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E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

In questo caso la corrente è in ritardo di 90° sulla tensione, e le due grandezze si dicono in quadratura di fase.

Utilizzando la relazione caratteristica di un capacitore, troviamo anche in questo caso tensione e corrente:

d v (

t ) ω ω

= = = = + °

⇒ ⇒

C

i (

t ) C I jCV I C V , arg I arg V 90

C C C C C C C

dt In questo caso la corrente è in anticipo di 90° sulla tensione. Analizziamo

cosa accade se sono presenti contemporaneamente un resistore, un

induttore e un capacitore. Come si vede dalla figura, nel dominio dei fasori,

R, ed 1/(jωC) sono i valori che, moltiplicati per la corrente,

jωL

restituiscono la rispettiva tensione. La tensione totale sarà

v AB

rappresentata dal fasore = + + , come possiamo vedere nel

V V V V

AB R L C

piano di Gauss. Si noti che la tensione sull’induttore e quella sul capacitore

sono sempre in (cioè sfasate di 180°). Nella situazione in

opposizione di fase

figura |V |>|V |, e si dice che si ha un comportamento ohmico–induttivo,

L C

in quanto il fenomeno induttivo “fagocita” quello del capacitore. Se

|V |<|V |, si avrà un comportamento Definiamo

ohmico–capacitivo.

L C la quantità X = ωL, mentre la quantità

reattanza induttiva reattanza capacitiva

L

I jI

= Χ = = = − Χ

C C

X =1/(ωC). Allora: .

V j I ; V j I

C ω ω

L L L C C C

2

j C j C

Definiamo inoltre la quantità:

impedenza Z ( )

Χ = Χ − Χ

= + Χ

Z R j L C

Ricordando che 1/R = G e definendo la quantità B = 1/X,

suscettanza

definiamo infine Y la quantità Y = G + B. Ovviamente avremo

ammettenza j

per un resistore = R, Y = G, per un condensatore Z = – X , Y = –j B ,

Z j

R R C C C C

mentre per un induttore Z = X , Y = B (con B e B pari agli

j j suscettanza capacitiva suscettanza induttiva

L L L L C L

inversi delle rispettive reattanze). Allora valgono in generale le relazioni: = , = Y L’impedenza

V I I V.

Z

può anche scriversi in forma esponenziale: = |z| e , essendo β l’angolo in figura (che risulta negativo nel

β

j

Z

caso di prevalenza capacitiva). L’impedenza si rappresenta schematicamente come un bipolo generico.

P o t

e n

z e i

n r e g i

m e s

i

n u

s

o i

d

a l

e (

2 . 3 )

P o t

e n

z e i

n r e g i

m e s

i

n u

s

o i

d

a l

e (

2 . 3 ) ω.

Consideriamo un bipolo inserito in un circuito in regime sinusoidale di frequenza angolare La potenza

istantanea assorbita dal bipolo avrà la seguente espressione:

ω α ω γ

= = + +

p (

t ) v (

t )

i (

t ) V cos( t ) I cos( t ) ϕ α

Ricordando la formula di Werner cosψcosϑ = (½)(cos(ψ–ϑ)+cos(ψ+ϑ)) e ponendo = – γ, otteniamo:

1 1 1

( )

ϕ ω ϕ ϕ ω ϕ

= + − = + −

p (

t ) VI cos cos(2 t ) VI cos VI cos(2 t )

2 2 2

Il primo addendo prende il nome di P, e risulta pari al valor medio della potenza istantanea in

potenza attiva

un periodo (il secondo addendo ha media nulla). Si definisce di tensione V il suo valore

valore efficace eff

√2,

massimo V diviso per e lo stesso vale per la corrente. Allora possiamo così scrivere le potenze:

( )

