Valori assoluti nelle equazioni e disequazioni

VALORE ASSOLUTO = MODULO

DEF.

|x| = x se x > 0

|x| = -x se x < 0

è sempre ≥ 0

es. |8| = 8 | -8 | = 8

EQUAZ. IMMEDIATE

• |x| = 2     x = ±2
• |x| = 0     x = 0
• |x| = -3     impossibile

DISEQUAZ. IMMEDIATE

• |x| > 2     x < -2 ∨ x > 2     (*)
• |x| < 2     -2 < x < 2     (**)
• |x| ≥ 0     sempre
• |x| > 0     x ≠ 0
• |x| > -2     sempre
• |x| < -2     mai
• |x| ≤ +2     -2 ≤ x ≤ 2

N.B. (*) |x - 2| > 1

x - 2 < -1 ∨ x - 2 > 1

x < 1 ∨ x > 3

(**) |x - 2| < 1

-1 < x - 2 < 1

-1 + 2 < x < 1 + 2

1 < x < 3

VALORE ASSOLUTO = MODULO

DEF.

|x| = x se x > 0 -x se x < 0

è sempre ≥ 0

es. |8| = 8 |−8| = 8

EQUAZ. IMMEDIATE

|x| = 2   x = ±2

|x| = 0   x = 0

|x| = -3   impossibile

DISEQUAZ. IMMEDIATE

|x| > 2   x < -2 ∨ x > 2   (*)

|x| < 2   -2 < x < 2   (**)

|x| ≥ 0  (sempre)

|x| > 0   x ≠ 0

|x| > -2  (sempre)

|x| < -2  (mai)

|x| ≤ +2   -2 ≤ x ≤ 2

N.B. (*) |x−2| > 1

  x−2 < −1 ∨ x−2 > 1

  x < 1 ∨ x > 3

(**) |x−2| < 1

  -1 < x−2 < 1

  -1 < x < 3

METODO GENERALE

• EQUAZ. CON 1 VALORE ASSOLUTO

|x - 4| = 2x + 5

• Poiché |x - 4| =
  • x - 4 se x - 4 > 0 → x > 4
  • -x + 4 se x - 4 < 0 → x < 4

{x > 4x - 4 = 2x + 5}

{x > 4x - 2x = 4 + 5}

{x > 4-x = 9}

{x > 4x = -9 NON ACC}

{x < 4-x + 4 = 2x + 5}

{x < 4-x - 2x = 5 - 4}

{x < 4-3x = 1}

{x < 4x = - ¹/₃ ACCETT}

SOLUZ.

x = - ¹/₃

|x-4| > 2x+5

poiché |x-4| =

• x-4 se x-4 ≥ 0 → x ≥ 4
• -x+4 se x-4 < 0 → x < 4

x ≥ 4

• x-4 ≥ 2x+5
• x ≥ 4
• x - 2x ≥ 4 + 5
• -x ≥ 9
• x ≤ -9

Nessuna soluz.

x < 4

• -x + 4 > 2x + 5
• x < 4
• -x - 2x > 5 - 4
• x < 4
• -3x > 1
• x < 4
• x < -1/3

X < -1/3

Soluz. x < -1/3