(a)) da|

≤ ∫₀^t k(t-a) |f(a) - G(a)| da

= ∫₀^t k(t-a) e^δa |f(a) - G(a)| e^-δa da

≤ ∫₀^t k(t-a) e^δa sup_{a ∈ [0,T]} |f(a) - G(a)| e^-δa da

≤ ||f - G|| ∫₀^t k(t-a) e^-δa da

≤ ||f - G|| / β₀ ∫_t⁰ e^sa da = ||f-G|| / β₀ (μ - e^-st)

= e^st ||f - G|| / β₀ (μ - e^-δt)

(sto supponendo che sia unitara)

da cui ho che sup_{t ∈ [0, T]} |L(f)(t) - L(G)(t)|e^δt

≤ ||f - G|| / β₀ (1-e^-δt)

^{< (1)}

basta supporre che δ > β₀

⇒ ||L(f) - L(G)|| ≤ k ||f - G||

0 ≤ k < 1

e quindi è una contrazione → B(t) è unica

⇒ ∃ ed è unica (Teo Kendrich) □