ϕ ω ϕ ϕ

= + − =

p (

t ) V I cos cos(2 t ) ; P V I cos

eff eff eff eff

Si definisce assorbita da un bipolo, il seguente prodotto:

potenza complessa

• 1 1 1 1 1

α γ ϕ ϕ ϕ

Α = = = = + = +

j j j

V I Ve Ie VIe VI cos j VI sin P jQ

2 2 2 2 2

dove i versi dei due fasori si assumono coordinati. La potenza attiva è dunque la parte reale della potenza

complessa, mentre la parte immaginaria Q si definisce La potenza complessa assorbita da un

potenza reattiva.

bipolo è uguale alla somma delle potenze complesse assorbite dagli elementi che lo compongono. Lo stesso

vale per potenza attiva e reattiva. Si definisce invece A il modulo della potenza complessa

potenza apparente

√(P

(V I ), e risulta A = + Q ). Per distinzione, la potenza reattiva viene misurata in

2 2 volt-amperè reattivi

eff eff

[VAr], mentre potenza complessa e apparente si misurano in [VA]. Sviluppando p(t) con la

volt-amperè

formula di addizione del coseno otteniamo la seguente relazione:

ϕ ω ϕ ϕ ω ω ϕ

= + − = + +

p (

t ) V I [cos cos(2 t )] V I cos (1 cos(2 t )) V I sin(2 t ) sin

eff eff eff eff eff eff

R S – C S

8 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

Si vede subito che il valore medio del primo addendo è proprio P, mentre il valor medio del secondo è nullo.

Il valore massimo del secondo addendo risulta proprio Q, e possiamo perciò definire la potenza reattiva

come il valore massimo del termine della potenza che si evolve nel tempo con valor medio nullo. La potenza

reattiva rappresenta l’energia magnetica, ed è presente solo se ci sono nell’impedenza capacitori e/o

ϕ

induttori, infatti in presenza di sole resistenze = 0 e dunque sinϕ = 0. Per capacitori e induttori, invece,

poiché tensione e corrente sono in quadratura di fase, la potenza attiva è nulla. Quando tensione e corrente

sono discordi la potenza sarà negativa e si avrà un trasferimento di energia dall’utilizzatore all’alimentatore.

Si noti che vale, per qualsiasi bipolo in regime sinusoidale, la relazione: tanϕ = Q / P

R

i

f a s

a m e n

t

o e m a s s

i m o t

r a s

f e r i

m e n

t

o d

i p o t

e n

z a (

2 . 4 )

R

i

f a s

a m e n

t

o e m a s s

i m o t

r a s

f e r i

m e n

t

o d

i p o t

e n

z a (

2 . 4 )

Consideriamo un circuito come quello in figura. Un problema comune è

quello di minimizzare la potenza dissipata. Per farlo si potrebbero

modificare le resistenze, ma risulta spesso molto costoso. Allora conviene

ridurre la potenza dissipata agendo sulla corrente di linea. La potenza attiva

ϕ

= , essendo ϕ lo sfasamento tra

sul carico U ha l’espressione: P V I cos

u eff eff

tensione applicata ai capi di U e corrente di linea I. Per come è definita P , si vede che è possibile ridurre la

u

corrente di linea, a parità di tensione e potenza, aumentando il fattore di potenza cosϕ. Dunque la potenza

persa lungo la linea diminuisce se riusciamo a ridurre sul carico lo sfasamento tra tensione e corrente

(rifasamento). Supponiamo che il carico sia induttivo. Dobbiamo ridurre ϕ ad uno sfasamento ϕ’, e per fare

ciò senza modificare la potenza P necessitiamo di

u

un bipolo che assorba potenza reattiva negativa

senza assorbire potenza attiva, in maniera da ridurre

la potenza reattiva da Q a Q , senza intaccare P .

u 2 u

Tale bipolo è un condensatore (detto di rifasamento)

posto in parallelo al carico. Naturalmente più è

piccolo ϕ’, più si riducono le perdite di potenza. Tuttavia un ϕ’ troppo piccolo

risulta, nella pratica, eccessivo e dunque si sceglie quel valore di ϕ’ tale che cosϕ’

= 0,9. Se il carico è capacitivo, il procedimento è analogo, e si dovrà utilizzare un

