Appunti Elettrotecnica

9.4 R IFERIMENTI DI FASE

Per l’analisi di un circuito nel dominio dei fasori, è possibile aggiungere o sottrarre arbitrariamente una

costante alla fase, purché questo sfasamento venga fatto per tutte le grandezze del circuito. Può essere

particolarmente utile quando si hanno valori di seno/coseno scomodi.

OSS È necessario fare attenzione, ripassando nel dominio del tempo, andare a compensare lo sfasamento

fatto per andare ad esprimere le grandezze con la loro fase effettiva.

Per dimostrare quanto enunciato considero un circuito con un generatore e una impedenza totale

con ⇒

Quindi se moltiplico ambo i membri per l’uguaglianza resta vera e ottengo dei nuovi fasori di tensione

o di corrente sfasati rispetto agli originali

⇒ ⇒

Quindi resta valido tutto quello che abbiamo detto anche introducendo uno sfasamento.

9.5 P

OTENZA NEL DOMINIO DEI FASORI

Dalla definizione di potenza istantanea nell’istante

per cui il discorso delle convenzioni CDG, CDU e dei segni della potenza valgono istante per istante.

Per quanto ottenuto nella dimostrazione del metodo dei fasori, la tensione e la corrente cosinusoidali di

un determinato bipolo ∗

⎧

cos

2

⇒

cos ∗

⎨

⎩ 2

Sostituisco nell’espressione della potenza

∗ ∗

1 ∗ ∗ ∗ ∗

2 2 4

si distinguono:

 Potenza attiva: componente della potenza che non dipende dal tempo

1 1

∗

∗ ∗

ma ⇒

∗

4 4

Federico Casucci ©

ELETTROTECNICA

44 Sfruttando l'uguaglianza di Eulero e definendo ottengo

1

cos

2

è il valore medio della potenza istantanea e individua l’asse attorno a cui oscilla la potenza.

D’altra parte, sfruttando le proprietà dei numeri complessi la somma di un numero per il suo

coniugato è 2 volte la parte reale del numero

1

1 1

∗ ∗ ∗ ∗

2 ⇒

4 2

4 ∗ ∗

Il suo segno si interpreta in CDG e CDU così come si fa nel regime permanente continuo

 Potenza fluttuante: componente della potenza che oscilla nel tempo con pulsazione 2

1 ∗ ∗

4 1

∗

ma ⇒

∗ 4

Sfruttando l’uguaglianza di Eulero 1

cos 2

2

è a valor medio nullo ed è responsabile del cambio di segno della potenza.

D’altra parte, sfruttando le proprietà dei numeri complessi la somma di un numero per il suo

coniugato è 2 volte la parte reale del numero

1 1

∗ ∗

⇒

4 2

∗

Moltiplico il numero complesso per 1

1 1 1

∗ ∗

⇒

2 2 2

∗

Ma la parte reale del prodotto tra 2 numeri complessi è data da

⇒

∗

Quindi siano e la potenza fluttuante

Federico Casucci © CIRCUITI IN REGIME PERMANENTE SINUSOIDALE 45

1 1

∗ ∗

2 2

1 1

∗ ∗

⇒ cos 2 2 sin 2 2

2 2

∗

Definendo sin come la potenza reattiva si ottiene

cos 2 2 sin 2 2

In conclusione, la potenza istantanea

1

cos 2 1 cos 2 2 sin 2 2

2

dalla prima espressione è evidente che: oscilla con pulsazione 2, ampiezza e ha valor medio

dalla seconda espressione è evidente che: il termine in seno, proporzionale a è responsabile del cambio

1 cos 2 2 0

segno, infatti sin 2 2 ⪌ 0

Il suo segno si interpreta in CDG e CDU così come si fa nel regime permanente continuo

È possibile definire un ulteriore tipo di potenza detta potenza apparente o complessa avente come

componenti cartesiane complesse rispettivamente la potenza attiva e la potenza reattiva

