Elettrotecnica - Principi e applicazioni

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

A

A

N A L

I S I I N C O R

R E

N T E C O N T I N U A

N A L

I S I I N C O R

R E

N T E C O N T I N U A

C

a p i

t o l

o 1 .

N

o z i

o n

i p

r e l

i

m i

n

a r i ( 1 . 1 )

N

o z i

o n

i p

r e l

i

m i

n

a r i ( 1 . 1 )

In questo capitolo gli argomenti sono trattati sinteticamente poiché, per la maggior parte, sono concetti già

incontrati nel corso di Fisica II, dove sono stati affrontati in maniera esaustiva. Le quantità principali che si

incontrano in elettrotecnica sono tensione, corrente e potenza. In questo corso denoteremo con lettere

minuscole le grandezze variabili nel tempo e con lettere maiuscole quelle costanti. Definiamo la corrente

come un movimento ordinato di elettroni a cui può associarsi una velocità media. Il principio che viene

seguito per creare corrente elettrica è quello di creare lacune per facilitare il movimento degli elettroni.

Definiamo come il seguente rapporto:

intensità di corrente elettrica i dq

= = Α

i [

i ]

dt

La tensione tra due punti A e B si definisce come il lavoro fatto per spostare una carica da A a B, diviso la

carica stessa. Dunque per il potenziale abbiamo: dW

= =

v v V

[ ]

dq

La potenza elettrica è definita come la capacità di erogare lavoro elettrico nell’unità di tempo:

dW dW dq

= = = =

P vi P W

[ ]

dt dq dt

Si ha una potenza negativa se questa viene rilasciata, positiva se assorbita. Un elementino generico che

possiede due poli A e B è detto, in elettrotecnica, Cominciamo a descrivere gli

bipolo. elementi circuitali passivi

(o ossia quelli che non sono in grado di generare potenza. Chiameremo un elemento

utilizzatori), resistore

circuitale che dissipa energia sotto forma di calore. Esso introduce una resistenza. Per conduttori ohmici vale

la legge di Ohm (v = R). La resistenza serve a mantenere ordinato il flusso di elettroni. In linea teorica la

i

legge di Ohm è sempre valida. Tuttavia ad un eccessivo aumento della corrente si trova, su un diagramma v-

un andamento parabolico, perché aumenta la temperatura del conduttore a causa del calore dissipato nel

i,

resistore per effetto Joule. La seguente esprime la variazione di resistenza in funzione della temperatura:

( )

( )

α

= + −

R R 1 t t

0 0

Il reciproco della resistenza dicesi e si misura in Siemens (S = Ω ). La potenza dissipata da un

-1

conduttanza G

resistore si trova facilmente dalla legge di Ohm, ed è sempre non negativa:

= = =

2 2

P vi i R v / R

R

Due resistori si dicono in serie se hanno un unico morsetto in comune e sono attraversati dalla stessa

corrente. Per ogni resistore scriviamo: = R ; = R . Dunque otteniamo:

v i v i

1 1 2 2

( )

= + = + =

v v v i R R iR

eq

1 2 1 2

Due resistori si dicono in parallelo se hanno due morsetti in comune e assumono la stessa differenza di

potenziale. Per ogni resistore scriviamo: = R ; = R . Dunque otteniamo:

v i v i

1 1 2 2

 

1 1 v

= + = + = = +

⇒

 

i i i v G G G

TOT 1 2 eq 1 2

R R R

 

1 2 eq

Nel caso di resistore in parallelo dunque la resistenza equivalente risulta minore di ciascuna singola

resistenza, mentre nel caso di resistori in serie è sempre maggiore delle singole. Sommando infinite

resistenze in parallelo si ottiene un ossia un conduttore a resistenza nulla. La grande

cortocircuito ideale,

potenzialità del collegamento in parallelo è la possibilità di scelta, poiché se viene a mancare il collegamento

su uno dei resistori, la corrente continua a circolare sugli altri. Si trova che la resistenza equivalente di due

resistori di pari resistenza R, collegati in parallelo è pari a R/2. Dicesi un dispositivo che può funzionare

tasto

sia da interruttore che da cortocircuito. Si dice (o un elemento circuitale formato da

capacitore condensatore)

due armature conduttrici tra le quali si ha induzione completa. Tale elemento introduce una capacità C,

intesa come attitudine ad immagazzinare cariche separate. Vale, per i condensatori: q = Cv, da cui:

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

dv i 1 2

∫

= = − =

⇒ ⇒

i C dv dt v v i dt

2 1

dt C C 1

Se due condensatori sono collegati in parallelo hanno la stessa tensione. Possiamo allora scrivere:

dv dv

( )

= + = + =

i i i C C C

TOT 1 2 1 2 eq

dt dt

Due capacitori in serie hanno la stessa carica, e la formazione di cariche indotte è esattamente una forma di

corrente. Essendo i condensatori attraversati dalla stessa intensità di corrente possiamo scrivere:

 