Supponiamo ora di avere un altro circuito, rappresentato dallo

induttore di rifasamento.

schema a destra, con E e Z assegnati. Ci proponiamo di trovare il carico Z da allacciare

L

alla rete per ottenere il massimo trasferimento di potenza attiva sul carico. Abbiamo:

2

 

E

2

= + Χ = =

= + Χ  

; ;

Z R j P R I R

Z R j  

+ Χ + + Χ

L L L L L L R j R j

 

L L

Per diminuire il denominatore (e quindi incrementare P ) poniamo X = – X . A questo punto calcoliamo la

L L

derivata di P rispetto ad R , e la poniamo uguale a zero. Allora si trova:

L L

( )

( )

∂ + 2

R E / ( R R

∂ + − +

2

P ( R R ) 2 R ( R R )

L L

= = = ⇔ − = ⇔ =

2 2 2

L L L L

E 0 R R 0 R R

∂ ∂ + L L

4

R R ( R R )

L L L

Con le nuove condizioni per Z (X = – X ; R = R), calcoliamo la potenza massima in termini di rendimento:

L L L 2

R I 1

η = =

L

2 2

+ 2

R I R I

L

Si trova dunque che la potenza attiva massima trasferibile è pari al 50% di quella di ingresso.

T r a s

f o r m a t

o r e (

2 . 5 )

T r a s

f o r m a t

o r e (

2 . 5 )

Sappiamo che se un induttore di L è percorso da corrente, genera un campo magnetico. Due

autoinduttanza

induttori L ed L posti in vicinanza, se pur separati dal punto di vista elettrico, vengono a condividere un

1 2

campo magnetico e si dicono e ciò che accade nell’uno, avviene nell’altro. In questo caso si avrà:

accoppiati,

d i (

t ) d i (

t ) d i (

t ) d i (

t )

= ± = ±

1 2 2 1

v (

t ) L M ; v (

t ) L M

1 1 2 2

dt dt dt dt

dove M è detta ed è specifica per una coppia di induttori vicini. La tensione sull’i-esimo

mutua induttanza,

induttore sarà, dunque, pari alla somma dei prodotti tra la propria autoinduttanza per la derivata temporale

R S – C S 9

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

della corrente su di esso circolante e la mutua induttanza per la derivata temporale della corrente circolante

sull’induttore a cui è accoppiato. Nel dominio dei fasori le relazioni precedenti assumono la seguente forma:

ω ω ω ω

= ± = ±

V j L I j MI ; V j L I j MI

1 1 1 2 2 2 2 1

Per i due (induttori) le rispettive autoinduttanze sono proporzionali al quadrato del proprio

avvolgimenti

numero di spire; la mutua induttanza M tra i due, è proporzionale al numero di spire di entrambe.

Definiamo (rappresentato schematicamente in figura) un dispositivo a quattro terminali,

trasformatore

costituito da due avvolgimenti, disposti attorno ad un nucleo comune (costituito da un materiale ad alta

permeabilità magnetica) che sfrutta il mutuo accoppiamento per generare

variazione dei livelli di tensione. Uno degli avvolgimenti è chiuso su un

generatore indipendente, mentre l’altro è allacciato ad un carico passivo.

Introducendo alcune ipotesi semplificative, è possibile definire il trasformatore

che descrive approssimativamente il comportamento di un trasformatore

ideale,

attraverso le seguenti relazioni caratteristiche (lineari):  

( ) 1 1

= ± = = ± = ±

v nv V nV ; i i I I

 

2 1 2 1 2 1 2 1

 

n n

/ N è il del trasformatore (con N ed N numero di spire del primo e del secondo

dove = N rapporto spire

n 2 1 1 2

induttore rispettivamente, che chiameremo e Il segno sulla relazione che lega le tensioni

primario secondario).

