Elettrotecnica - Principi e applicazioni

O N

A L

E

P a r t

i

t

o r i

, l

i

n

e a r i

t

à e s

o v r a p

p

o s

i

z i

o n

e (

1 . 2 )

P a r t

i

t

o r i

, l

i

n

e a r i

t

à e s

o v r a p

p

o s

i

z i

o n

e (

1 . 2 )

Supponiamo di avere due resistori in serie, R ed R , connessi ad un generatore E. Risolvendo il circuito:

1 2

E E

= =

v R ; v R

+ +

1 1 2 2

R R R R

1 2 1 2

In generale vale sempre, per resistori in serie connessi ad un generatore di tensione:

n E

=

v R

i i n

∑ R j

=

j 1

Tale sistema è detto Supponiamo ora di avere 2 resistenze in parallelo connesse ad un

partitore di tensione.

generatore di corrente I. Risolvendo il circuito troviamo:

I I

= =

;

i G i G

+ +

1 1 2 2

G G G G

1 2 1 2

In generale vale sempre, per resistori in parallelo connessi ad un generatore di corrente:

n I

=

i G

i i n

∑ G j

=

j 1

Tale sistema è detto partitore di corrente.

Il principio di sovrapposizione degli

effetti può essere applicato ai generatori di

un circuito elettrico, quando gli elementi

sono tutti Un componente è lineare

lineari.

quando la sua principale caratteristica è

rappresentata, nel suo piano ideale di

riferimento, da una retta; ad esempio per

resistori e generatori si usa il piano

tensione – corrente, per capacitori si usa il

piano tensione – carica, mentre per

induttori tensione – flusso. Vediamo ora

un’applicazione, risolvendo il circuito in

figura. Questo si può scomporre come somma dei circuiti I e II, (aventi ciascuno un solo generatore) ai quali

applichiamo le formule dei partitori di tensione e di corrente rispettivamente:

E E v v

= = = =

Ι Ι

⇒

(Circuito I) 1 2

, ,

v R v R i i

Ι Ι Ι Ι

+ +

1 1 2 2 1 2

R R R R R R

1 2 1 2 1 2

I I

= − = = =

⇒

(Circuito II) , ,

i G i G v i R v i R

ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ

+ +

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

G G G G

1 2 1 2

Dunque, per la sovrapposizione degli effetti:

= + = + = + = +

v v v v v v i i i i i i

; ; ;

Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

Precisiamo che la sovrapposizione degli effetti vale solo per tensioni e correnti (e dunque le potenze vanno

calcolate in un secondo momento).

T e o r e m i d

i T h

é v e n

i

n e N

o r t

o n e t

e o r e m a d

i M i

l

l

m a n (

1 . 3 )

T e o r e m i d

i T h

é v e n

i

n e N

o r t

o n e t

e o r e m a d

i M i

l

l

m a n (

1 . 3 )

Il per le reti elettriche afferma che qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto

teorema di Thévenin da una AB (coppia di morsetti con la stessa corrente), è equivalente a un

porta cioè un generatore ideale di tensione in serie con un

generatore reale di tensione,

resistore. L'equivalenza vale per quello che accade all'esterno della rete e non

certo per quello che succede all'interno di essa. Una rete lineare resa bipolare

è pari alla

si comporta come un generatore reale di tensione la cui f.e.m. ξ eq

tensione a vuoto della rete alla porta AB (pari alla tensione tale da annullare

v 0

il sistema) e la cui resistenza R è pari alla resistenza interna R alla stessa

eq i

R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

porta AB, ovvero al rapporto tra tensione a vuoto e corrente di corto circuito I alla porta AB. Per

v 0 cc

resistenza interna si intende la resistenza vista dai nodi A e B quando la rete viene resa passiva, ossia quando

vengono spenti tutti i generatori, sostituendo, figurativamente, quelli di tensione con un cortocircuito e

quelli di corrente con un circuito aperto. Il afferma che una rete elettrica composta da

teorema di Norton

generatori di tensione, corrente e resistori con due terminali di uscita è equivalente a un generatore reale di

in parallelo con una resistenza. La corrente circolante, che entra da uno dei morsetti ed esce

corrente,

dall’altro è detta La R è la stessa dello schema di Thévenin. I due sono sistemi equivalenti:

di cortocircuito. eq ξ

= =

v R I

0 eq eq cc

Analizziamo il comportamento grafico

dei generatori reali. L’inclinazione dei

due grafici è dovuta alla resistenza

interna. Nel caso di un generatore reale

di tensione, più è bassa la resistenza, più

ci si avvicina al caso ideale (ed è minore

la potenza dissipata al suo interno). Nel

caso di generatore di corrente avviene il contrario, poiché più la resistenza è alta

più la corrente tende a non scorrere sul ramo dove è essa stessa presente (la

potenza dissipata risulta minore proprio perché scorre meno corrente sulla

resistenza).

