Elettrotecnica - Appunti

A

Partitore di tensione

R ′

1 V ′ R

·

V = V = E 2

R R +R

2 1 2

al numeratore abbiamo la resistenza ”interessata” al

E R 2 denominatore la somma di tutte le resistenze.

Si può applicare in un circuito con n resistenze.

Partitore di corrente

I R

·

I = I 1

2

I I R +R

1 2

1 2 al numeratore abbiamo la resistenza ”non

E R R interessata” al denominatore la somma di tutte le

1 2 resistenze.

Questa formula si può usare solo nel caso con due resistenze, come in figura, per n resistenze si usa:

G

·

I = I 2

2 G +G +...+G

1 2 n

Condensatori

I condensatori sono bipoli reattivi perché riescono ad immagazinare energia, inoltre sono passivi e lineari

(rispetto a q e V oppure rispetto a i e dv/dt).

In corrente continua si comportano da circuito aperto, a frequenze molto alte da cortocircuito.

Il condensatore è inerziale rispetto alla tensione, vuol dire che si oppone a brusche variazioni di quest’ultima.

·

Carica: q = C V

dv

Corrente: i = C dt t

1 R

Tensione: V = i dt

−∞

C 2

12

Energia: W = CV

c 6

In serie: 1

C =

eq 1 1

1 ···

+ + +

C C C

1 2 n

In parallelo: · · ·

C = C + C + + C

eq 1 2 n

Induttori

L’induttore è un bipolo lineare, passivo, reattivo rispetto al campo magnetico. Inoltre è un bipolo inerziale

rispetto alla corrente. di

La sua linearità la notiamo tra V e oppure tra Φ e i.

Σ

dt

In corrente continua si comporta da cortocircuito, a frequenze molto alte si comporta da circuito aperto.

d(Li)

dΦ

di ⇒

(deriva da v = v = )

Tensione: V = L Σ

dt dt dt

t

1 R

Corrente: i = V dt

−∞

L 2

12

Energia: W = LI

L

In serie: · · ·

L = L + L + + L

eq 1 2 n

In parallelo: 1

L =

eq 1 1 1

···

+ + +

L L L

1 2 n

Teorema fondamentale della topologia delle reti

In un circuito il numero dei rami è pari alla somma del numero di maglie indipendenti e del numero dei nodi

diminuito di uno: −

b = l + n 1

Nuovo teorema fondamentale della topologia delle reti

Il numero di incognite (b), in un sistema di Kirchoff per la risoluzione di circuiti lineari, è uguale al numero

di maglie indipendenti (l) sommato al numero di nodi non degeneri (n) diminuito di uno:

−

b = l + n 1

b è anche uguale alla differenza tra il numero dei rami ed il numero di nodi degeneri.

Leggi di Kirchoff

Prima legge (LKC):

La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.

7 I

N 1

P i =0

k I

k=1 3

A

dove N è il numero di rami connessi al I 2

nodo.

Seconda legge (LKT):

La somma delle tensioni lungo una maglia chiusa è nulla. R

1

N

P V = 0

k

k=1

dove N è il numero di bipoli appartenenti V

R 1 R V

E 2 R

alla maglia. 2

α

Analisi Nodale

L’analisi nodale è un metodo sistematico per determinare le tensioni ai nodi di un circuito elettrico. Questo

approccio è particolarmente utile per i circuiti con molte maglie e per reti con molti elementi in parallelo,

generatori di correnti e supernodi.

Passaggi principali

1. Identificazione dei nodi: Si identificano tutti i nodi del circuito. Si sceglie uno come riferimento

al quale assegniamo il potenziale nullo ai restanti nodi si assegnano variabili di tensione rispetto al

riferimento.

2. Applicazione della LKC: Per ogni nodo (escluso il riferimento), si scrive l’equazione della LKC

esprimendo le correnti in funzione delle tensioni nodali.

3. Risoluzione: Si ottiene un sistema del tipo GV = I

Metodo di Ispezione

Il metodo di ispezione è un approccio semplificato per scrivere direttamente le equazioni dell’analisi nodale

senza passare per tutti i passaggi formali.

1. Costruzione della matrice G:

• Gli elementi G rappresentano la somma delle conduttanze che insistono sul nodo i-esimo;

ii

• ̸

Gli elementi G , i = j rappresentano la somma delle conduttanze comprese tra il nodo i ed il

ij

nodo j cambiate di segno.

2. Scrittura della matrice: Si scrive il sistema matriciale:

·

G V = I

dove: 8

• G è la matrice di conduttanza nodale;

• V è il vettore delle tensioni nodali, gli elementi v sono le tensioni del nodo i-esimo;

i

• I è il vettore delle correnti ed ogni elemento I è la somma algebrica delle correnti che insistono

i

sul nodo i-esimo.

Supernodo

Il supernodo è un concetto utilizzato nell’analisi nodale per gestire i circuiti contenenti generatori di

tensione. Poiché un generatore di tensione impone una differenza di potenziale tra due nodi, non è possibile

applicare direttamente la LKC ad uno solo di essi. Invece, si trattano i due nodi come un unico nodo esteso,

chiamato supernodo che è costituito dal generatore, i nodi ai suoi capi, ed eventuali rami in parallelo ad

esso; non ha un potenziale nullo e necessita della LKC e della LKT per la risoluzione.

Analisi nodale modificata

1. Identificazione del supernodo: Si combinano i due nodi collegati dal generatore di tensione in un

supernodo.