è positivo se sono concordi le polarità in corrispondenza dei terminali con i puntini, negativo altrimenti. Il

segno sulla relazione che lega le correnti è negativo se le correnti sono entrambe entranti o entrambe uscenti

dai rispettivi terminali con il puntino, positivo altrimenti. Nel caso in figura, ad esempio, i segni sono

entrambi positivi. R S – C S

10 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

C

C

I R

C U I T I T R

I F

A S E

I R

C U I T I T R

I F

A S E

C

a p i

t o l

o 3 .

G

e n

e r a t

o r e t

r i

f a s

e e c

a r i

c

o t

r i

f a s

e (

3 . 1 )

G

e n

e r a t

o r e t

r i

f a s

e e c

a r i

c

o t

r i

f a s

e (

3 . 1 )

Un è un elemento a tre terminali che collega tre generatori disposti (vedi figura), con

generatore trifase a stella

le tensioni di uguale modulo e tutte sfasate di 120° tra di loro:

( ) ( ) ( )

ω ω ω

= = − ° = + °

v (

t ) V cos t ; v (

t ) V cos t 120 ; v (

t ) V cos t 120

a m b m c m

= = ∠ − ° = ∠ ° + + =

V V ; V V 120 ; V V 120 V V V 0

a m b m c m a b c

L’ultima relazione può facilmente verificarsi sul piano di Gauss, e ci

consente di affermare che le tensioni sui tre generatori di un generatore

trifase costituiscono una terna equilibrata di tensioni. In figura è

rappresentato lo schema generale di un circuito trifase: un generatore

ed un carico trifase collegati insieme per mezzo di tre conduttori (di

solito equipotenziali), che costituiscono la Le

linea trifase. tensioni di linea

o (tensioni tra i conduttori della linea) sono:

concatenate = − = − = −

V V V ; V V V ; V V V

ab a b bc b c ca c a

= ∠ ° = ∠ − ° = ∠ °

V 3 V 30 ; V 3 V 90 ; V 3 V 150

ab m bc m ca m

(determinati per via grafica). Si chiamano invece

le correnti assorbite dal carico, e vale:

correnti di linea + + =

I I I 0

a b c

Un carico trifase dicesi se le correnti di linea

equilibrato

hanno tutte la stessa ampiezza, altrimenti.

squilibrato n '

Le configurazioni utilizzate per il carico sono

prevalentemente due: il carico ed

a stella a triangolo.

Generalmente essi possono trovarsi schematizzati nei

due modi illustrati a fianco. L’analisi di un circuito

trifase con valori dei generatori e delle impedenze

assegnati consiste nel trovare le correnti di linea e le

(correnti sulle varie impedenze).

correnti di fase

C

a r i

c

o a s

t

e l l

a (

3 . 2 )

C

a r i

c

o a s

t

e l l

a (

3 . 2 )

Supponiamo di avere un circuito trifase con carico a n '

stella, e che le tre impedenze siano identiche e pari a

Z=|Z| e . In questo caso le correnti di fase coincidono

ϕ

j

con quelle di linea. In prima analisi si può dimostrare

che il centro-stella dei generatori ed del carico

n n’

sono equipotenziali. Dunque è come se ci fosse un cortocircuito virtuale che li collegasse. Pertanto le tensioni

di fase coincidono con quelle dei rispettivi generatori e le correnti di linea si ricavano con la legge di Ohm:

= = =

I V / Z ; I V / Z ; I V / Z

a a b b c c

Si vede allora che le tre correnti di linea formano una terna equilibrata di correnti, essendo anch’esse tutte

sfasate tra di loro di 120°, ed in particolare questa terna è ruotata di un angolo –ϕ rispetto alla terna delle

tensioni. Tale circuito equivale a tre circuiti monofase indipendenti, ciascuno avente uno dei generatori è

un’impedenza in serie. La convenienza dell’utilizzo del trifase sta appunto nel fatto che per alimentare le tre

impedenze abbiamo utilizzato tre fili anziché sei. Se i tre conduttori della linea trifase non sono ideali, ma

presentano una impedenza di linea Z (che ragionevolmente consideriamo uguale per ogni filo), la

L

risoluzione del circuito è analoga, così come le proprietà delle correnti; cambieranno solo ampiezza e fase:

