Equazioni con due o più valori assoluti

Equazioni con 2 moduli

Caso semplice

|f(x)| = |g(x)|
f(x) = g(x)
f(x) = -g(x)

I numeri reali hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali oppure opposti:

|3| = |-3| = 3
|3| = |3| = 3

Esempio (1)

|x² - 4| = |x - x²|

Risolveremo le due equazioni:

1. x² - 4 = x - x²
2. x² - 4 = -(x - x²)

1) 2x² - x - 4 = 0

2) x - 4 = 0      (x = 4)

2x² - x - 4 = 0

Δ = 1 + 32 = 33

x = ^{1 ± √33}/₄  => x₁ = ^{1 - √33}/₄     x₂ = ^{1 + √33}/₄

Le soluzioni sono 3

Equazioni con 2 moduli

Caso semplice

|f(x)| = |g(x)|
f(x) = g(x)
f(x) = -g(x)

I numeri reali hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali oppure opposti:

|3| = |-3| = 3
|3| = |3| = 3

Esempio (1)

|x² - 4| = |x - x²|

Risolviamo le due equazioni:

1. x² - 4 = x - x²
2. x² - 4 = -(x - x²)

1. x² - x - 4 = 0
2. -2x² - x - 4 = 0

x = 4

2x² - x - h = 0

Δ = 1 + 32 = 33

x = ^{1 ± √33}/₄ => x₁ = -^√33/₄  x₂ = ^{1 + √33}/₄

X = ^±√33/₄  x = 4

Le soluzioni sono 3

Esempio (2)

x + |x-3| = |2x-3|

Studiamo il segno degli argomenti dei 2 moduli:

• x - 3 ≥ 0 → x > 3
• 2x - 3 > 0 → x > 3/2

Risolveremo ora tre sistemi: SA ∪ SB ∪ SC

SA:

x + (-x + 3) = -(2x - 3) ⇒ per x

SB:

3/2 ≤ x

x + (-x + 3) = 2x - 3 ⇒ per 3/2 ≤ x

SC:

x ≥ 3

x + x - 3 = 2x - 3 ⇒ per x > 3 entrambi sono positivi

1. x -(x - 3) = -2x + 3 ⇒ x
2. 2x = 0 → x = 0
3. 3/2 ≤ x -x + 3 = 2x - 3 ⇒ 3/2 ≤ x
4. 2x = 6 → x = 3
5. x ≥ 3x + x - 3 = 2x - 3 ⇒ x ≥ 3
6. 0 = 0 ∀x ∈ ℝ

S = S_A ∪ S_B ∪ S_C

Le soluzioni sono l'unione delle soluzioni dei tre sistemi:

• S_A: x < ³/₂
  x = 0 è accettabile perché 0 < ³/₂
• S_B: ³/₂ ≤ x < 3
  x = 3 non è accettabile perché 3 è compreso, qui invece ³/₂ ≤ x < 3
• S_C: x ≥ 3
  ∀ x < ℜ

S_A = 0 ; S_B = Ø ; S_C: x ≥ 3

Facendo l'unione: S : x = 0 ∨ x ≥ 3;

Esercizio (3)

Segno degli argomenti:

• 2x + 7 ≥ 0     ⇒     x > -⁷/₂
• x > 0     ⇒     x > 0
• x + 3 > 0     ⇒     x > -3

$ = S_A ∪ S_B ∪ S_C ∪ S_D

S_A:

x < -⁷/₂

1 - |-2x - 7| + |x| - |x - 3| = 0

S_B:

-⁷/₂ ≤ x < -3

1 - (2x + 7) + |x| - |x - 3| = 0

S_C:

-3 ≤ x < 0

1 - (2x + 7) + |x| - (x + 3) = 0

S_D:

x > 0

1 - (2x + 7) + (x-3) = 0

Risolvendo:

S_A:

x < -⁷/₂

1 + 2x + 7 - x + x + 3 = 0 ⇒ 2x = -11 ⇒ x = -¹¹/₂

S_B:

-⁷/₂ ≤ x

1 - 2x - 7 - x + x + 3 = 0 ⇒ -2x = +3 ⇒ x = -³/₂