2. Applicazione della LKC: Si scrive l’equazione della LKC per il supernodo, considerando tutte le

correnti che entrano ed escono.

3. Vincolo aggiuntivo: Si aggiunge l’equazione del generatore di tensione per definire la relazione tra

le tensioni ai due nodi.

Analisi agli anelli

L’analisi agli anelli è un metodo sistematico per determinare le correnti agli anelli di un circuito elettrico.

Questo approccio è particolarmente utile per i circuiti con molti nodi e per reti contenenti molti elementi in

serie, generatori di tensione e superanelli.

Un anello è una maglia, quindi un percorso chiuso, che non contiene altre maglie al suo interno.

Definizione:

Passaggi principali

1. Identificazione degli anelli: Si identificano tutti gli anelli del circuito.

2. Identificazione dei nodi non degeneri: Si individuano tutti i nodi non degeneri del circuito.

3. Determinazione delle correnti: Si stabiliscono le correnti di anello con lo stesso verso di scorrimento

dell’anello.

4. Applicazione della LKT: Per ogni anello, si scrive l’equazione della LKT.

5. Risoluzione: Si ottiene un sistema del tipo RI = V

9

Metodo di Ispezione

Il metodo di ispezione è un approccio semplificato per scrivere direttamente le equazioni dell’analisi agli

anelli senza passare per tutti i passaggi formali.

1. Costruzione della matrice R:

• Gli elementi R rappresentano la somma delle resistenze appartenenti all’anello i-esimo;

ii

• ̸

Gli elementi R , i = j rappresentano la somma delle resistenze in comune tra l’anello i e l’anello

ij

j cambiate di segno.

2. Scrittura della matrice: Si scrive il sistema matriciale:

·

R I = V

dove:

• R è la matrice delle resistenze;

• I è il vettore delle correnti agli anelli;

• V è il vettore delle tensioni ed ogni elemento V è la somma algebrica dei generatori di tensione

i

dell’anello i-esimo, presi con il segno concorde al polo da cui ”si entra” percorrendo l’anello.

Superanello

Il superanello è un concetto utilizzato nell’analisi agli anelli per gestire i circuiti contenenti generatori di

corrente. Il superanello è costituito dall’insieme dei due anelli che contengono il generatore di corrente e

non ha una corrente propria; necessita della LKC ad uno dei nodi ai capi del generatore di corrente e della

LKT per la risoluzione.

Se un generatore di corrente appartiene ad un solo anello non serve usare il supernodo e si dice che la corrente

del generatore coincide con quella dell’anello.

Analisi agli anelli modificata

1. Identificazione del superanello: Si combinano i due anelli contenenti il generatore di corrente in

un superanello.

2. Applicazione della LKT: Si scrive l’equazione della LKT per il superanello.

3. Vincolo aggiuntivo: Si aggiunge l’equazione della LKC ad uno dei nodi ai capi del generatore di

corrente.

Matrice di incidenza

Dato un circuito si disegna il grafo corrispondente ad esso; dopo si scrive la matrice d’incidenza che è una

matrice con numero di righe pari al numero dei nodi non degeneri diminuito di 1 e numero di colonne pari

al numero di tensioni di ramo.

Gli elementi sulla i-esima riga della matrice rappresentano le correnti che insistono sul nodo i e si scrive uno

10

0 se quella corrente (la corrente j-esima) non interessa tale nodo, un -1 se quella corrente entra in quel nodo

ed 1 se quella corrente esce da quel nodo. ⃗

Una volta composta questa matrice che chiameremo A, si considera il vettore dei termini noti I che ha come

⃗

elemento I la i-esima corrente del grafo. Eseguiamo ora il prodotto righe per colonne tra A e I e poniamo

i

la matrice risultato pari a 0. Noteremo che questo sistema coincide proprio con le LKC ai nodi del circuito.

⃗ ⃗

Sempre considerando A, ma considerando il vettore V composto dalle tensioni ai rami ed il vettore E

T ·

composto dalle tensioni ai nodi possiamo ottenere le LKT del circuito con V = A E.

Consideriamo il seguente circuito:

A A

B B

R 2

E R R il suo grafo è:

1 3

C C

Esempio:

Consideriamo il seguente grafo:

˙

1 I La matrice di incidenza correlata è:

4 3  

−1 0 1 1 0

˙

I

˙ 5

I  

3  

2 A =  

−1 −1 −1

0 0

˙ ˙

I  

I

1 2  



 −1

0 0 0 1

0

Teorema di Tellegen

La somma delle potenze in un circuito è sempre nulla:

P + P = 0

generate dissipate

Linearità

Un circuito si dice lineare se soddisfa l’omogeneità e l’additività.

In un circuito con un generatore di tensione ed un resistore verifichiamo l’omogeneità, considerandone un

E kE

→

altro con un generatore di tensione di valore k volte maggiore rispetto al primo: I = I = .

R R

In un circuito composto da due generatori di tensione E ed E concordi ed un resistore verifichiamo

1 2

E +E E

l’additività: I = consideriamo il circuito con solo E ed R ed abbiamo I = poi stessa cosa

1 2 1

1 1

R R

con E e ricaviamo I notiamo subito matematicamente l’equivalenza I = I + I .

2 2 1 2

11

Principio di sovrapposizione degli effetti

Dato un circuito lineare l’effetto dovuto all’azione simultanea di più generatori indipendenti è pari alla somma

algebrica degli effetti ottenuti quando ciascun generatore agisc