V V V

= = =

a b c

I ; I ; I

+ + +

a b c

Z Z Z Z Z Z

L L L

≠Z ≠Z (e, per generalità, ammettiamo che ci siano le impedenze Z ). In questo caso con il

Supponiamo ora Z

a b c L

teorema di Millman (nel dominio dei fasori) troviamo la tensione tra il nodo ed il nodo come:

V n n’

n

R S – C S 11

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

ϒ + ϒ + ϒ  

V V V 1 1

= ϒ = +

a aL b bL c cL  

V ϒ + ϒ + ϒ iL

n Z Z

 

aL bL cL i L

Una volta ottenuta la tensione si possono ricavare le correnti di fase (che coincidono con quelle di linea):

V n − − −

V V V V V V

= = =

a n b n c n

; ;

I I I

+ + +

a b c

Z Z Z Z Z Z

a L b L c L

Quando il carico è a stella vi è la possibilità di inserire un

quarto filo, detto come illustrato in figura. Nel caso di

neutro,

carico equilibrato, non cambia nulla, poiché i due nodi ed

n n’

erano già allo stesso potenziale, e dunque sul neutro non

circola corrente. Nel secondo caso la presenza del neutro fa sì

che il circuito trifase, per qualsiasi valore delle impedenze, si

comporti come un circuito equilibrato, poiché realizza la

condizione =0. Allora le tensioni di fase coincidono con

V n

quelle dei generatori, e le quattro correnti sono date da:

= = = = − − −

I V Y ; I V Y ; I V Y ; I I I I

a a a b b b c c c n a b c

La corrente nel neutro cresce all’aumentare dello squilibrio del carico.

C

a r i

c

o a t

r i

a n

g o l

o (

3 . 3 )

C

a r i

c

o a t

r i

a n

g o l

o (

3 . 3 )

Analizziamo come primo caso un circuito trifase a triangolo con tre impedenze identiche. Nel triangolo, le

tensioni di fase coincidono con le tensioni di linea. Dunque le correnti di fase e di linea sono:

ϕ ϕ

= = ∠ ° − = = ∠ − ° −

I V / Z 3(

V / | Z |) (30 ) ; I V / Z 3(

V / | Z |) ( 90 )

ab ab m bc bc m

ϕ

= = ∠ ° − = − = − = −

I V / Z 3(

V / | Z |) (150 ) ; I I I ; I I I ; I I I

ca ca c m a ab ca b bc ab c ca bc

Svolgendo le espressioni che determinano le correnti di linea troviamo:

ϕ ϕ ϕ

= ∠ − = ∠ − ° − = ∠ ° −

I 3(

V / | Z |) ; I 3(

V / | Z |) ( 120 ) ; I 3(

V / | Z |) (120 )

a m b m c m

Si vede che il rapporto tra le ampiezze delle correnti di linea e quella delle correnti di fase è √3. Si noti inoltre

che, a parità di impedenza e nel caso di carico equilibrato, le correnti di linea sono il triplo di quelle che si

avrebbero con carico a stella. Se il carico è squilibrato, la risoluzione è analoga, ma si avrà una terna di

correnti non equilibrate, in quanto |Z| e ϕ sono diversi per ogni impedenza. Entrambi i casi possono

risolversi analogamente con la che

trasformazione triangolo–stella,

permette di ricondurre un carico a triangolo ad un carico a stella

equivalente. La trasformazione si esegue con le seguenti formule:

Z Z Z Z

= =

ab ca ab bc

Z Z

;

+ + + +

a b

Z Z Z Z Z Z

ab bc ca ab bc ca

Z Z

= bc ca

Z + +

c Z Z Z

ab bc ca

La trasformazione inversa (stella–triangolo) può svolgersi analogamente, utilizzando le ammettenze:

ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ ϒ

ϒ = ϒ = ϒ =

a b b c a c

; ;

ϒ + ϒ + ϒ ϒ + ϒ + ϒ ϒ + ϒ + ϒ

ab bc ca

a b c a b c a b c

La trasformazione risulta quasi necessaria, invece, in due

situazioni: ci sono due carichi, uno a stella ed uno a triangolo,

oppure sono presenti impedenze di linea e un carico a triangolo.