1 1 1 1 CC

t t t

∫ ∫ ∫

= = = + = + =

⇒ ⇒ 1 2

 

v i dt ; v i dt v v v i dt C +

1 2 TOT 1 2 eq

−∞ −∞ −∞

C C C C C C

 

1 2 1 2 1 2

Per il condensatore è più facile parlare in termini di energia anziché di potenza, e dunque scriviamo:

( )

dv C C

2 2 2

∫ ∫

= = = = −

 

2 2 2

W Pdt vC dt v v v

 

12 2 1

dt 2 2

1

1 1

Per parlare del terzo elemento circuitale passivo (induttore), facciamo prima una breve introduzione sul

campo magnetico. Qualsiasi sistema percorso da corrente genera un campo magnetico. Le linee che ne

descrivono il campo non sono linee di forza, poiché la forza è sempre ad esse ortogonale. In elettrotecnica si

suole utilizzare, anziché il campo magnetico, il suo flusso Φ attraverso una superficie, poiché, essendo uno

scalare, è più facile da trattare. Per valori non troppo elevati tale flusso è proporzionale alla corrente.

Utilizziamo questa proprietà e la legge di Faraday per collegarci ai fenomeni elettrici:

Φ

d d ( Li ) di

= = =

v L

dt dt dt

dove la costante L è detta e si misura in Henry (H). Anche induttori (finalmente una novità!)

induttanza

possono collegarsi in serie e in parallelo. Il ragionamento è lo stesso usato per i resistori (si noti la

somiglianza della precedente equazione con la legge di Ohm). Avremo così: L L

{ } { }

= + = 1 2

serie L L L ; parallelo L +

eq 1 2 eq L L

1 2

Definiamo come un punto geometrico dove confluiscono più morsetti. Definiamo qualsiasi

nodo ramo

percorso elettrico compreso tra due nodi. Ricordiamo le leggi Kirchhoff:

Prima legge: Dato un nodo, la somma delle correnti confluenti è nulla. Per fare un bilancio delle

1 )

1 ) correnti occorre dunque definirne il verso convenzionale.

Seconda legge: Stabilito un percorso chiuso che incontri diversi elementi circuitali (maglia), la

2 )

2 ) somma algebrica delle tensioni è nulla.

Diamo ora uno sguardo a due elementi circuitali attivi: il ed il

generatore ideale di tensione generatore di corrente.

Il primo è un dispositivo capace di generare una differenza di potenziale, il secondo una corrente. Se la

tensione generata è costante, allora il generatore si denota con la lettera E. Se la corrente generata è costante

allora il generatore si denota con la lettera I. Due generatori di tensione possono collegarsi in serie, e la

tensione totale è la somma algebrica delle singole (se si collegano in parallelo si ha una forte scarica e si

portano allo stesso potenziale; si tratta tuttavia di una situazione pericolosa e per questa va evitata). Due

generatori di corrente si collegano invece solo in parallelo; collegandoli in serie si entra in una evidente

contraddizione. Vediamo ora in figura gli elementi circuitali (attivi e passivi) visti in questo capitolo. La

freccia indica la convenzione adottata sul verso della corrente, mentre i simboli esterni + e – indicano la

convenzione adottata sulla direzione di tensione (direzioni di riferimento associate):

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

P a r t

i

t

o r i

, l

i

n

e a r i

t

à e s

o v r a p

p

o s

i

z i

o n

e (

1 . 2 )

P a r t

i

t

o r i

, l

i

n

e a r i

t

à e s

o v r a p

p

o s

i

z i

o n

e (

1 . 2 )

Supponiamo di avere due resistori in serie, R ed R , connessi ad un generatore E. Risolvendo il circuito:

1 2

E E

= =

v R ; v R

+ +

1 1 2 2

R R R R

1 2 1 2

In generale vale sempre, per resistori in serie connessi ad un generatore di tensione:

n E

=

v R

i i n

∑ R j

=

j 1

Tale sistema è detto Supponiamo ora di avere 2 resistenze in parallelo connesse ad un

partitore di tensione.

generatore di corrente I. Risolvendo il circuito troviamo:

I I

= =

;

i G i G

+ +

1 1 2 2

G G G G

1 2 1 2

In generale vale sempre, per resistori in parallelo connessi ad un generatore di corrente:

n I

=

i G

i i n

∑ G j

=

j 1

Tale sistema è detto partitore di corrente.

