Equazione di Shrodinger

Equazione di Schrödinger (1926)

Analogia delle eq. di Newton = F = ma in meccanica quantistica

Forza F = _du/_dx e dovuto ad una energia potenziale

m _d²x/_dt² = _du/_dx, m _dx/_dt² = -eq. differenziale ordinaria del 2° ordine

Si risolve per X(t) date le condizioni iniziali: X₀ = X(a)

Lo stato di un sistema classico è dato da (X, dx/dt)

Teo principio di indeterminazione: impossibile attribuire concerte di traiettoria allo stato classico

Stato di un sistema quantistico è rappresentato dalla funzione d'onda Ψ(x,t) a valori complessi

[Ψ(x,t)] = densità di probabilità

Da cui posso calcolare valori di aspettazione per grandezze fisiche osservabili

Eq. di Schrödinger

Indipendente dal tempo fornisce evoluzione temporale della funzione d'onda (come eq. di Newton con la traiettoria)

(da 1)

_ħ²/_2m ∇² Ψ(x,t) + U(x,t) Ψ(x,t) = i ħ _∂Ψ(x,t)/_∂t in presenza di un potenziale esterno U(x,t)

1. Eq. differenziali alle derivate parziali
2. Eq. di calore del 1° ordine

Data la condizione iniziale Ψ(x,t₀)

Eq. di Schrödinger consente di ricavare Ψ(x,t) per t > 0

Proposta nel 1926 da Schrödinger |ψ|²: densità di carica elettrica dell'elettrone

• Portava a contraddizioni
• Interpretazioni probabilistiche di Born → eguale ai singola particulus
• Incertezze intrinseche

Funzione di distribuzione in teoria cinetica:

n (ε) = densità di probabilità → particelle

f (P) = densità di probabilità → particelle

In meccanica statistica assomiglia all'idea di conoscere E_k energia all'intera particula

In linea di principio posso calcolare l'eq. di Newton per ogni singola particula

→ L'Eq. di Schrödinger non può al momento (1 sola particula, un istante)

→ Peccato non è plausibile (mondo non relativista)

• Argomenti di plausibilità
• Eq. di Schrödinger = lineare → principio di sovrapposizione

Se Ψ_i(x) sono le soluzione

la combinazione lineare di soluzione dell'equazione di Schrödinger è anch'essa soluzione

Ψ_{_} = K _Σ Ψ_j è soluzione

Argomento di plausibilità

Onde piane e^{i(kx - ωt)} sono soluzioni dell' equ. ali

Eq. di Schrödinger per particella libera: i_h² ∂²ψ/∂x² + i_h ∂ψ/∂t = 0

Eq. ali Schrödinger per particella libera

• Se vale la relazione di dispersione ω(k) = k² h/2 - non relativistiche

Può essere dimostrato che

|∫ψ(x,0)|² dx = 1 ⟹ |∫|ψ(x,t)|²dx = 1 ∀ t ≥ 0

Eq. di Schrödinger dipendente dal tempo

∂u(x, t)/∂t = -i

OPERATORI LINEARI AUTOSCI

Q = Q̂*

OPERATORI LINEARI AUTOSCI

Q = Q̂*

OSSERVABILI FISICHE Q

Valore di aspettazione sullo stato ψ(x):

Q = < ψ | Q̂ |ψ >

= 1 ∫ ψ* (x) Q̂ [ ψ(x) ] dx

nota potenziale energia e lo stato ψ(x)

(operatori autogeni)

si può recaudire il valore di aspettazione

Per grandezze fisiche ci aspettiamo valori di aspettazione reali:

< Q ⟩ ∈ ℝ < Q

< Q > =

= < ψ / Q̂ /ψ >=

solo a Q = Q̂*

L'essere autosci mi garantisce che il valore di aspettazione è reale

z = x + iy

-> z2 = z + z = y = Im (z) =0

> numero reale

(2)

f_i, g_j sono autofunzioni di Q̂ per autovalori diversi, tale loro

Q̂ f_i = q_i f_i

Q̂ g_j = q_j g_j

q_i ≠ q_j

q_i, q_j ∈ R

Q̂ = Q̂^*

q_i = q_i^*

q_j = q_j^*

⟨ f_i | Q̂ g_j ⟩ = ⟨ Q̂ f_i | g_j ⟩ = ⟨ q_i f_i | g_j ⟩

= q_i ⟨ f_i | g_j ⟩

⟨ Q̂ f_i | g_j ⟩ = ⟨ f_i | Q̂^* g_j ⟩

= ⟨ f_i | Q̂ g_j ⟩

= ⟨ f_i | q_j g_j ⟩

= q_j ⟨ f_i | g_j ⟩

( q_i - q_j )⟨ f_i | g_j ⟩ = 0

→ f_i, g_j sono ortogonali tra loro

(3)

Completezza

{ f_n } (n = 1,... ) è un insieme completo e ortonormale

se: ⟨ f_n | f_n ⟩ = 1

⟨ f_n | f_m ⟩ = δ_nm

delta di Kronecker

δ_nm = { 1 , n = m

0 , n ≠ m

f_n c = f_n

Per ogni f nelle spazio di Hilbert → | f ⟩ = Σ_n C_n f_n

f si può esprimere come combinazione

lineare di f_n

⟨ f_n | f ⟩ = Σ_n C_n ⟨ f_n | Σ_m C_m f_m ⟩ = Σ_m C_m ⟨ f_n | f_m ⟩

= Σ_m C_m δ_nm = C_n

C_n = ⟨ f_n | f ⟩

Le autofunzioni di un operatore autoaggiunto costituiscono un insieme completo e ortonormale

{f_n} = insieme dei possibili autovettori di un operatore autoaggiunto

Vettori in t^N e matrici M_J (NxN)

matrici autoaggiunte → η_ij = η_ji → autovalori reali: autofunzioni formano un insieme completo e ortonormale

Vettore in R^N

matrici simmetriche η_ij = η_ji → autofunzioni formano un insieme completo e ortonormale

2) E = 0

d²ψ/dx² = 0 → Soluzione "matematica"

Condizioni di raccordo:

• ψ(x=0) = A + B →
• ψ(x=L) = B → B=0

A = B = 0

Non c'è una soluzione per E=0 (differente dal caso con particella libera)

3) E > 0

d²ψ/dx² + k²ψ(x) = 0

eq. moto armonico

Sistema "matematica" combinazione lineare di cos(kx); sin(kx)

K = √(2mE)/ħ²

ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)

Condizioni di raccordo:

• ψ(x=0) = 0 → B=0
• ψ(x=L) = A sin(kL) = 0

sin(kL) = 0 → kL = nπ

K deve essere quantizzato

Regola di quantizzazione

k_n = mπ/L

E_n = ħ²k_n²/2m

E_m = (ħ²/_2m) (k²_mn + ((π²/_2mL²))).

In generale risolvendo l'eq. di Schrödinger e imponendo le condizioni di raccordo comporta regole di quantizzazione dovute al fatto che ψ deve essere autogenuino.

La regola di quantizzazione è la stessa che si ottiene con De Broglie.

Argomento di De Broglie: il cammino ottico (L) deve essere multiplo della lunghezza d'onda:

2L = nλ Km = 2π/L 2π = m (λ = h/mv)

È anche la stessa del caso di onde elettromagnetiche nella cavità di corpo nero.