Nel primo caso conviene trasformare la stella in triangolo

cosicché i lati dei triangoli si trovano in parallelo e possono

essere sostituiti da un’impedenza equivalente. Nel secondo caso

conviene trasformare il triangolo in stella in modo che le

impedenze di carico siano in serie con quelle di linea. Vediamolo

nel dettaglio, con riferimento alla figura. In questo caso troviamo

, Z e Z usando la formula soprastante, poi

le impedenze Z

a b c

calcoliamo la tensione tra i nodi con il teorema di Millman e infine calcoliamo le correnti di linea con le

V n R S – C S

12 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

stesse formule utilizzate per il caso di carico a stella con carico squilibrato ed in presenza di impedenze di

, e . Siamo ora in grado di determinare le correnti di fase, semplicemente

linea. Abbiamo così trovato a b c

I I

I

applicando la LKC ai tre nodi del triangolo, come già visto in precedenza.

P o t

e n

z a n

e i c

i

r c u

i

t

i t

r i f a s

e (

3 . 4 )

P o t

e n

z a n

e i c

i

r c u

i

t

i t

r i f a s

e (

3 . 4 )

Riassumiamo le relazioni trovate per tensione e corrente, indicando con pedice i valori efficaci rispettivi per

l

le grandezze di linea, e con pedice i valori efficaci per le grandezze di fase:

f

( ) ( )

= = = =

stella V 3 V ; I I ; triangolo V V ; I 3 I

l f l f l f l f

Si dimostra che un generatore trifase che alimenta carichi equilibrati eroga una potenza istantanea costante

(e coincide dunque con la potenza media), anziché pulsante, come nel caso monofase, e ciò vale per

entrambe le tipologie di carico. Se arg(Z) = ϕ, e tenendo conto delle relazioni soprascritte, troviamo:

ϕ ϕ

= = =

p (

t ) P 3

V I cos 3 V I cos

f f l l

Infine abbiamo le espressioni che definiscono la potenza reattiva, complessa, e apparente:

• ( )

ϕ ϕ ϕ

= Α = + Α =

Q 3 V I sin ; 3 V I cos j sin ; 3 V I

l l l l l l

Se si vuole calcolare la potenza impegnata in un carico trifase squilibrato è necessario calcolare la potenza

impegnata su ogni singola impedenza, e sommarle tutte. Si tenga presente che potenza attiva, reattiva e

complessa sono sommabili tra di loro, mentre la potenza apparente no:

Α ≠ Α + Α + + Α

...

TOT n

1 2

È anche possibile valutare potenza attiva e reattiva su un’impedenza con le seguenti relazioni:

2 2

V V

= = = =

2 2

Z Z

Re( ) ; Im( )

P Z I Q Z I

Z Z

Re( Z ) Im( Z )

Poiché la potenza attiva viene dissipata solo sull’eventuale resistore, mentre quella reattiva impegna

solamente eventuali induttori e/o capacitori.

R S – C S 13

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

D

D

I M E

N S I O N A M E N T O D E

G L I I M P I A N T I

I M E

N S I O N A M E N T O D E

G L I I M P I A N T I

C

a p i

t o l

o 4 .

T r a s

f o r m a t

o r i t

r i

f a s

e n

o r m a l

i

z z a t

i (

4 . 1 )

T r a s

f o r m a t

o r i t

r i

f a s

e n

o r m a l

i

z z a t

i (

4 . 1 )

Lo schema equivalente alla prima fase di un trasformatore

trifase è riportato in figura. Si identificano due impedenze

Z, Z , e un resistore R . Le due impedenze sono a loro

cc 0

volta costituite da un resistore ed un induttore in serie, che

schematizzano rispettivamente la resistenza del

conduttore con cui sono realizzati gli avvolgimenti e le

cadute di tensione dovute ai flussi dispersi. Il resistore

trasversale R tiene conto delle perdite di potenza attiva dovute alle correnti non circolanti negli

