Equazioni con due o più valori assoluti

Equazioni con 2 moduli

Caso semplice

|f(x)| = |g(x)|

f(x) = g(x)f(x) = -g(x)

I numeri reali hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali oppure opposti:

|3| = |-3| = 3|3| = |3| = 3

Esempio (1)

|x²-4| = |x-x²|

Risolveremo le due equazioni:

1. x²-4 = x-x²
2. x²-4 = -(x-x²)

1) 2x²-x-4 = 0

2) x-4 = 0      (x = 4)

2x²-x-4 = 0

Δ = 1 + 32 = 33x = ^1±√33/₄  => x₁ = ^1-√33/₄     x₂ = ^1+√33/₄

Le soluzioni sono 3

Equazioni con 2 moduli

Caso semplice

|f(x)| = |g(x)|

f(x) = g(x) f(x) = -g(x)

I numeri reali hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali oppure opposti:

|3| = |-3| = 3

|3| = |3| = 3

Esempio (1)

|x² - 4| = |x - x²|

Risolviamo le due equazioni:

1. x² - 4 = x - x²
2. x² - 4 = -(x - x²)

1. x² - x - 4 = 0
2. -2x² - x - 4 = 0

x = 4

2x² - x - h = 0

Δ = 1 + 32 = 33

x = ^{1 ± √33}/₄ => x₁ = -^√33/₄ x₂ = ^{1 + √33}/₄

X = ^±√33/₄ x = 4

Le soluzioni sono 3

ESEMPIO (2)

x + |x-3| = |2x-3|

STUDIAMO IL SEGNO DEGLI ARGOMENTI DEI 2 MODULI

x-3 ≥ 0 → x > 3

2x-3 > 0 → x > 3/2

RISOLVIAMO ORA TRE SISTEMI: SA ∪ SB ∪ SC

SA:

• x < 3/2
• x + (-x + 3) = -(2x - 3)

⇒ per x < 3/2 l'argomento dei 2 moduli è negativo

SB:

• 3/2 ≤ x < 3
• x + (-x + 3) = 2x - 3

⇒ per 3/2 ≤ x < 3il primo è negativoil secondo è positivo

SC:

• x ≥ 3
• x + x - 3 = 2x - 3

⇒ per x > 3 entrambi sono positivi

1. • x < 3/2
   • -(x - 3) = -2x + 3

   ⇒ x < 3/2

   • 2x = 0 → x = 0
2. • 3/2 ≤ x < 3
   • -x + 3 = 2x - 3

   ⇒ 3/2 ≤ x < 3

   • 2x = 6 → x = 3
3. • x ≥ 3
   • x + x - 3 = 2x - 3

   ⇒ x ≥ 3

   • 0 = 0 ∀x ∈ ℝ

S = S_A ∪ S_B ∪ S_C

Le soluzioni sono l'unione delle soluzioni dei tre sistemi:

• S_A: x < ³/₂ x = 0 è accettabile perché 0 < ³/₂
• S_B: ³/₂ ≤ x < 3 x = 3 non è accettabile perché 3 è compreso, qui invece ³/₂ ≤ x < 3
• S_C: x ≥ 3 ∀ x < R

N.B. qui le x vanno oltre 3 incluso.

S_A = 0 ; S_B = Ø ; S_C: x ≥ 3

Facendo l'unione: S : x = 0 ∨ x ≥ 3;

ESERCIZIO (3)

SEGNO degli argomenti:

2x + 7 ≥ 0    ⇒     x > -⁷/₂

x > 0    ⇒     x > 0

x + 3 > 0    ⇒     x > -3

$ = S_A ∪ S_B ∪ S_C ∪ S_D

S_A:

• x < -⁷/₂
• 1 - |-2x - 7| + |x| - |x - 3| = 0

S_B:

• -⁷/₂ ≤ x < -3
• 1 - (2x + 7) + |x| - |x - 3| = 0

S_C:

• -3 ≤ x < 0
• 1 - (2x + 7) + |x| - (x + 3) = 0

S_D:

• x > 0
• 1 - (2x + 7) + (x-3) = 0

RISOLVIAMOLI TUTTI

S_A:

• x < -⁷/₂
• 1 + 2x + 7 - x + x + 3 = 0 ⇒ 2x = -11 ⇒ x = -¹¹/₂

S_B:

• -⁷/₂ ≤ x < -3
• 1 - 2x - 7 - x + x + 3 = 0 ⇒ -2x = +3 ⇒ x = -³/₂