Enunciamo ora un teorema, che sarà molto utile in seguito.

Supponiamo di avere una rete binodale come in figura.

Scriviamo la LKT per il percorso 1, 2 ed n:

− + + = = −

⇒

1) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB 1 1 1 1 AB 1 1 1

− + + = = −

⇒

2) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB 2 2 2 2 AB 2 2 2

− + + = = −

⇒

n ) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB n n n n AB n n n

Scrivendo LKC per il nodo A e sostituendo otteniamo:

+ + + = 

→ + + + = + + +

sostituendo

I I I V G G G E G E G E G

... 0 ( ... ) ...

1 2 n AB 1 2 n 1 1 2 2 n n

n E

∑ i

R

=

= i 1 i

dalla quale ricaviamo: (Teorema

V di Millman)

∑

AB G j

j

Se sono presenti generatori di corrente alla precedente vanno aggiunti i valori di corrente al numeratore. In

generale il teorema afferma che la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma

algebrica delle correnti di cortocircuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze di ogni ramo.

M e t

o d

o d

e i p

o t

e n

z i

a l

i d

i n

o d

o e d

e l

l

e c

o r r e n

t

i d

i a n

e l l

o (

1 . 4 )

M e t

o d

o d

e i p

o t

e n

z i

a l

i d

i n

o d

o e d

e l

l

e c

o r r e n

t

i d

i a n

e l l

o (

1 . 4 )

Si consideri il circuito in figura e supponiamo di volere conoscere le correnti sui vari resistori. Battezziamo i

nodi A, B e C e i loro rispettivi V , V e V (si tratta

potenziali di nodo A B C

ovviamente di grandezze fittizie e quindi di un’astrazione). Scegliamo

un nodo di riferimento (C), e poniamo il suo potenziale pari a 0. Si ha:

− −

V V V V V V

= = = = = = =

A C A B A B

i i ; i i ; i i

R AC R BC R AB

R R R R

1 2 3

1 1 2 3

Applichiamo LKC per i nodi A e B:

− − + + = + − = +

⇒

A

) i i Ig Ig 0 V (

G G ) V G Ig Ig

R R 1 2 A 1 3 B 3 1 2

1 3

− + + − = + − = −

⇒

B ) i i Ig Ig 0 V (

G G ) V G Ig Ig

R R 3 2 B 2 3 A 3 3 2

2 3

Dove con G indichiamo ovviamente le relative conduttanze. Riscriviamo il sistema in forma matriciale:

+ − +

   

 

G G G Ig Ig

V =

1 3 3 1 2

A

     

− + −

G G G V Ig Ig

     

3 2 3 3 2

B

R S – C S

4 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

Sappiamo allora, dalla geometria, che il potenziale al nodo A e al nodo B possono così ricavarsi:

+ − + +

   

Ig Ig G G G Ig Ig

1 2 3 1 3 1 2

det det

   

− + − −

Ig Ig G G G Ig Ig

   

= =

3 2 2 3 3 3 2

;

V V

+ − + −

A B

   

G G G G G G

1 3 3 1 3 3

   

det det

− + − +

G G G G G G

   

3 2 3 3 2 3

Trovato l’uno o l’altro potenziale, sostituiamo nelle equazioni ai nodi e troviamo anche il mancante,

dopodiché possiamo facilmente conoscere le correnti ai resistori utilizzando le prime tre equazioni scritte.

Dunque il metodo dei potenziali di nodo, valido generalmente per circuiti ove i generatori sono tutti di

corrente, afferma che è valido il seguente bilancio: “Il prodotto del potenziale di nodo per l’autoconduttanza del

nodo stesso sottratto del prodotto di potenziali mutui per conduttanze mutue, è uguale alla somma algebrica delle

L’autoconduttanza di un nodo è la somma di tutte le

correnti dei generatori che confluiscono nel nodo”.

conduttanze c