1 ∗

,

2

⇒ 1

||

2

9.5.1 Casi notevoli di 1

≕

0 ⇒ 0 ∀

2 0

il bipolo dissipa sempre potenza ~

Federico Casucci ©

ELETTROTECNICA

46 1

cos

2 ⇒ ⪌ 0 con 0

0 1

2 sin

2

il bipolo assorbe più di quanto eroga ~;

0

1 ⇒ ⪌ 0 con 0

2

2

il bipolo assorbe più di quanto eroga ~;

1

cos

2

⇒ ⪌ 0 con 0

1

2 sin

2

il bipolo eroga più di quanto assorbe ~;

1

⇒ 0 ∀

2

2 0

il bipolo eroga sempre potenza ~generatore

Nel caso in cui ∈ ; 0 gli andamenti sono analoghi a quelli per ∈ 0; con l’unica differenza

che cambiano le concavità:

Federico Casucci © CIRCUITI IN REGIME PERMANENTE SINUSOIDALE 47

9.5.2 Potenza sui bipoli notevoli

Per i componenti attivi le potenze attiva e reattiva si calcolano da definizione:

1 1

∗ ∗

2 2

Per i componenti passivi le potenze attiva e reattiva si possono calcolare ricavando delle nuove relazioni

valide in CDU: 1 1

∗

⎧ ||

⎧ ⇒

2 2

1

⎪ ∗

2

⎪ 1 1

⎨

⎪ ∗ ∗ ||

⇒

2 2

⎩

⇒

1 1

⎨ ||

⎧ ∗

⇒

2 2

1

⎪ ∗

⎪ 2 ∗

1 1

⎪ ⎨ ||

∗ ∗

2 2

⎩

⎩

9.5.2.1 Potenza sui generatori

Per i generatori uno dei due fasori è noto mentre l’altro è imposto dal circuito:

 Generatore di tensione: imposto dal generatore e si ricava dal resto del circuito.

 Generatore di corrente: imposto dal generatore e si ricava dal resto del circuito.

9.5.2.2 Potenza sul resistore

Nel caso del resistore: ed è sempre puramente reale con 0, perciò

1 1

|| ||

⇒ 0

2 2

1 1

|| ||

⇒ 0

2 2

Questo significa che il resistore può solo assorbire potenza attiva.

9.5.2.3 Potenza sul condensatore

Nel caso del condensatore: ed è sempre puramente immaginario con 0, perciò

1

1 || ||

⇒ 0

2

2

1 1

|| ||

⇒ 0

2 2

Questo significa che il condensatore può solo erogare potenza reattiva.

9.5.2.4 Potenza sull’induttore

Nel caso dell’induttore: ed è sempre puramente immaginario con 0, perciò

1 1

|| ||

⇒ 0

2 2

1 1

|| ||

⇒ 0

2 2

Questo significa che l’induttore può solo assorbire potenza reattiva. Federico Casucci ©

ELETTROTECNICA

48 9.5.3 Additività della potenza attiva, reattiva e apparente

Voglio dimostrare che la potenza apparente è additiva. Per farlo, suppongo di

avere 3 bipoli come in figura.

La potenza apparente complessiva, considerando il bipolo equivalente, è pari

a 1 ∗

2

Per le due leggi di Kirchhoff

Quindi la potenza apparente dei 3 bipoli

1 1 1

∗ ∗ ∗

2 2 2

Verifico se risulta valida l’additività

1 1 1 1 1 1 1 1

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

2 2 2 2 2 2 2 2

1 ∗

2

Dunque, risulta che la potenza totale è data dalla somma delle singole potenze

Segue che il teorema di Boucherot è valido anche nel dominio dei fasori

A parità di CDU/CDG: 0 ⇒ 0 0

9.5.4 Potenza e riferimento di fase

Derivando dal prodotto di due fasori, la potenza apparente resta invariata anche in caso di rifasamenti.

Infatti ∗ ∗ ∗

⇒ ✔

9.5.5 Rifasamento

Suppongo di avere due generatori che generano entrambi la stessa potenza attiva ≕ ma il

secondo con una potenza reattiva maggiore . Ciò significa che, a parità di lavoro utile svolto stesso

, il secondo raggiunge picchi di corrente e di tensione magg