Il principio di sovrapposizione degli

effetti può essere applicato ai generatori di

un circuito elettrico, quando gli elementi

sono tutti Un componente è lineare

lineari.

quando la sua principale caratteristica è

rappresentata, nel suo piano ideale di

riferimento, da una retta; ad esempio per

resistori e generatori si usa il piano

tensione – corrente, per capacitori si usa il

piano tensione – carica, mentre per

induttori tensione – flusso. Vediamo ora

un’applicazione, risolvendo il circuito in

figura. Questo si può scomporre come somma dei circuiti I e II, (aventi ciascuno un solo generatore) ai quali

applichiamo le formule dei partitori di tensione e di corrente rispettivamente:

E E v v

= = = =

Ι Ι

⇒

(Circuito I) 1 2

, ,

v R v R i i

Ι Ι Ι Ι

+ +

1 1 2 2 1 2

R R R R R R

1 2 1 2 1 2

I I

= − = = =

⇒

(Circuito II) , ,

i G i G v i R v i R

ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ ΙΙ

+ +

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

G G G G

1 2 1 2

Dunque, per la sovrapposizione degli effetti:

= + = + = + = +

v v v v v v i i i i i i

; ; ;

Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

Precisiamo che la sovrapposizione degli effetti vale solo per tensioni e correnti (e dunque le potenze vanno

calcolate in un secondo momento).

T e o r e m i d

i T h

é v e n

i

n e N

o r t

o n e t

e o r e m a d

i M i

l

l

m a n (

1 . 3 )

T e o r e m i d

i T h

é v e n

i

n e N

o r t

o n e t

e o r e m a d

i M i

l

l

m a n (

1 . 3 )

Il per le reti elettriche afferma che qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto

teorema di Thévenin da una AB (coppia di morsetti con la stessa corrente), è equivalente a un

porta cioè un generatore ideale di tensione in serie con un

generatore reale di tensione,

resistore. L'equivalenza vale per quello che accade all'esterno della rete e non

certo per quello che succede all'interno di essa. Una rete lineare resa bipolare

è pari alla

si comporta come un generatore reale di tensione la cui f.e.m. ξ eq

tensione a vuoto della rete alla porta AB (pari alla tensione tale da annullare

v 0

il sistema) e la cui resistenza R è pari alla resistenza interna R alla stessa

eq i

R S – C S 3

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

E I G

LL

EE

TT

TT

RR

OO

TT

EE

CC

NN

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

E I G

L

E T T R O T E C N

I

C A P

E R N

G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

porta AB, ovvero al rapporto tra tensione a vuoto e corrente di corto circuito I alla porta AB. Per

v 0 cc

resistenza interna si intende la resistenza vista dai nodi A e B quando la rete viene resa passiva, ossia quando

vengono spenti tutti i generatori, sostituendo, figurativamente, quelli di tensione con un cortocircuito e

quelli di corrente con un circuito aperto. Il afferma che una rete elettrica composta da

teorema di Norton

generatori di tensione, corrente e resistori con due terminali di uscita è equivalente a un generatore reale di

in parallelo con una resistenza. La corrente circolante, che entra da uno dei morsetti ed esce

corrente,

dall’altro è detta La R è la stessa dello schema di Thévenin. I due sono sistemi equivalenti:

di cortocircuito. eq ξ

= =

v R I

0 eq eq cc

Analizziamo il comportamento grafico

dei generatori reali. L’inclinazione dei

due grafici è dovuta alla resistenza

interna. Nel caso di un generatore reale

di tensione, più è bassa la resistenza, più

ci si avvicina al caso ideale (ed è minore

la potenza dissipata al suo interno). Nel

caso di generatore di corrente avviene il contrario, poiché più la resistenza è alta

più la corrente tende a non scorrere sul ramo dove è essa stessa presente (la

potenza dissipata risulta minore proprio perché scorre meno corrente sulla

resistenza).

Enunciamo ora un teorema, che sarà molto utile in seguito.

Supponiamo di avere una rete binodale come in figura.

Scriviamo la LKT per il percorso 1, 2 ed n:

− + + = = −

⇒

1) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB 1 1 1 1 AB 1 1 1

− + + = = −

⇒

2) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB 2 2 2 2 AB 2 2 2

− + + = = −

⇒

n ) V R I E 0 I (

V / R ) ( E / R )

AB n n n n AB n n n

Scrivendo LKC per il nodo A e sostituendo otteniamo:

+ + + = 

→ + + + = + + +

sostituendo

I I I V G G G E G E G E G

... 0 ( ... ) ...

1 2 n AB 1 2 n 1 1 2 2 n n

n E

∑ i

R

=

= i 1 i

dalla quale ricaviamo: (Teorema

V di Millman)

∑

AB G j

j

Se sono presenti generatori di corrente alla precedente vanno aggiunti i valori di corrente al numeratore. In

generale il teorema afferma che la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma

algebrica delle correnti di cortocircuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze di ogni ramo.

M e t

o d

o d

e i p

o t

e n

z i

a l

i d

i n

o d

o e d

e l

l

e c

o r r e n

t

i d

i a n

e l l

o (

1 . 4 )

M e t

o d

o d

e i p

o t

e n

z i

a l

i d

i n

o d

o e d

e l

l

e c

o r r e n

t

i d

i a n

e l l

o (

1 . 4 )

Si consideri il circuito in figura e supponiamo di volere conoscere le correnti sui vari resistori. Battezziamo i

nodi A, B e C e i loro rispettivi V , V e V (si tratta

potenziali