0

avvolgimenti (che nascono a seguito dei flussi dispersi). Alcune caratteristiche di un trasformatore

normalizzato sono riportate nelle norme. Una di queste è la potenza apparente richiesta A , un’altra è la

n

perdita a vuoto P della macchina (quando al primario non è allacciato il secondario), che assumiamo

0

dunque come dati. Chiamiamo V’ la tensione al primario. Allora troviamo la tensione monofase al primario,

n

dal quale ricaviamo la resistenza trasversale: 2

V ' E

= =

n

E R 3

0 P

3 0

Nella tabella troviamo anche il valore percentuale della corrente a vuoto rispetto alla corrente nominale

c

(valutate al primario). Si ha dunque: Α c

= =

n

I ' I I '

n 0 n

100

( E 3)

Chiamiamo V’’ la tensione al secondario. Possiamo ora calcolare la corrente nominale al secondario come:

n = =

n V '' / V ' I " (1 / n ) I '

n n n n

Sempre dalla tabella leggiamo il valore delle perdite dovute al carico P , dalle quali ricaviamo R :

cc cc

P

= cc

R

cc 2

3( " )

I n

L’impedenza di cortocircuito (al secondario) si calcola come il prodotto tra l’impedenza nominale Z e il

n

valore percentuale dell’impedenza di cortocircuito (riportato in tabella):

z )

(

nE z

= = Χ = −

⇒ 2 2

Z '' Z Z '' Z R

n cc n cc cc cc

I " 100

n

L’impedenza nominale Z’ sarà pari a E/I’ .

n n

C

r i

t

e r i

o t

e r m i

c

o , c

a d

u t

a d

i t

e n

s i

o n

e , r e n

d

i

m e n

t

o (

4 . 2 )

C

r i

t

e r i

o t

e r m i

c

o , c

a d

u t

a d

i t

e n

s i

o n

e , r e n

d

i

m e n

t

o (

4 . 2 )

Supponiamo di avere un trasformatore trifase normalizzato come nella figura del paragrafo precedente.

Supponendo che al secondario siano allacciati tre carichi di potenze rispettive P , P e P , e fasi rispettive φ ,

1 2 3 1

φ , e φ , l’i–esima corrente d’impiego I che scorre sull’i-esima linea è data da:

2 3 b,i P

= i

I φ

,

b i 3 V '' cos

n i

A seconda del tipo di cavo richiesto, le norme riportano le sezioni

relative a determinate correnti di impiego. Ovviamente va scelta la

sezione corrispondente alla corrente tabellata I appena superiore al

z,i

valore I . Sezioni così ricavate assicurano la robustezza del conduttore

b,i

per quanto riguarda gli stress termici (criterio Per proteggere il

termico).

nostro impianto da problemi quali corto-circuito (impianto guasto) o

sovraccarico (viene richiesta una potenza troppo alta per il cavo scelto

per la linea) si utilizza un interruttore magneto–termico. La portata (o

dell’interruttore deve essere scelta in maniera intelligente; l’interruttore deve attivarsi

I

corrente nominale) N, i

per correnti di guasto e non per ordinarie correnti di carico, pertanto:

R S – C S

14 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Elettrotecnica per l'esame del professor Viola. Il testo, dopo una veloce introduzione sulle grandezze elettriche, espone in maniera chiara e diretta i concetti più importanti dell'elettrotecnica, dalla corrente continua, alla corrente alternata, ai sistemi trifase, e al dimensionamento degli impianti. Le fonti principali sono i due libri: "quaderno di elettrotecnica" (Viola), e "principi di elettrotecnica" (perfetti), e appunti presi a lezione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria gestionale (AGRIGENTO, PALERMO)
SSD:
Docente: Viola Fabio
Università: Palermo - Unipa
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher RiccardoScimeca di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elettrotecnica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Palermo - Unipa o del prof Viola Fabio.

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